信息熵的直觀理解

?

在機(jī)器學(xué)習(xí)算法（如二叉樹）、特征選擇（互信息）中經(jīng)常用到熵的概念，信息熵的概念以及介紹網(wǎng)上有很多，這里主要做一個(gè)直觀的介紹。

1.?信息的度量

2. 信息熵

?

一、 信息量

常常把消息中有意義的內(nèi)容成為信息。我們常常說(shuō)，某人說(shuō)的某句話信息量很大，具體在信息論中，其實(shí)指的是他說(shuō)的這句話消除的不確定性多。信息的度量定義為消除不確定性的多少。(信息是用來(lái)消除不確定性的東西--Shannon)

信息量函數(shù)：

$I=-\ln p_{i}$

其中，$p_{i}$是事件$x_{i}$發(fā)生的概率($x_{i} \in X$)

直觀上，概率越小，即事件發(fā)生的概率越小，它指出的信息越具體，相應(yīng)地，信息量就越大。怎么理解這句話呢，舉個(gè)栗子。有一個(gè)30*30的座位表，你未來(lái)的女朋友在其中的一個(gè)座位上入座，但是你并不知道她到底在哪個(gè)座位上（這也是你為什么沒(méi)有女朋友的原因嗎，哈哈哈。。。）。如果天上的某位月老1告訴你，她坐在第6排，那么范圍會(huì)縮小很多。月老2告訴你“她坐在第6排第6列”。“她坐在第6排”和“她坐在第6排第6列”，直觀上顯然后者包含的信息量更多。那么如何定量的比較這兩句話的信息量大小呢？

* 對(duì)于前者，事件發(fā)生的概率是 $p = \frac{30}{30 \times 30}= \frac{1}{30}$，那么信息量 $I=- \ln p_{i}= 3.4$

* 對(duì)于后者，事件發(fā)生的概率是 $p = \frac{1}{30 \times 30} = \frac{1}{900}$，那么信息量 $I=- \ln p_{i}= 6.8$

對(duì)于前者，月老1給出的信息還是太少，即從原來(lái)什么都不知道消除的不確定性還是太少，同時(shí)月老1的預(yù)言發(fā)生的概率也比較大。月老2給出的信息非常具體，消除的不確定性很多，這句話發(fā)生的概率對(duì)應(yīng)地也比較小。也可以這么理解，給出的信息越具體，發(fā)生的概率越小，風(fēng)險(xiǎn)越高，因?yàn)槟悴恢浪f(shuō)的到底對(duì)不對(duì)（信息量大不代表信息準(zhǔn)確）。

總結(jié)一句話，一個(gè)事件的信息量就是這個(gè)事件發(fā)生的概率的負(fù)對(duì)數(shù)。

?

二、信息熵

簡(jiǎn)單的講，信息熵(entropy)就是平均而言發(fā)生一個(gè)事件我們得到的信息量大小。所以數(shù)學(xué)上，信息熵其實(shí)是信息量的期望。

$H = -\sum_{x \in X} P(x) logP(x)$

$X$是事件的集合。在理解了信息量的概念后，公式還是很直觀的，就是信息量的期望。

在信息論中，熵是信息不確定性的一個(gè)測(cè)度，熵越大表示信息的不確定性越高。比如對(duì)明天的天氣做預(yù)測(cè)，

a. 預(yù)測(cè)1：100%晴天

$H_{1}=0.0$

b. 預(yù)測(cè)2：50%晴天, 50%陰天

$H_{2}=-\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})-\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})=1.0$

c. 預(yù)測(cè)3：30%晴天, 30%陰天，40%

$H_{3}=-\frac{3}{10}\ln \frac{3}{10} -\frac{3}{10}\ln \frac{3}{10}?- \frac{4}{10} \ln \frac{4}{10}=1.6$

# 計(jì)算信息熵
import math x = [0.3, 0.3, 0.4] H = sum(map(lambda x : -x * math.log(x, 2), x))

從上面這個(gè)例子也可以看出來(lái)，不確定性越大，信息熵越大。

posted on 2017-05-16 22:39?詹晴天 閱讀(...) 評(píng)論(...) 編輯 收藏

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/satchel/p/6864116.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的信息熵的直观理解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。