特征向量中心性的基本思想是，一個節點的中心性是相鄰節點中心性的函數。也就是說，與你連接的人越重要，你也就越重要。

特征向量中心性和點度中心性不同，一個點度中心性高即擁有很多連接的節點，但特征向量中心性不一定高，因為所有的連接者有可能特征向量中心性很低。同理，特征向量中心性高并不意味著它的點度中心性高，它擁有很少但很重要的連接者也可以擁有高特征向量中心性。

考慮下面的圖，以及相應的5x5的鄰接矩陣(Adjacency Matrix)，A。

$$A=?\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}?$$
現在考慮x，一個5x1的向量，向量的值對應圖中的每個點。在這種情況下，我們計算的是每個點的點度中心性（degree centrality），即以點的連接數來衡量中心性的高低。

矩陣A乘以這個向量的結果是一個5x1的向量：
$$\mathbf{A}\times \mathbf{x}=?\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}??\begin{array}{l}3\\ 2\\ 3\\ 3\\ 1\end{array}?=?\begin{array}{l}0\times 3+1\times 2+1\times 3+1\times 3+0\times 1\\ 1\times 3+0\times 2+1\times 3+0\times 3+0\times 1\\ 1\times 3+1\times 2+0\times 3+1\times 3+0\times 1\\ 1\times 3+0\times 2+1\times 3+0\times 3+1\times 1\\ 0\times 3+0\times 2+1\times 3+0\times 3+0\times 1\end{array}?=?\begin{array}{c}8\\ 6\\ 8\\ 7\\ 3\end{array}?$$
結果向量的第一個元素是用矩陣A的第一行去“獲取”每一個與第一個點有連接的點的值（連接數，點度中心性），也就是第2個、第3個和第4個點的值，然后將它們加起來。

換句話說，鄰接矩陣做的事情是將相鄰節點的求和值重新分配給每個點。這樣做的結果就是“擴散了”點度中心性。你的朋友的朋友越多，你的特征向量中心性就越高。

我們繼續用矩陣A乘以結果向量。如何理解呢？

實際上，我們允許這一中心性數值再次沿著圖的邊界“擴散”。我們會觀察到兩個方向上的擴散（點既給予也收獲相鄰節點）。我們猜測，這一過程最后會達到一個平衡，特定點收獲的數量會和它給予相鄰節點的數量取得平衡。既然我們僅僅是累加，數值會越來越大，但我們最終會到達一個點，各個節點在整體中的比例會保持穩定。

$$A\times X=?\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}??\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}?=?\begin{array}{l}0?x_1+1?x_2+1?x_3+1?x_4+0?x_5\\ 1?x_1+0?x_2+1?x_3+0?x_4+0?x_5\\ 1?x_1+1?x_2+0?x_3+1?x_4+0?x_5\\ 1?x_1+0?x_2+1?x_3+0?x_4+1?x_5\\ 0?x_1+0?x_2+0?x_3+1?x_4+0?x_5\end{array}?$$

我們認為，圖中的點存在一個數值集合，對于它，用矩陣A去乘不會改變向量各個數值的相對大小。也就是說，它的數值會變大，但乘以的是同一個因子。用數學符號表示就是：
$$\begin{gathered} Mx=\lambda x \\ M\times ?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ ...\\ x_n\end{array}?=?\begin{array}{c}\lambda x_1\\ \lambda x_2\\ \lambda x_3\\ ...\\ \lambda x_n\end{array}? \end{gathered}$$

滿足這一屬性的向量就是矩陣M的特征向量。特征向量的元素就是圖中每個點的特征向量中心性。

記$x_i$是$v_i$的特征向量中心性度量，則：
$$EC(i)=x_i=c\sum _{j=i}^n{a}_{ij}{x}_j$$
其中c表示一個比例常數，記$x=[x_1,x_2,...,x_n{]}^T$，經過多次迭代達到穩態時，可寫成如下形式：
$$x=cAx$$
其中c為一個比例常數，$a_{ij}$當且僅當i與j相連，否則為0。
這里的x是矩陣A的特征值$c^{?1}$對應的特征向量，也可以表示成如下形式：
$$Ax=\lambda x$$
特征向量中心性的計算需要讀者具備矩陣乘法和特征向量的知識，但不影響這里大家對特征向量中心性思想的理解，不再贅述。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的特征向量中心性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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