11082?完全二叉樹的種類

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Description

構造n個(2<=n<=20)葉結點的的完全二叉樹(完全二叉樹意味著每個分支結點都有2個兒子結點),有多少種構造方法?注意:不改變n個結點的相對順序,左右兒子不調換.例如: 4個葉子節點A1,A2,A3,A4，可構造出如下完全二叉樹，共5種。 再例如:5個葉子結點,A1,A2,A3,A4,A5，可構造出如下若干種完全二叉樹形狀，像這樣的完全二叉樹共有14種(下圖 并未全部列出)。

輸入格式

輸入n,表示構造的完全二叉樹有n個葉結點(2<=n<=20)。

輸出格式

輸出構造的完全二叉樹的種類。

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5

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14

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提示

作者

?zhengchan　　

　　

　　題解：

　　首先看一般的遞推公式：題目規定是構造完全二叉樹，那么不論怎么構造，根節點的左子樹和右子樹也都是完全二叉樹。那么含有n個葉子的完全二叉樹的構造方案數就等于左子樹的方案數乘以右子樹的方案數。列舉所有左右子樹的分布情況；得到公式f(n)=f(1)f(n-1)+f(2)f(n-2)+...+f(i)f(n-i)+...+f(n-1)f(1). 復雜度為O(n^2)，不僅復雜度不低，而且實現較復雜，遞歸時還得用額外的空間記錄已經計算過的值。

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　　現在從另一個角度分析。先假設取一個最小結點單位（即一個結點下接兩個葉子）。 然后構造一棵含有n-1個葉子的完全二叉樹；再將剛提到的最下結點單位替換n-1個葉子中的任何一個，就是一棵含有n個葉子的完全二叉樹，這種情況的方案數為f(2)f(n-1)*(n-1)。 以此類推所有情況可得出n個葉子的完全二叉樹方案數有：f(2)f(n-1)*(n-1)+f(3)f(n-2)*(n-2)+...+f(i)f(n-i+1)*(n-i+1)+...+f(n-1)f(2)*2。 把首尾合并得：f(2)f(n-1)*(n+1)+f(3)f(n-2)*(n+1)+...+f(i)f(n-i+1)*(n+1) | i<=n/2. ?但這并不是正確的f(n)公式，因為沒有去除重復的情況。 在n>3時這個式子是一定只有n-2項的（指沒首尾合并前），而每一項的情況都會在其他的n-3項中重復一次（如果不清楚可以實際畫f(4)或f(5)的情況看下）。 所以要除以重復的n-2。 那么最終得到公式f(n)=[f(2)f(n-1)+f(3)f(n-2)+...+f(i)f(n-i+1)]*(n+1)/(n-2) | i<=n/2。

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　　現在看會最開始的那個公式，將n+1代入得：f(n+1)=f(1)f(n)+f(2)f(n-1)+...+f(i)f(n-i+1)+...f(n)f(1)。 去掉首尾的f(1)f(n)和f(n)f(1)。中間的這個式子，正好就是后面推的f(n)公式大括號部分的“一半”。將該部分乘以二則有f(2)f(n-1)+...+f(i)f(n-i+1)+...+f(n-1)f(2)=f(n)*2(n-2)/(n+1)。 ?由f(1)=1，所以f(n+1)=2f(n)+f(n)*2(n-2)/(n+1). ?最后化簡得到公式f(n)=f(n-1)*(4n-6)/n.

1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 #include <cmath> 5 #include <algorithm> 6 #include <queue> 7 #include <map> 8 #include <stack> 9 #include <set> 10 #include <cstdlib> 11 using namespace std; 12 typedef long long ll; 13 14 ll catalan(int n) 15 { 16 if(n==1)return 1; 17 return catalan(n-1)*(4*n-6)/n; 18 } 19 int main() 20 { 21 int n; 22 scanf("%d",&n); 23 printf("%lld\n",catalan(n)); 24 return 0; 25 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/geek1116/p/8138380.html

總結

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