最大子段和，前面b[j]理解的是：終點在j的最大連續子段和，及從k:j最大和

是對b[j]進行動態規劃，從k:j最大和：取決于k:j-1的最大和，他大于0的話，就為k:j-1的最大和+arr[j],他小于0的話，就只是arr[j]

終點在j一共有n種情況，原問題只是求b[j]的最大值

從上面可以看出，終點在j的最大連續子段和這個還是很刁鉆的，解決問題你不從原問題直接去分解，而去想“終點在j的最大連續子段和”，怎么會想到了？

馬后炮，可能從兩個方向入手，一是純粹從解析式入手，純推導，分解max的定義域，然后思考實際意義，或者不思考，直接按照數學公式處理：

另外一種思路，從平常的算法入手思考優化，平常算法一般使用兩個指針i和j,i指向子段和起始的位置，j指向子段終止的位置，然后從左往右掃描，這樣原問題可以看成：起始位置為i的最大連續字段和。我們動態規劃得到狀態方程一般需要從n到n-1,一般情況我們需要反過來從后往前處理（參考選與不選我們都是從后往前處理的），也就是原問題可以看成：終止位置為j的最大連續字段和,這也j也可以作為狀態方程的規模變量。

以上的兩種思路，也可把最大子段和推廣到二維上

二維的最大子段和：m*n的矩陣，求最大子矩陣和

第一種思路通過純數學變換：

我們簡化t(i1,i2)

我們假設b[j],簡化如下：

看出來了沒有，t(i1,i2)是啥，他是在求數組b的最大子段和，也就是一個一維的最大字段和

回頭再看原問題是啥了：max{t(i1,i2)}, 1<=i1<=i2<=m,這個只是單純的求最大值，雙針遍歷n,找到最大的那個t(i1,i2)

現在對比一維和二維原問題的情況：

一維時：max{b[j]}, 1<=j<=n，b[j]可遞歸

二維時：max{t(i1,i2)}，1<=i1<=i2<=m，t(i1,i2)是一個一維的最大子段和，可以通過一維的方式求得。

我們再思考一下其實際的意義，得到第二種思路：一維時，b[j]可理解為終點在j的連續子段和；二維時t(i1,i2)的含義了？子矩陣行起止于(i1,i2)，把對應的每一列看成一個元素組成的數組（應該是n個）求得的最大子段和

以上二維的實現方法，也是沒有直接對二維的原問題進行規約得到狀態方程，而是規約為一維的問題，一維的問題也沒有直接使用動態規劃，只是可能解用到了動態規劃

算法時間復雜度O(m^2 * n)或者O(n^2 * m), 實現的時候可以把行列長的用一維的方式解決.

代碼實現如下：

#%% # 動態規劃的算法，狀態方程，初始值 # 如何劃分子問題比較好了，看成選擇問題，選與不選，從尾部開始，i選的話，最大值就是end_max前面 # n-1個元素的最大值+arr[i],不選的話就是前面n-1個元素求最小字段和 # 這個工作量好大，問題規模縮小了1，然后干了分治算法一層的工作量 # 所以這種規約子問題的方案不好？ # 最大字段結束在j,那么原問題的解就是j=0,1,2..len(arr)-1 # 這么多情況里面的最大值， # 我們定義b[j]為結束在j字段和最大值，max{b[j]} 0<=j<=len(arr)-1 # 我們只要求出了每一個b[j],最大值就是可以從里面求出來了 # 那么b如何求解了,結束在j的最大字段和，假如前面j-1最大字段和小于0的話，那就是arr[j] # 狀態方程為：b[j] = max{b[j-1]+arr[j],arr[j]} # 這里不需要考慮arr[j]是否大于0，因為我的子問題就是定義的是結束在j的最大字段和，至于 # 最終的解是結束在不同的j上的最大字段和的最大值。# 這個方法可以知道結束位置j,沒法知道起始位置i為多少啊 def maxSumDynamicProgramming(arr):# 本來是需要一個數組來記錄b的，然后找b[]里面的最大值# 但是我們得到一個b,就可以更顯最優結果的，我只要記錄當前最優解就行了，所以只需要當前的b# b的初值就是b[0-1]的值，也就是沒有元素時最大字段和為多少，為0cur_b =0# 用于記錄最優的結果best_result = 0best_j = -1# 根據狀態方程自底向上完成for j in range(len(arr)):# b[j] = max{b[j-1]+arr[j],arr[j]}，當b[j-1]>0為左邊，否則為右邊，也可以直接用maxif cur_b>0:cur_b += arr[j]else:cur_b = arr[j]# 每求出一個b,就更新一下當前最優解if cur_b >= best_result:best_result = cur_bbest_j = jreturn best_result,best_j#%% import numpy as np # 處理矩陣，把arr[i1:i2+1,:]轉換成一維數組，也就是把每一列的從i1到i2相加 def matrixSumByRow(arr,i1,i2,n):li = [0]*nfor j in range(n):for i in range(i1,i2+1):li[j] +=arr[i][j]return lidef maxSumOrder2(arr):# 獲取矩陣的行列row,column = arr.shape# 初始化左右結果，best_j1由于一維最大子段和沒有實現，這里也沒有best_result = 0best_i1 = -1best_i2 = -1best_j2 = -1# 原問題max{t(i1,i2)}，1<=i1<=i2<=m，遍歷所有的t(i1,i2)for i1 in range(row):for i2 in range(i1,row):# matrixSumByRow(arr,i1,i2,column)把arr[i1:i2+1,:]轉換成一維數組# 求出這個一維數組的最大字段和，這個是原問題的一個可行解t_i1_i2,j2 = maxSumDynamicProgramming(matrixSumByRow(arr,i1,i2,column))# 如果可行解優于當前的最優解，更新為當前最優解if t_i1_i2 > best_result:best_result = t_i1_i2best_i1 = i1best_i2 = i2best_j2 = j2return best_result,[best_i1,best_i2,-1,best_j2]#%% arr = np.full((5,5),-1) arr[1][1] = 4 arr[1][3] = 4 arr[3][1] = 4 arr[3][3] = 4 print(arr) print(maxSumOrder2(arr))arr = np.full((5,5),-1) arr[1][1] = 4 arr[1][3] = 4 arr[3][1] = 4 arr[3][3] = 4 print(maxSumOrder2(arr))[[-1 -1 -1 -1 -1][-1 4 -1 4 -1][-1 -1 -1 -1 -1][-1 4 -1 4 -1][-1 -1 -1 -1 -1]] (11, [1, 3, -1, 3])

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法优化：最大子段和，最大子矩阵和，一维，二维情况分析，动态规划的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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