?參考資料

[1]:?最大流入門

[2]:?算法講堂

[3]: Dinic優(yōu)化

?理解

通俗理解最大流就是在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)從源點(diǎn)S到終點(diǎn)T流過的水的最大值

如圖，最大流為9

①線路 S->3->T：可以流過$min(5,3)=3$,然后$S->3$還有$5-3=2$的剩余

②線路 S->1->2->T:可以流過$min(5,6,10)=5$,然后$1->2$還有$6-5=1$的剩余，$2->T$還有$10-5=5$的剩余

③線路S->3->1->2->T: 可以流過$min(2,3,1,5)=1$

最大流$=①+②+③=9$

?算法

將圖分層，每一層都是按照不同方式的幾條從原點(diǎn)到匯點(diǎn)的路徑

利用bfs尋找所有的分層方法，分完層利用dfs去試探，找到所有分層方式中水流最大的一種

?優(yōu)化

• ?當(dāng)前弧優(yōu)化

　　　　對(duì)于一次 bfs()?后尋找增廣路來說，如果詢問了一條路的編號(hào)為 a?時(shí)，那么不再會(huì)通過這條路增廣。

　　　　比如已經(jīng)對(duì)$1->2->3$進(jìn)行了增廣，那在到$2$時(shí)，$2->3$已經(jīng)不會(huì)增加流量了，所有可以直接略過 (一般用處不大...)

• 多路增廣

　　　　dfs時(shí)一次找到該點(diǎn)u所有的增廣路，用一個(gè)$flow$記錄流向u的流量，用$nowflow$記錄流出u的流量

　　　　$nowflow$的計(jì)算就需要通過u流向的點(diǎn)來計(jì)算。$nowflow$肯定是下于等于$flow$的，當(dāng)$nowflow==flow$時(shí)可以直接$break$

　　　　在增廣時(shí)對(duì)正向邊和反向邊操作有個(gè)小技巧，因?yàn)樵诩舆厱r(shí)正向邊和反向邊是一起加入的一前一后，所以兩條邊是相鄰的

　　　　正向邊序號(hào)^1=反向邊序號(hào)，反向邊序號(hào)^1=正向邊序號(hào)。前提是第一條邊序號(hào)是偶數(shù)，所以向前星的下標(biāo)從0開始的

• 炸點(diǎn)優(yōu)化

　　　　如果當(dāng)前?u?點(diǎn)伸展完后發(fā)現(xiàn)過這個(gè)點(diǎn)沒有任何增廣路被發(fā)現(xiàn)，即當(dāng)前點(diǎn)$nowflow==0$ ，

　　　　則說明增廣路不可能通過該點(diǎn)伸展，使得d[u] = -2，不再伸展這個(gè)點(diǎn)

?模板

最大流Dinic

?

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總結(jié)

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