鏈接 B 小a的旅行計劃

• 把\(n\)個數中選任意數分成\(a,b\)兩個集合，集合無區別，要求不包含且有交，求方案數。\(n\leq 10^{13}\)
• 首先討論\(a,b\)并集是否為全集：
• 若是全集，那答案即為\(S(n,3)*3\)，也就是\(n\)個有區別的小球放在\(3\)個無區別盒子內，然后枚舉三個盒子哪一個是交集。
• 若不是，則答案為\(S(n,4)*C(4,2)*2\)，也就是\(n\)個有區別的小球放在\(4\)個無區別盒子內，然后枚舉哪兩個是補集和交集，兩個可以換。
• 答案就是兩個加起來，\(S(n,4)\)這么算：
  \[S(n,4)=\frac {2^{n-1}-3^{n-1}+\frac {4^{n-1}-1}{3}}{2}\]
• \(S(n,3)\)為：
  \[\frac {3^{n-1}+1}{2}-2^{n-1}\]
• 復雜度\(O(logn)\)

#include<bits/stdc++.h> #define R register int #define ll long long using namespace std; const int N=100001; const int mod=1e8+7; ll n,ans,res,inv2,inv3; int gi(){R x=0,k=1;char c=getchar();while((c<'0'||c>'9')&&c!='-')c=getchar();if(c=='-')k=-1,c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();return x*k; } ll Qpow(ll x,ll y){ll ans=1,bas=x;while(y){if(y&1)ans=ans*bas%mod;bas=bas*bas%mod,y>>=1;}return ans; } int main(){cin>>n,inv2=Qpow(2,mod-2),inv3=Qpow(3,mod-2);ans=((inv2*(Qpow(3,n-1)+1)%mod-Qpow(2,n-1)+mod)%mod*3)%mod;res=(Qpow(4,n-1)-Qpow(3,n-1)+mod)%mod;res=(res+mod-(Qpow(4,n-1)-Qpow(2,n-1)))%mod;res=(res+inv3*(Qpow(4,n-1)-1)%mod);res=res*inv2%mod;cout<<(ans+res*12%mod)%mod<<endl;return 0; }

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總結

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