作者 | 李威

來源 | https://www.liwei.party/

整理?| 五分鐘學(xué)算法

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正文

下面的動畫以 「力扣」第 704 題：二分查找 為例，展示了使用這個模板編寫二分查找法的一般流程。

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以下“演示文稿”展示了本文所要講解的主要內(nèi)容，您可以只看這部分的內(nèi)容，如果您還想看得更仔細(xì)一點(diǎn)，可以查看“演示文稿”之后的原文。

《十分好用的二分查找法模板》演示文稿

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（上面的“演示文稿”是對以下文字的概括。）

1、導(dǎo)讀

本文介紹了我這半年以來，在刷題過程中使用“二分查找法”刷題的一個模板，包括這個模板的優(yōu)點(diǎn)、使用技巧、注意事項、調(diào)試方法等。

雖說是模板，但我不打算一開始就貼出代碼，因為這個模板根本沒有必要記憶，只要你能夠理解文中敘述的知識點(diǎn)和注意事項，并加以應(yīng)用（刷題），相信你會和我一樣喜歡這個模板，并且認(rèn)為使用它是自然而然的事情。

這個模板應(yīng)該能夠幫助你解決 LeetCode 帶“二分查找”標(biāo)簽的常見問題（簡單、中等難度）。

只要你能夠理解文中敘述的知識點(diǎn)和注意事項，并加以應(yīng)用（其實(shí)就是多刷題），相信你會和我一樣喜歡這個模板，并且認(rèn)為使用它是自然而然的事情。

2、歷史上有關(guān)“二分查找法”的故事

二分查找法雖然簡單，但寫好它并沒有那么容易。我們可以看看一些名人關(guān)于二分查找法的論述。

• 算法和程序設(shè)計技術(shù)的先驅(qū) Donald Ervin Knuth（中文名：高德納）：

Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky …

譯：“雖然二分查找的基本思想相對簡單，但細(xì)節(jié)可能會非常棘手”。來自維基百科 Binary_search_algorithm，請原諒本人可能非常不優(yōu)雅的中文翻譯。

• 同樣是高德納先生，在其著作《計算機(jī)程序設(shè)計的藝術(shù) 第 3 卷：排序和查找》中指出：

二分查找法的思想在 1946 年就被提出來了。但是第 1 個沒有 Bug 的二分查找法在 1962 年才出現(xiàn)。

（因時間和個人能力的關(guān)系，我沒有辦法提供英文原文，如果能找到英文原文的朋友歡迎提供一下出處，在此先謝過。）

據(jù)說這個 Bug 在 Java 的 JDK 中都隱藏了將近 10 年以后，才被人們發(fā)現(xiàn)并修復(fù)。

• 《編程珠璣》的作者 Jon Bentley：

When Jon Bentley assigned binary search as a problem in a course for professional programmers, he found that ninety percent failed to provide a correct solution after several hours of working on it, mainly because the incorrect implementations failed to run or returned a wrong answer in rare edge cases.

譯：當(dāng) JonBentley 把二分查找作為專業(yè)程序員課程中的一個問題時，他發(fā)現(xiàn)百分之九十的人在花了幾個小時的時間研究之后，沒有提供正確的解決方案，主要是因為錯誤的實(shí)現(xiàn)無法正確運(yùn)行（筆者注：可能返回錯誤的結(jié)果，或者出現(xiàn)死循環(huán)），或者是不能很好地判斷邊界條件。

3、“傳統(tǒng)的”二分查找法模板的問題

（1）取中位數(shù)索引的代碼有問題

int?mid?=?(left?+?right)?/?2?

這行代碼是有問題的，在 left 和 right 都比較大的時候，left + right 很有可能超過 int 類型能表示的最大值，即整型溢出，為了避免這個問題，應(yīng)該寫成：

int?mid?=?left?+?(right?-?left)?/?2?;

事實(shí)上，int mid = left + (right - left) / 2 ?在 right 很大、 left 是負(fù)數(shù)且很小的時候， right - left 也有可能超過 int 類型能表示的最大值，只不過一般情況下 left 和 right 表示的是數(shù)組索引值，left 是非負(fù)數(shù)，因此 ?right - left ?溢出的可能性很小。

更好的寫法是：

int?mid?=?(left?+?right)?>>>?1?;

原因在后文介紹，請讀者留意：

使用“左邊界索引 + 右邊界索引”，然后“無符號右移 1 位”是推薦的寫法。

（2）循環(huán)可以進(jìn)行的條件寫成 while (left <= right) 時，在退出循環(huán)的時候，需要考慮返回 left 還是 right，稍不注意，就容易出錯

以本題（LeetCode 第 35 題：搜索插入位置）為例。

分析：根據(jù)題意并結(jié)合題目給出的 4 個示例，不難分析出這個問題的等價表述如下：

1、如果目標(biāo)值（嚴(yán)格）大于排序數(shù)組的最后一個數(shù)，返回這個排序數(shù)組的長度，否則進(jìn)入第 2 點(diǎn)。

2、返回排序數(shù)組從左到右，大于或者等于目標(biāo)值的第 1 個數(shù)的索引。

事實(shí)上，當(dāng)給出數(shù)組中有很多數(shù)和目標(biāo)值相等的時候，我們返回任意一個與之相等的數(shù)的索引值都可以，不過為了簡單起見，也為了方便后面的說明，我們返回第 1 個符合題意的數(shù)的索引。

題目告訴你“排序數(shù)組”，其實(shí)就是在瘋狂暗示你用二分查找法。二分查找法的思想并不難，但寫好一個二分法并不簡單，下面就借著這道題為大家做一個總結(jié)。

剛接觸二分查找法的時候，我們可能會像下面這樣寫代碼，我把這種寫法容易出錯的地方寫在了注釋里：

參考代碼：針對本題（LeetCode 第 35 題）

public?class?Solution3?{public?int?searchInsert(int[]?nums,?int?target)?{int?len?=?nums.length;if?(nums[len?-?1]?<?target)?{return?len;}int?left?=?0;int?right?=?len?-?1;while?(left?<=?right)?{int?mid?=?(left?+?right)?/?2;//?等于的情況最簡單，我們應(yīng)該放在第?1?個分支進(jìn)行判斷if?(nums[mid]?==?target)?{return?mid;}?else?if?(nums[mid]?<?target)?{//?題目要我們返回大于或者等于目標(biāo)值的第?1?個數(shù)的索引//?此時?mid?一定不是所求的左邊界，//?此時左邊界更新為?mid?+?1left?=?mid?+?1;}?else?{//?既然不會等于，此時?nums[mid]?>?target//?mid?也一定不是所求的右邊界//?此時右邊界更新為?mid?-?1right?=?mid?-?1;}}//?注意：一定得返回左邊界 left，//?如果返回右邊界?right?提交代碼不會通過//?【注意】下面我嘗試說明一下理由，如果你不太理解下面我說的，那是我表達(dá)的問題//?但我建議你不要糾結(jié)這個問題，因為我將要介紹的二分查找法模板，可以避免對返回?left?和?right?的討論//?理由是對于?[1,3,5,6]，target?=?2，返回大于等于?target?的第?1?個數(shù)的索引，此時應(yīng)該返回?1//?在上面的?while?(left?<=?right)?退出循環(huán)以后，right?<?left，right?=?0?，left?=?1//?根據(jù)題意應(yīng)該返回?left，//?如果題目要求你返回小于等于?target?的所有數(shù)里最大的那個索引值，應(yīng)該返回?rightreturn?left;} }

說明：

1、當(dāng)把二分查找法的循環(huán)可以進(jìn)行的條件寫成 while (left <= right) 時，在寫最后一句 return 的時候，如果不假思索，把左邊界 left 返回回去，雖然寫對了，但可以思考一下為什么不返回右邊界 right 呢？

2、但是事實(shí)上，返回 left 是有一定道理的，如果題目換一種問法，你可能就要返回右邊界 right，這句話不太理解沒有關(guān)系，我也不打算講得很清楚（在上面代碼的注釋中我已經(jīng)解釋了原因），因為實(shí)在太繞了，這不是我要說的重點(diǎn)。

由此，我認(rèn)為“傳統(tǒng)二分查找法模板”使用的痛點(diǎn)在于：

傳統(tǒng)二分查找法模板，當(dāng)退出 while 循環(huán)的時候，在返回左邊界還是右邊界這個問題上，比較容易出錯。

那么，是不是可以回避這個問題呢？答案是肯定的，答案就在下面我要介紹的“神奇的”二分查找法模板里。

4、“神奇的”二分查找法模板的基本思想

（1）首先把循環(huán)可以進(jìn)行的條件寫成 while(left < right)，在退出循環(huán)的時候，一定有 left == right 成立，此時返回 left 或者 right 都可以

或許你會問：退出循環(huán)的時候還有一個數(shù)沒有看啊（退出循環(huán)之前索引 left 或 索引 right 上的值）？

（什么時候需要看最后剩下的那個數(shù)，什么時候不需要，會在第 5 點(diǎn)介紹。）

更深層次的思想是“夾逼法”或者稱為“排除法”。

（2）“神奇的”二分查找法模板的基本思想（特別重要）

“排除法”即：在每一輪循環(huán)中排除一半以上的元素，于是在對數(shù)級別的時間復(fù)雜度內(nèi)，就可以把區(qū)間“夾逼” 只剩下 1 個數(shù)，而這個數(shù)是不是我們要找的數(shù)，單獨(dú)做一次判斷就可以了。

“夾逼法”或者“排除法”是二分查找算法的基本思想，“二分”是手段，在目標(biāo)元素不確定的情況下，“二分” 也是“最大熵原理”告訴我們的選擇。

還是 LeetCode 第 35 題，下面給出使用 while (left < right) 模板寫法的 2 段參考代碼，以下代碼的細(xì)節(jié)部分在后文中會講到，因此一些地方不太明白沒有關(guān)系，暫時跳過即可。

參考代碼 1：重點(diǎn)理解為什么候選區(qū)間的索引范圍是 [0, size]。

public?class?Solution?{public?int?searchInsert(int[]?nums,?int?target)?{#?返回大于等于?target?的索引，有可能是最后一個int?len?=?nums.length;if?(len?==?0)?{return?0;}int?left?=?0;#?如果?target?比?nums里所有的數(shù)都大，則最后一個數(shù)的索引?+?1?就是候選值，因此，右邊界應(yīng)該是數(shù)組的長度int?right?=?len;#?二分的邏輯一定要寫對，否則會出現(xiàn)死循環(huán)或者數(shù)組下標(biāo)越界while?(left?<?right)?{int?mid?=?left?+?(right?-?left)?/?2;if?(nums[mid]?<?target)?{left?=?mid?+?1;}?else?{right?=?mid;}}return?left;} }

參考代碼 2：對于是否接在原有序數(shù)組后面單獨(dú)判斷，不滿足的時候，再在候選區(qū)間的索引范圍 [0, size - 1] 內(nèi)使用二分查找法進(jìn)行搜索。

public?class?Solution?{//?只會把比自己大的覆蓋成小的//?二分法//?如果有一連串?dāng)?shù)跟?target?相同，則返回索引最靠前的//?特例：3 5 5 5 5 5 5 5 5 5//?特例：3 6 7 8// System.out.println("嘗試過的值："?+ mid);//?1?2?3?5?5?5?5?5?5?6?，target?=?5//?1?2?3?3?5?5?5?6?target?=?4public?int?searchInsert(int[]?nums,?int?target)?{int?len?=?nums.length;if?(len?==?0)?{return?-1;}if?(nums[len?-?1]?<?target)?{return?len;}int?left?=?0;int?right?=?len?-?1;while?(left?<?right)?{int?mid?=?left?+?(right?-?left)?/?2;if?(nums[mid]?<?target)?{//?nums[mid]?的值可以舍棄left?=?mid?+?1;}?else?{//?nums[mid]?不能舍棄right?=?mid;}}return?right;}public?static?void?main(String[]?args)?{int[]?nums?=?{1,?2,?3,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?5,?6};int?target?=?4;Solution2?solution2?=?new?Solution2();int?searchInsert?=?solution2.searchInsert(nums,?target);System.out.println(searchInsert);} }

5、細(xì)節(jié)、注意事項、調(diào)試方法

（1）前提：思考左、右邊界，如果左、右邊界不包括目標(biāo)數(shù)值，會導(dǎo)致錯誤結(jié)果

例：LeetCode 第 69 題：x 的平方根

實(shí)現(xiàn) int sqrt(int x) 函數(shù)。

計算并返回 x 的平方根，其中 x 是非負(fù)整數(shù)。

由于返回類型是整數(shù)，結(jié)果只保留整數(shù)的部分，小數(shù)部分將被舍去。

分析：一個非負(fù)整數(shù)的平方根最小可能是 0 ，最大可能是它自己。

例：LeetCode 第 287 題：尋找重復(fù)數(shù)

給定一個包含 n + 1 個整數(shù)的數(shù)組 nums，其數(shù)字都在 1 到 n 之間（包括 1 和 n），可知至少存在一個重復(fù)的整數(shù)。假設(shè)只有一個重復(fù)的整數(shù)，找出這個重復(fù)的數(shù)。

分析：題目告訴我們“其數(shù)字都在 1 到 n 之間（包括 1 和 n）”。因此左邊界可以取 1 ，右邊界可以取 n。

要注意 2 點(diǎn)：

• 如果 left 和 right 表示的是數(shù)組的索引，就要考慮“索引是否有效” ，即“索引是否越界” 是重要的定界依據(jù)；

• 左右邊界一定要包括目標(biāo)元素，例如 LeetCode 第 35 題：“搜索插入位置” ，當(dāng) target 比數(shù)組中的最后一個數(shù)字還要大（不能等于）的時候，插入元素的位置就是數(shù)組的最后一個位置 + 1，即 (len - 1 + 1 =) len，如果忽略掉這一點(diǎn)，把右邊界定為 len - 1 ，代碼就不能通過在線測評。

（2）中位數(shù)先寫 `int mid = (left + right) >>> 1 ;` 根據(jù)循環(huán)里分支的編寫情況，再做調(diào)整

理解這一點(diǎn)，首先要知道：當(dāng)數(shù)組的元素個數(shù)是偶數(shù)的時候，中位數(shù)有左中位數(shù)和右中位數(shù)之分。

• 當(dāng)數(shù)組的元素個數(shù)是偶數(shù)的時候：

使用 int mid = left + (right - left) / 2 ; ?得到左中位數(shù)的索引；

使用 int mid = left + (right - left + 1) / 2 ; ?得到右中位數(shù)的索引。

• 當(dāng)數(shù)組的元素個數(shù)是奇數(shù)的時候，以上二者都能選到最中間的那個中位數(shù)。

其次，

int?mid?=?left?+?(right?-?left)?/?2?;

int?mid?=?(left?+?right)?>>>?1;

而

int?mid?=?left?+?(right?-?left?+?1)?/?2?;

int?mid?=?(left?+?right?+?1)?>>>?1?

我們使用一個具體的例子來驗證：當(dāng)左邊界索引 left = 3，右邊界索引 right = 4 的時候，

mid1?=?left?+?(right?-?left)?//?2?=?3?+?(4?-?3)?//?2?=?3?+?0?=?3 mid2?=?left?+?(right?-?left?+?1)?//?2?=?3?+?(4?-?3?+?1)?//?2?=?3?+?1?=?4

左中位數(shù) mid1 是索引 left，右中位數(shù) mid2 是索引 right。

記憶方法：

(right - left) 不加 $1$ 選左中位數(shù)，加 $1$ 選右中位數(shù)。

那么，什么時候使用左中位數(shù)，什么時候使用右中位數(shù)呢？選中位數(shù)的依據(jù)是為了避免死循環(huán)，得根據(jù)分支的邏輯來選擇中位數(shù)，而分支邏輯的編寫也有技巧，下面具體說。

（3）先寫邏輯上容易想到的分支邏輯，這個分支邏輯通常是排除中位數(shù)的邏輯；

在邏輯上，“可能是也有可能不是”讓我們感到猶豫不定，但**“一定不是”是我們非常堅決的，通常考慮的因素特別單一，因此“好想” **。在生活中，我們經(jīng)常聽到這樣的話：找對象時，“有車、有房，可以考慮，但沒有一定不要”；找工作時，“事兒少、離家近可以考慮，但是錢少一定不去”，就是這種思想的體現(xiàn)。

例：LeetCode 第 69 題：x 的平方根

實(shí)現(xiàn) int sqrt(int x) 函數(shù)。

計算并返回 x 的平方根，其中 x 是非負(fù)整數(shù)。

由于返回類型是整數(shù)，結(jié)果只保留整數(shù)的部分，小數(shù)部分將被舍去。

分析：因為題目中說“返回類型是整數(shù)，結(jié)果只保留整數(shù)的部分，小數(shù)部分將被舍去”。例如 $5$ 的平方根約等于 $2.236$，在這道題應(yīng)該返回 $2$。因此如果一個數(shù)的平方小于或者等于 x，那么這個數(shù)有可能是也有可能不是 x 的平方根，但是能很肯定的是，如果一個數(shù)的平方大于 x ，這個數(shù)肯定不是 x 的平方根。

注意：先寫“好想”的分支，排除了中位數(shù)之后，通常另一個分支就不排除中位數(shù)，而不必具體考慮另一個分支的邏輯的具體意義，且代碼幾乎是固定的。

（4）循環(huán)內(nèi)只寫兩個分支，一個分支排除中位數(shù)，另一個分支不排除中位數(shù)，循環(huán)中不單獨(dú)對中位數(shù)作判斷

既然是“夾逼”法，沒有必要在每一輪循環(huán)開始前單獨(dú)判斷當(dāng)前中位數(shù)是否是目標(biāo)元素，因此分支數(shù)少了一支，代碼執(zhí)行效率更高。

以下是“排除中位數(shù)的邏輯”思考清楚以后，可能出現(xiàn)的兩個模板代碼。

二分查找法模板

可以排除“中位數(shù)”的邏輯，通常比較好想，但并不絕對，這一點(diǎn)視情況而定。

分支條數(shù)變成 2 條，比原來 3 個分支要考慮的情況少，好處是：

不用在每次循環(huán)開始單獨(dú)考慮中位數(shù)是否是目標(biāo)元素，節(jié)約了時間，我們只要在退出循環(huán)的時候，即左右區(qū)間壓縮成一個數(shù)（索引）的時候，去判斷這個索引表示的數(shù)是否是目標(biāo)元素，而不必在二分的邏輯中單獨(dú)做判斷。

這一點(diǎn)很重要，希望讀者結(jié)合具體練習(xí)仔細(xì)體會，每次循環(huán)開始的時候都單獨(dú)做一次判斷，在統(tǒng)計意義上看，二分時候的中位數(shù)恰好是目標(biāo)元素的概率并不高，并且即使要這么做，也不是普適性的，不能解決絕大部分的問題。

還以 LeetCode 第 35 題為例，通過之前的分析，我們需要找到“大于或者等于目標(biāo)值的第 1 個數(shù)的索引”。對于這道題而言：

（1）如果中位數(shù)小于目標(biāo)值，它就應(yīng)該被排除，左邊界 left 就至少是 mid + 1；

（2）如果中位數(shù)大于等于目標(biāo)值，還不能夠肯定它就是我們要找的數(shù)，因為要找的是等于目標(biāo)值的第 $1$ 個數(shù)的索引，中位數(shù)以及中位數(shù)的左邊都有可能是符合題意的數(shù)，因此右邊界就不能把 mid 排除，因此右邊界 right 至多是 mid，此時右邊界不向左邊收縮。

下一點(diǎn)就更關(guān)鍵了。

（5）根據(jù)分支邏輯選擇中位數(shù)的類型，可能是左中位數(shù)，也可能是右位數(shù)，選擇的標(biāo)準(zhǔn)是避免死循環(huán)

造成死循環(huán)的代碼

死循環(huán)容易發(fā)生在區(qū)間只有 $2$ 個元素時候，此時中位數(shù)的選擇尤為關(guān)鍵。選擇中位數(shù)的依據(jù)是：避免出現(xiàn)死循環(huán)。我們需要確保：

（下面的這兩條規(guī)則說起來很繞，可以暫時跳過）。

1、如果分支的邏輯，在選擇左邊界的時候，不能排除中位數(shù)，那么中位數(shù)就選“右中位數(shù)”，只有這樣區(qū)間才會收縮，否則進(jìn)入死循環(huán)；

2、同理，如果分支的邏輯，在選擇右邊界的時候，不能排除中位數(shù)，那么中位數(shù)就選“左中位數(shù)”，只有這樣區(qū)間才會收縮，否則進(jìn)入死循環(huán)。

理解上面的這個規(guī)則可以通過具體的例子。針對以上規(guī)則的第 1 點(diǎn)：如果分支的邏輯，在選擇左邊界的時候不能排除中位數(shù)，例如：

偽代碼：

while?left?<?right:#?不妨先寫左中位數(shù)，看看你的分支會不會讓你代碼出現(xiàn)死循環(huán)，從而調(diào)整mid?=?left?+?(right?-?left)?//?2#?業(yè)務(wù)邏輯代碼if?(check(mid)):#?選擇右邊界的時候，可以排除中位數(shù)right?=?mid?-?1else:#?選擇左邊界的時候，不能排除中位數(shù)left?=?mid

• 在區(qū)間中的元素只剩下 $2$ 個時候，例如：left = 3，right = 4。此時左中位數(shù)就是左邊界，如果你的邏輯執(zhí)行到 left = mid 這個分支，且你選擇的中位數(shù)是左中位數(shù)，此時左邊界就不會得到更新，區(qū)間就不會再收縮（理解這句話是關(guān)鍵），從而進(jìn)入死循環(huán)；

• 為了避免出現(xiàn)死循環(huán)，你需要選擇中位數(shù)是右中位數(shù)，當(dāng)邏輯執(zhí)行到 left = mid 這個分支的時候，因為你選擇了右中位數(shù)，讓邏輯可以轉(zhuǎn)而執(zhí)行到 right = mid - 1 讓區(qū)間收縮，最終成為 1 個數(shù)，退出 while 循環(huán)。

上面這段話不理解沒有關(guān)系，因為我還沒有舉例子，你有個印象就好，類似地，理解選擇中位數(shù)的依據(jù)的第 2 點(diǎn)。

（6）退出循環(huán)的時候，可能需要對“夾逼”剩下的那個數(shù)單獨(dú)做一次判斷，這一步稱之為“后處理”。

二分查找法之所以高效，是因為它利用了數(shù)組有序的特點(diǎn)，在每一次的搜索過程中，都可以排除將近一半的數(shù)，使得搜索區(qū)間越來越小，直到區(qū)間成為一個數(shù)。回到這一節(jié)最開始的疑問：“區(qū)間左右邊界相等（即收縮成 1 個數(shù)）時，這個數(shù)是否會漏掉”，解釋如下：

1、如果你的業(yè)務(wù)邏輯保證了你要找的數(shù)一定在左邊界和右邊界所表示的區(qū)間里出現(xiàn)，那么可以放心地返回 left 或者 right，無需再做判斷；

2、如果你的業(yè)務(wù)邏輯不能保證你要找的數(shù)一定在左邊界和右邊界所表示的區(qū)間里出現(xiàn)，那么只要在退出循環(huán)以后，再針對 nums[left] 或者 nums[right] （此時 nums[left] == nums[right]）單獨(dú)作一次判斷，看它是不是你要找的數(shù)即可，這一步操作常常叫做“后處理”。

• 如果你能確定候選區(qū)間里目標(biāo)元素一定存在，則不必做“后處理”。

例：LeetCode 第 69 題：x 的平方根

實(shí)現(xiàn) int sqrt(int x) 函數(shù)。

計算并返回 x 的平方根，其中 x 是非負(fù)整數(shù)。

由于返回類型是整數(shù)，結(jié)果只保留整數(shù)的部分，小數(shù)部分將被舍去。

分析：非負(fù)實(shí)數(shù) x 的平方根在 [0, x] 內(nèi)一定存在，故退出 while (left < right) 循環(huán)以后，不必單獨(dú)判斷 left 或者 right 是否符合題意。

• 如果你不能確定候選區(qū)間里目標(biāo)元素一定存在，需要單獨(dú)做一次判斷。

例：LeetCode 第 704 題：二分查找

給定一個 n 個元素有序的（升序）整型數(shù)組 nums 和一個目標(biāo)值 target ?，寫一個函數(shù)搜索 nums 中的 target，如果目標(biāo)值存在返回下標(biāo)，否則返回 -1。

分析：因為目標(biāo)數(shù)有可能不在數(shù)組中，當(dāng)候選區(qū)間夾逼成一個數(shù)的時候，要單獨(dú)判斷一下這個數(shù)是不是目標(biāo)數(shù)，如果不是，返回 -1。

（7）取中位數(shù)的時候，要避免在計算上出現(xiàn)整型溢出；

int mid = (left + right) / 2; 的問題：在 left 和 right 很大的時候，left + right 會發(fā)生整型溢出，變成負(fù)數(shù)，這是一個 bug ，得改！

int mid = left + (right - left) / 2; 在 right 很大、 left 是負(fù)數(shù)且很小的時候， right - left 也有可能超過 int 類型能表示的最大值，只不過一般情況下 left 和 right 表示的是數(shù)組索引值，left 是非負(fù)數(shù)，因此 right - left 溢出的可能性很小。因此，它是正確的寫法。下面介紹推薦的寫法。

int mid = (left + right) >>> 1; 如果這樣寫， left + right 在發(fā)生整型溢出以后，會變成負(fù)數(shù)，此時如果除以 $2$ ，mid 是一個負(fù)數(shù)，但是經(jīng)過無符號右移，可以得到在不溢出的情況下正確的結(jié)果。

解釋“無符號右移”：在 Java 中，無符號右移運(yùn)算符 >>> 和右移運(yùn)算符 >> 的區(qū)別如下：

• 右移運(yùn)算符 &gt;&gt; 在右移時，丟棄右邊指定位數(shù)，左邊補(bǔ)上符號位；

• 無符號右移運(yùn)算符 &gt;&gt;&gt; 在右移時，丟棄右邊指定位數(shù)，左邊補(bǔ)上 $0$，也就是說，對于正數(shù)來說，二者一樣，而負(fù)數(shù)通過 &gt;&gt;&gt; 后能變成正數(shù)。

下面解釋上面的模板中，取中位數(shù)的時候使用先用“＋”，然后“無符號右移”。

1、int mid = (left + right) / 2 與 int mid = left + (right - left) / 2 兩種寫法都有整型溢出的風(fēng)險，沒有哪一個是絕對安全的，注意：這里我們?nèi)∑骄涤玫氖浅?2，并且是整除：

• int mid = (left + right) / 2 在 left 和 right 都很大的時候會溢出；

• int mid = left + (right - left) / 2 在 right 很大，且 left 是負(fù)數(shù)且很小的時候會溢出；

2、寫算法題的話，一般是讓你在數(shù)組中做二分查找，因此 left 和 right 一般都表示數(shù)組的索引，因此 left 在絕大多數(shù)情況下不會是負(fù)數(shù)并且很小，因此使用 ?int mid = left + (right - left) // 2 ?相對 int mid = (left + right) // 2 更安全一些，并且也能向別人展示我們注意到了整型溢出這種情況，但事實(shí)上，還有更好的方式；

3、建議使用 int mid = (left + right) >>> 1 這種寫法，其實(shí)是大有含義的：

JDK8 中采用 int mid = (left + right) >>> 1 ，重點(diǎn)不在 + ，而在 >>> 。

我們看極端的情況，left 和 high 都是整型最大值的時候，注意，此時 $32$ 位整型最大值它的二進(jìn)制表示的最高位是 $0$，它們相加以后，最高位是 $1$ ，變成負(fù)數(shù)，但是再經(jīng)過無符號右移 >>>（重點(diǎn)是忽略了符號位，空位都以 $0$ 補(bǔ)齊），就能保證使用 + 在整型溢出了以后結(jié)果還是正確的。

Java 中 Collections 和 Arrays 提供的 binarySearch 方法，我們點(diǎn)進(jìn)去看 left 和 right 都表示索引，使用無符號右移又不怕整型溢出，那就用 int mid = (left + right) >>> 1 ?好啦。位運(yùn)算本來就比使用除法快，這樣看來使用 + 和 <<< 真的是又快又好了。

我想這一點(diǎn)可能是 JDK8 的編寫者們更層次的考量。

看來以后寫算法題，就用 ?int mid = (left + right) >>> 1 吧，反正更多的時候 left 和 right 表示索引。

（8）編碼一旦出現(xiàn)死循環(huán)，輸出必要的變量值、分支邏輯是調(diào)試的重要方法。

當(dāng)出現(xiàn)死循環(huán)的時候的調(diào)試方法：打印輸出左右邊界、中位數(shù)的值和目標(biāo)值、分支邏輯等必要的信息。

按照我的經(jīng)驗，一開始編碼的時候，稍不注意就很容易出現(xiàn)死循環(huán)，不過沒有關(guān)系，你可以你的代碼中寫上一些輸出語句，就容易理解“在區(qū)間元素只有 2 個的時候容易出現(xiàn)死循環(huán)”。

6、總結(jié)

總結(jié)一下，我愛用這個模板的原因、技巧、優(yōu)點(diǎn)和注意事項：

（1）原因：

無腦地寫 while left < right: ，這樣你就不用判斷，在退出循環(huán)的時候你應(yīng)該返回 left 還是 right，因為返回 left 或者 right 都對；

（2）技巧：

先寫分支邏輯，并且先寫排除中位數(shù)的邏輯分支（因為更多時候排除中位數(shù)的邏輯容易想，但是前面我也提到過，這并不絕對），另一個分支的邏輯你就不用想了，寫出第 1 個分支的反面代碼即可（下面的說明中有介紹），再根據(jù)分支的情況選擇使用左中位數(shù)還是右中位數(shù)；

說明：這里再多說一句。如果從代碼可讀性角度來說，只要是你認(rèn)為好想的邏輯分支，就把它寫在前面，并且加上你的注釋，這樣方便別人理解，而另一個分支，你就不必考慮它的邏輯了。有的時候另一個分支的邏輯并不太好想，容易把自己繞進(jìn)去。如果你練習(xí)做得多了，會形成條件反射。

我簡單總結(jié)了一下，左右分支的規(guī)律就如下兩點(diǎn)：

• 如果第 1 個分支的邏輯是“左邊界排除中位數(shù)”（left = mid + 1），那么第 2 個分支的邏輯就一定是“右邊界不排除中位數(shù)”（right = mid），反過來也成立；

• 如果第 2 個分支的邏輯是“右邊界排除中位數(shù)”（right = mid - 1），那么第 2 個分支的邏輯就一定是“左邊界不排除中位數(shù)”（left = mid），反之也成立。

“反過來也成立”的意思是：如果在你的邏輯中，“邊界不能排除中位數(shù)”的邏輯好想，你就把它寫在第 1 個分支，另一個分支是它的反面，你可以不用管邏輯是什么，按照上面的規(guī)律直接給出代碼就可以了。能這么做的理論依據(jù)就是“排除法”。

（3）優(yōu)點(diǎn)：

分支條數(shù)只有 2 條，代碼執(zhí)行效率更高，不用在每一輪循環(huán)中單獨(dú)判斷中位數(shù)是否符合題目要求，寫分支的邏輯的目的是盡量排除更多的候選元素，而判斷中位數(shù)是否符合題目要求我們放在最后進(jìn)行，這就是第 5 點(diǎn)；

說明：每一輪循環(huán)開始都單獨(dú)判斷中位數(shù)是否符合要求，這個操作不是很有普適性，因為從統(tǒng)計意義上說，中位數(shù)直接就是你想找的數(shù)的概率并不大，有的時候還要看看左邊，還要看看右邊。不妨就把它放在最后來看，把候選區(qū)間“夾逼”到只剩 $1$ 個元素的時候，視情況單獨(dú)再做判斷即可。

（4）注意事項 1：

左中位數(shù)還是右中位數(shù)選擇的標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)分支的邏輯而來，標(biāo)準(zhǔn)是每一次循環(huán)都應(yīng)該讓區(qū)間收縮，當(dāng)候選區(qū)間只剩下 $2$ 個元素的時候，為了避免死循環(huán)發(fā)生，選擇正確的中位數(shù)類型。如果你實(shí)在很暈，不防就使用有 $2$ 個元素的測試用例，就能明白其中的原因，另外在代碼出現(xiàn)死循環(huán)的時候，建議你可以將左邊界、右邊界、你選擇的中位數(shù)的值，還有分支邏輯都打印輸出一下，出現(xiàn)死循環(huán)的原因就一目了然了；

（5）注意事項 2：

如果能確定要找的數(shù)就在候選區(qū)間里，那么退出循環(huán)的時候，區(qū)間最后收縮成為 $1$ 個數(shù)后，直接把這個數(shù)返回即可；如果你要找的數(shù)有可能不在候選區(qū)間里，區(qū)間最后收縮成為 $1$ 個數(shù)后，還要單獨(dú)判斷一下這個數(shù)是否符合題意。

最后給出兩個模板，大家看的時候看注釋，不必也無需記憶它們。

二分查找模板-1.png二分查找模板-2.png

說明：我寫的時候，一般是先默認(rèn)將中位數(shù)寫成左中位數(shù)，再根據(jù)分支的情況，看看是否有必要調(diào)整成右中位數(shù)，即是不是要在 (right - left) 這個括號里面加 $1$ 。

雖說是兩個模板，區(qū)別在于選中位數(shù)，中位數(shù)根據(jù)分支邏輯來選，原則是區(qū)間要收縮，且不出現(xiàn)死循環(huán)，退出循環(huán)的時候，視情況，有可能需要對最后剩下的數(shù)單獨(dú)做判斷。

我想我應(yīng)該是成功地把你繞暈了，如果您覺得啰嗦的地方，就當(dāng)我是“重要的事情說了三遍”吧，確實(shí)是重點(diǎn)的地方我才會重復(fù)說。

當(dāng)然，最好的理解這個模板的方法還是應(yīng)用它。

在此建議您不妨多做幾道使用“二分查找法”解決的問題，用一下我說的這個模板，在發(fā)現(xiàn)問題的過程中，體會這個模板好用的地方，相信你一定會和我一樣愛上這個模板的。

7、應(yīng)用提升

這里給出一些練習(xí)題，這些練習(xí)題都可以使用這個“神奇的”二分查找法模板比較輕松地寫出來，并且得到一個不錯的分?jǐn)?shù)，大家加油！

LeetCode 第 704 題

LeetCode 第 69 題

LeetCode 第 153 題

LeetCode 第 154 題

LeetCode 第 287?LeetCode 第 1095 題
LeetCode 第 658 題LeetCode 第 4 題
End

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來和小伙伴們一起向上生長呀！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的有了这套模板，女朋友再也不用担心我刷不动 LeetCode 了的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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