第四章：樹與二叉樹(二叉樹的邏輯結構)

1.二叉樹

二叉樹是樹結構的一種，故二叉樹也是邏輯結構。

二叉樹：二叉樹是n(n≥0)個結點的有限集合。

· 1)n=0時,二叉樹為空;

· 2)n>0時,由根結點和兩個互不相交的被稱為根的左子樹和右子樹組成。左子樹和右子樹也分別是一棵二叉樹。

五種基本形態

三個結點的二叉樹有多少種？？

2.二叉樹VS度為2的有序樹

· 1)二叉樹可以為空,而度為2的有序樹至少有三個結點

度為2的有序樹，則說明必須有一個結點的子節點為兩個

· 2)二叉樹的孩子結點始終有左右之分,而度為2有序樹的孩子結點次序是相對的

在度為2的有序樹中，如果有一個結點只有一個孩子結點，則是不分左右的。

3.特殊二叉樹

3.1滿二叉樹

滿二叉樹：一棵高度為h，且含有2^h-1個結點的二叉樹為滿二叉樹。

上篇文章中講樹的時候我們知道：高度為h的m叉樹至多有(m^h-1)/(m-1) 個結點。這里我們把m換成2，即可。

編號規則：從上到下、從左到右；

觀察上述編號可以發現下面結論：

對于編號為 i 的結點,若存在,其雙親的編號為(i/2取整),左孩子為2i,右孩子為2i+1

3.2完全二叉樹

完全二叉樹：設一個高度為h、有n個結點的二叉樹，當且僅當其每個結點都與高度為h的滿二叉樹中編號1~n的結點一 一對應時,稱為完全二叉樹。

我們可以發現，如果一個二叉樹是完全二叉樹，則此二叉樹除了最后一層結點數不滿外，其余層結點數都是滿的。

完全二叉樹的性質：

· 若 i <= n/2 取整數，則結點 i 為分支結點，否則為葉子結點。

i 是結點編號，n 是結點的總數。

· 葉子結點只可能在層次最大的兩層上出現。對于最大層次的葉子結點，都依次排在最左邊的位置上。

· 度為1的結點若存在，則可能只有一個，且是編號最大的分支結點，并且孩子結點一定是左結點。

因為完全二叉樹的編號是按照從上到下，從左到右編號的，而且除了最后一層結點數不滿外，其余層結點數都是滿的，所以度為1的結點可能存在也可能不存在，如果存在只可能在最后一個結點的雙親結點才能出現度為1的結點。

所有的性質都緊緊依賴完全二叉樹的編號是從上到下，從左到右的。

3.3二叉排序樹

二叉排序樹：一棵二叉樹，若樹非空則具有如下性質：

· 對任意結點若存在左子樹或右子樹，則其左子樹上所有結點的關鍵字均小于該結點。

· 右子樹上所有結點的關鍵字均大于該結點。

可以發現二叉排序樹的左子樹和右子樹都是一棵二叉排序樹。

3.4平衡二叉樹

平衡二叉樹：樹上任意結點的左子樹和右子樹的深度差不超過1

f復習：高度和深度的定義，某節點的深度是指從根節點到該節點的最長簡單路徑邊的條數，而高度是指從該節點到葉子節點的最長簡單路徑邊的條數。記住：深度是從根結點到該結點的邊數的，而高度是從葉子節點往上數到該結點的邊數。注意：這里邊的條數是規定根節點的深度和葉子節點的高度是0；所以樹的深度和高度是相等的，而對其他節點來說深度和高度不一定相等。

上圖就不是一個平衡二叉樹：

上圖根結點的左子樹深度為3，右子樹深度為2，3-2=1，沒問題，但是A結點的左子樹深度為2，而A結點的右子樹深度為0，2-0=2>1，不對。

4.二叉樹的性質

4.1n0=n2+1

· 非空二叉樹上的葉子結點數等于度為2的結點數加1，即n0=n2+1.

如圖上述二叉樹：

· 首先我們知道二叉樹的結點數等于各種度數二叉樹結點的和，即n=n0+n1+n2。

· 另外n=0*n0+1*n1+2*n2+1，這個計算方法是按照子節點個數計算的，0*n0代表葉子節點的子節點數(葉子結點子節點數為0，故乘以0)，1*n1代表子節點數為1的結點的個數，2*n2代表子節點數為2的結點的個數，最后加上1，代表根結點。

將上面的兩個關于n的式子相減即可得到：n0=n2+1

4.2性質2

非空二叉樹上第 k 層上至多有 2^(k-1)個結點(k≥1)

4.3性質3

高度為h的二叉樹至多有2^h -1個結點(h>=1) [滿二叉樹結點的總數]

4.4性質4

4)對完全二叉樹按從上到下、從左到右的順序依次編號1,2,....n,則有以下關系：

· 當 i>1 時,結點的雙親結點標號為 i/2 取整數, 即當 i 為偶數時,其雙親結點的編號為 i/2 ,他是雙親結點的左孩子;當為奇數時,其雙親結點的編號為(i-1)/2, 他是雙親結點的右孩子。

· 當 2i <= n 時,結點 i 的左孩子編號為 2i ，否則無左孩子

· 當 2i+1<=n 時,結點 i 的右孩子編號為 2i+1,否則無右孩子

4.5性質5

則第h層，2^(h-1) =< i < 2^h ，對該式子兩端取對數，則h-1 =< log2i< h，我們對log2i取下界，則得到h-1，再加1則得到系欸但所在的層次：[log2i] +1

4.6性質6

由性質3：高度為h的二叉樹至多有2^h -1個結點(h>=1)。令2^h -1=n，則可以推出 h = log2(n+1)，至于這里為啥要取上界，是因為這個性質3，是按照滿二叉樹情況，但是完全二叉樹的最后一層結點數不一定能達到最多，但也要算一層。

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總結

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