定義：$C_{n}^{m}\equiv?C_{n/p}^{m/p} * C_{n mod p}^{m mod p} (mod p)$

證明：1.由費馬小定理可知$a^{p} \equiv p(mod p)$

? ? ? ? ? ?2.你需要知道二項式定理

? ? ? ? ? ?3.$\therefore (1+x)^{p} \equiv 1+x^{p} $——這個用前兩個東西證就好

? ? ? ? ? ?4.$\therefore (1+x)^{n}$

? ? ? ? ? ? ? $=(1+x)^{(n/p)*p}*(1+x)^{n mod p}$

? ? ? ? ? ? ? $\equiv (1+x^{p})^{n/p}*{1+x}^{n mod p}$

? ? ? ? ? ? ? $\equiv \sum\limits_{i=0}^{n/p} x^{pi} * \sum\limits_{j=0}^{n mod p} x^{j}$

? ? ? ? ? ? ? $\equiv?\sum\limits_{i=0}^{n/p} ?\sum\limits_{j=0}^{n mod p} x^{pi+j}$

? ? ? ? ? ? ? 當我們取$x^{m}$這一項時，我們可以發現左邊根據二項式定理就是$C_{n}^{m}$,而右邊呢，$i=m/p$，$ j=m mod p $

? ? ? ? ? ? ??$\therefore C_{n}^{m}\equiv?C_{n/p}^{m/p} * C_{n mod p}^{m mod p} (mod p)$

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總結

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