今天的CSDN問答專欄里出現了一個實戰中遇到的問題：現有兩組數據，一組是時間序列，一組是對應時間序列的旋轉角度，請問怎樣計算某一時刻的角速度呢？

時間（s）角度（°）

192	7.085
193	10.497
194	14.019
195	17.683
196	21.487
197	25.403
198	29.402
199	33.467

顯然，這是一個求導即可解決的問題。如果將時間記作t，將旋轉角度記作θ，那么θ就是t的函數：

對上式求導，就得到角速度v對時間t的函數：

通常，我們把第1個公式叫做原函數，把第2個公式叫做導函數。有了原函數，利用六大基本初等函數的求導公式，或者應用復合函數求導法則，一般都可以得到導函數。

然而，本問題的原函數f(t)在哪里呢？我們手頭有的，不過是兩組離散的測量數據而已。漫說f(t)不見蹤影，就算f(t)已經存在，倘若不是基本初等函數的話，恐怕大多數程序員也早已忘記如何求導了吧？

看起來真的是山窮水盡無從下手了。不過呢，不用擔心，今天推薦一個通用的求導方法，可以幫助程序員徹底擺脫求導的困惑。這個通用方法有兩個步驟：第一步是通過離散數據找到原函數，第二步是不依賴于求導公式和技巧就可以得到導函數，無論原函數有多么復雜。

1. 尋找原函數

從兩組離散數據中找到它們之間的內在關系，是一個回歸問題，而數據插值就是對回歸函數的應用。這啟發了我從scipy的插值問題中尋找回歸函數。為了使方法更具通用性，下面的代碼用自變量x代替時間t，用因變量y代替旋轉角度θ，借助scipy模塊的一維插值函數interp1d，輕松得到了本文開始給出的兩組數據間隱含的函數關系。

>>>?import?numpy?as?np >>>?from?scipy?import?interpolate >>>?_x?=?np.linspace(192,199,8) >>>?_y?=?np.array([7.085,10.497,14.019,17.683,21.487,25.403,29.402,33.467]) >>>?f?=?interpolate.interp1d(_x,?_y,?kind='cubic')

這段代碼最后得到的f，就是旋轉角度對于時間的函數，自變量的值域范圍限定在原始的時間數據的變化范圍內。現在我們可以用它來計算192~199范圍內任意時刻的旋轉角度了。

>>>?f(193.3) array(11.54026091) >>>?f(193.35) array(11.71517478) >>>?f(193.351) array(11.71867619)

分別輸入193.3、193.35、193.351等時刻，簡單測試了一下，看上去還都挺象那么回事兒。

2. 求解導函數

原函數找是找到了，卻猶抱琵琶半遮面，究竟什么模樣，我們還是不得而知。沒關系，下面這個通用的求導方法根本不在意原函數長什么樣，只要原函數是真實存在的，就足夠了。這個方法的原理，就是令自變量x在某處有一個極小的增量dx，將因變量y的增量dy與dx之比近似視為函數在該處的導數。這里默認dx=1.0X10的-10次方，如有必要，還可以將其設置為更小的數值。

>>>?def?get_derivative(f,?delta=1e-10):"""導函數生成器"""def?derivative(x):"""導函數"""return?(f(x+delta)-f(x))/deltareturn?derivative

這不是一個閉包函數嗎？熟悉閉包的讀者一眼就會看出來。沒錯，導函數生成器就是一個閉包函數，只要告訴它原函數，它就返回對應的導函數。用剛才得到的旋轉角度關于時間的原函數來測試一下，輕松得到其導函數，也就是旋轉角速度關于時間的函數。

>>>?fd?=?get_derivative(f)

用這個導函數計算一下193.5和195.8兩個時刻的角速度：

>>>?fd(193.5) 3.590830143540664 >>>?fd(195.8) 3.8961776076555026

至此，問題得解。

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總結

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