淺談歐拉定理

本篇隨筆簡(jiǎn)單講解一下信息學(xué)奧林匹克競(jìng)賽數(shù)論部分歐拉定理這一知識(shí)點(diǎn)。介紹的內(nèi)容大致分為這么幾個(gè)部分：“同余的基本概念、費(fèi)馬小定理、歐拉定理及其推論、乘法逆元”。

同余的基本概念

同余的概念啊非常簡(jiǎn)單啦：如果兩個(gè)整數(shù)(a,b)除以一個(gè)數(shù)(m)的余數(shù)相等的話，那么就叫做(a,b)在模(m)的意義上同余。

記作：

[aequiv b\,\,\,(mod\,\,m)
]

那么根據(jù)同余的這個(gè)定義，我們很容易能推導(dǎo)出一個(gè)性質(zhì)：如果兩個(gè)數(shù)(a,b)在模(m)的意義下同余，那么(a-b)就是(m)的倍數(shù)，這是顯然的。

以及，如果(a\%m=1)，那么就可以被改寫成這樣的式子：

[aequiv 1\,\,\,(mod\,\,m)
]

這個(gè)轉(zhuǎn)化的正確性也是顯然的。

費(fèi)馬小定理

費(fèi)馬小定理也非常簡(jiǎn)單啦！用語(yǔ)言描述就是，如果一個(gè)數(shù)(p)是質(zhì)數(shù)，那么對(duì)于一個(gè)不為(p)的倍數(shù)的整數(shù)(a)，有(a^{p-1}equiv 1\,\,\,(mod\,\,p))。那么把這個(gè)結(jié)論兩邊同時(shí)乘上一個(gè)(a)，即可得出：對(duì)于任意的整數(shù)(a)，(a)的(p)次冪與(a)在模(p)的意義上同余。

即：

[a^pequiv a\,\,\,(mod\,\,p)
]

證明過(guò)程由于筆者水平有限，請(qǐng)參閱百度百科：

引理1．
　　若a,b,c為任意3個(gè)整數(shù),m為正整數(shù)，且(m,c)=1，則當(dāng)a·c≡b·c(mod m)時(shí)，有a≡b(mod m)。
　　證明：a·c≡b·c(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)·c≡0(mod m)。因?yàn)?m,c)=1即m,c互質(zhì)，c可以約去，a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)。 [2]

引理2．
　　設(shè)m是一個(gè)整數(shù)且m>1，b是一個(gè)整數(shù)且(m,b)=1。如果a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]是模m的一個(gè)完全剩余系，則b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]也構(gòu)成模m的一個(gè)完全剩余系。
　　證明:若存在2個(gè)整數(shù)b·a[i]和b·a[j]同余即b·a[i]≡b·a[j](mod m)..(i>=1 && j>=1)，根據(jù)引理1則有a[i]≡a[j](mod m)。根據(jù)完全剩余系的定義可知這是不可能的，因此不存在2個(gè)整數(shù)b·a[i]和b·a[j]同余。

所以b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]構(gòu)成模m的一個(gè)完全剩余系。

構(gòu)造素?cái)?shù)

的完全

因?yàn)?/p>

，由引理2可得

也是p的一個(gè)完全剩余系。由完全剩余系的性質(zhì)，

即

易知

，兩邊可約去

這樣就證明了費(fèi)馬小定理。

（結(jié)論必須要記住）：

[a^pequiv a\,\,\,(mod\,\,p)
]

歐拉定理

在學(xué)習(xí)歐拉定理之前，需要先學(xué)習(xí)一下歐拉函數(shù)。推薦本蒟蒻的這篇博客：

歐拉函數(shù)詳解

那么有了這個(gè)知識(shí)做鋪墊，我們就可以得出歐拉定理的式子：

[a^{phi(p)}equiv1\,\,\,(mod\,\,p)
]

也就是說(shuō)，如果(a,p)為整數(shù)且(a,p)互質(zhì)，那么(a)的(p)的歐拉函數(shù)次冪與(1)在模(p)意義下同余。

（以下證明摘自百度百科。）

證明

將1~n中與n互質(zhì)的數(shù)按順序排布：x1,x2……xφ(n) （顯然，共有φ(n)個(gè)數(shù)）

我們考慮這么一些數(shù)：

m1=ax1;m2=ax2;m3=ax3……mφ(n)=axφ(n)

1）這些數(shù)中的任意兩個(gè)都不模n同余，因?yàn)槿绻衜S≡mR (mod n) （這里假定mS更大一些），就有：

mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a與n互質(zhì)，a與n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。也就是說(shuō)這些數(shù)中的任意兩個(gè)都不模n同余，φ(n)個(gè)數(shù)有φ(n)種余數(shù)。

2）這些數(shù)除n的余數(shù)都與n互質(zhì)，因?yàn)槿绻鄶?shù)與n有公因子r，那么axi=pn+qr=r(……)，axi與n不互質(zhì)，而這是不可能的。(因?yàn)閍xi=pn+qr=r(……)，說(shuō)明axi含有因子r，又因?yàn)榍懊婕僭O(shè)n含有因子r，所以axi和n含有公因子r，因此axi與n不互質(zhì))那么這些數(shù)除n的余數(shù)，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因?yàn)檫@是1~n中與n互質(zhì)的所有數(shù)，而余數(shù)又小于n.

由1）和2）可知，數(shù)m1,m2,m3……mφ(n)（如果將其次序重新排列）必須相應(yīng)地同余于x1,x2,x3……xφ(n).

故得出：m1m2m3……mφ(n)≡x1x2x3……xφ(n) (mod n)

或者說(shuō)a^[1](x1x2x3……xφ(n))≡x1x2*x3……xφ(n)(mod n)

或者為了方便：K{a^[2]-1}≡0 ( mod n ) 這里K=x1x2x3……xφ(n)。

可知K{a^[3]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都與n互質(zhì)，所以K與n互質(zhì)。那么a^[4]-1必須能被n整除，即a^[5]-1≡0 （mod n），即a^[6]≡1 （mod n），得證。

歐拉定理的推論

歐拉定理能干什么呢？

比如，簡(jiǎn)化冪的模運(yùn)算。

例題：計(jì)算(7^{222})的個(gè)位數(shù)。（也就是計(jì)算(7^{222}mod\,\,10)）。

那么，根據(jù)歐拉定理，(a^{phi(p)}equiv1\,\,\,(mod\,\,p))，我們可以有以下的推導(dǎo)：

首先，因?yàn)?7,10)互質(zhì)，且(phi (10)=4)，所以有：(7^4equiv 1\,\,\,(mod\,\,10))。

那么，根據(jù)取余的性質(zhì)，因?yàn)?7^4mod\,\,10=1)，所以(7^4)的(n)次冪模10還等于1.

那么就可以有：

(7^{222}=7^{4 imes55+2})，把1全部約去，得到：

(7^2equiv7^{222}\,\,\,(mod\,\,10))

這樣就簡(jiǎn)單多了。

所以我們得出了這樣的一個(gè)結(jié)論：

[a^n\,\,mod\,\,p=a^{n\%phi(p)}\,\,mod\,\,p
]

也就是說(shuō)：

[a^nequiv a^{n\%phi(p)}\,\,\,(mod\,\,p)
]

這個(gè)結(jié)論也叫做：歐拉定理的推論，極其重要。

對(duì)于線性計(jì)算的式子（這里指四則基本運(yùn)算中除了除法之外的三種運(yùn)算），如果要求我們對(duì)于(a+b,a-b,a imes b)的結(jié)果取模，那么我們完全可以在進(jìn)行運(yùn)算之前先對(duì)(a,b)取模，對(duì)結(jié)果不會(huì)造成任何影響。

但是如果要求我們對(duì)(a^b)這樣的式子取模呢？

這就用到了歐拉定理的推論：我們可以把底數(shù)對(duì)(p)取模（這個(gè)操作的正確性就是由前面說(shuō)的四則混合運(yùn)算的正確性推導(dǎo)出來(lái)的，別忘了乘方運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是一堆連乘）。指數(shù)對(duì)(phi(p))取模，再進(jìn)行運(yùn)算即可（快速冪走起）。

求乘法逆元

乘法逆元的概念

其實(shí)是一個(gè)介紹定義的過(guò)程：

如果(axequiv1\,\,\,(mod\,\,p))，并且(a,p)互質(zhì)，則稱(a)關(guān)于模(p)的乘法逆元為(x)。

還是比較容易記住的。

乘法逆元的求解

舉個(gè)例子：

如果需要我們求解(4)關(guān)于模(7)的乘法逆元。那么也就是說(shuō)，對(duì)于這個(gè)需要去求解的乘法逆元(x)，我們只需要找到一個(gè)(k)，使得下式成立：

[4x=7k+1
]

（這個(gè)式子是由于乘法逆元的定義：(4xequiv 1\,\,\,(mod\,\,7))以及同余的定義得到的）。

關(guān)于乘法逆元的求解，我們首先要對(duì)其進(jìn)行分類。

首先，我們需要明白的是，對(duì)于(a)關(guān)于模(p)的乘法逆元的求解，只有在(a,p)互質(zhì)的時(shí)候才有解，否則就是無(wú)解。這不僅是定義規(guī)定的，更是滿足大前提的首要條件（大家只需要牢牢記住就好）。

那么，現(xiàn)在，(a,p)已經(jīng)互質(zhì)了。那么又有兩種情況：模數(shù)(p)是否為素?cái)?shù)。

假如(p)為素?cái)?shù)。那么我們可以使用費(fèi)馬小定理來(lái)求解乘法逆元。

根據(jù)費(fèi)馬小定理，有：(a^{p-1}equiv1\,\,\,(mod\,\,p))，那么結(jié)合乘法逆元的定義，如果(a,p)互質(zhì)，那么原式可以拆成(a imes a^{p-2}equiv1\,\,\,(mod\,\,p))。也就是說(shuō)，這個(gè)時(shí)候的乘法逆元就是(a^{p-2})。

假如(p)不是素?cái)?shù)，就需要我們使用擴(kuò)展歐幾里得算法求解，對(duì)于擴(kuò)展GCD還有不明白的小伙伴，請(qǐng)移步本蒟蒻的這篇博客：

淺談擴(kuò)展GCD

對(duì)于擴(kuò)展歐幾里得算法，我們知道它可以被用于求解同余方程。

那么就和乘法逆元的求解很匹配了，因?yàn)槌朔嬖那蠼獗举|(zhì)上就是在求解這么一個(gè)同余方程：

[axequiv 1\,\,\,(mod\,\,p)
]

但是，擴(kuò)展GCD解決的是形如(ax+by=gcd(a,b))的東西，和這個(gè)同余式子有什么關(guān)系呢？

如果像我一開(kāi)始一樣不太會(huì)變通的話，請(qǐng)看下面的證明過(guò)程。

最裸最裸，我們會(huì)求解形如：(ax+by=gcd(a,b))，這樣的方程。

那么，我們只需要把這個(gè)(axequiv1\,\,\,(mod\,\,p))轉(zhuǎn)換成這樣的形式進(jìn)行求解即可。

假設(shè)我們可以把這個(gè)同余方程轉(zhuǎn)換成(ax+by=gcd(a,b))的形式，那么當(dāng)(a,b)互質(zhì)時(shí)，(gcd(a,b)=1)，咦？我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)東西和乘法逆元的定義：(a,p)互質(zhì)好像啊！那就讓(b=p)吧！

那么，有(ax+by=1)。

兩側(cè)同時(shí)對(duì)(b)取模（因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候(b=p)了），有(ax\%b+by\%b=1\%b=1)。

因?yàn)?by\%b=0)，所以原式就變成了：

(axequiv1\,\,\,(mod\,\,p))，得證。

也就是說(shuō)，如果要求一個(gè)數(shù)(a)關(guān)于(p)的乘法逆元，直接向擴(kuò)展GCD算法的模板里傳((a,p,x,y))，最后的(x)就是我們要求的乘法逆元。

這樣的話有一道經(jīng)典裸題例題：NOIP2012同余方程

然后我們就可以求出一個(gè)數(shù)的乘法逆元。

線性求逆元

其實(shí)我認(rèn)為，前面的“求一個(gè)數(shù)的逆元”的部分最終還是為這個(gè)“線性求逆元”做鋪墊（理論知識(shí)大于天嘛！）。我們?cè)趯W(xué)數(shù)論的時(shí)候可能都會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們?cè)谔骄康倪^(guò)程中都是一個(gè)“由局部到整體”的概念：由判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)到判斷一群數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，由求一個(gè)數(shù)的約數(shù)集合到篩選一群數(shù)的約數(shù)集......同樣，在學(xué)會(huì)了求一個(gè)數(shù)的逆元之后，我們要學(xué)習(xí)線性篩逆元。

求一個(gè)數(shù)的逆元的復(fù)雜度是(O(log N))的。如果我們要求很多數(shù)的逆元的時(shí)候，如無(wú)意外它的復(fù)雜度會(huì)是(O(Nlog N))的，這顯然不符合我們的需求。所以，我們要開(kāi)發(fā)一個(gè)(O(n))的線性求逆元的算法。

線性篩逆元其實(shí)是一個(gè)遞推的過(guò)程，我們?cè)谶@里著重講其遞推式的建立與證明。

首先我們有：

[1^{-1}equiv 1\,\,\,(mod\,\,p)
]

我們把(p)拆開(kāi)，拆成這樣的形式：(p=k imes m+n)，這是可以成立的，因?yàn)槿我庖粋€(gè)正整數(shù)都可以被拆成這樣的形式。

所以我們有：

[k imes m+nequiv 0\,\,\,(mod\,\,p)
]

（這個(gè)同余式其實(shí)表示的意義就是整除）

那么，兩邊同時(shí)除以(m,n)（即同時(shí)乘(m^{-1},n^{-1})），則有

[frac{k}{n}+frac{1}{m}equiv0\,\,\,(mod\,\,p)
]

移項(xiàng)有：

[frac{1}{m}equiv-frac{k}{n}\,\,\,(mod\,\,p)
]

因?yàn)?k)就是(lfloorfrac{p}{m}floor)，(n)就是(p\,\,\,mod\,\,\,m)，所以原式就變成了：

[m^{-1}equiv-lfloorfrac{p}{m}floor imes(p\,\,\,mod\,\,\,m)^{-1}\,\,\,(mod\,\,p)
]

根據(jù)乘法逆元的定義，對(duì)于一對(duì)互質(zhì)的數(shù)(a,p)，有它的一個(gè)乘法逆元(x)滿足：(axequiv1\,\,\,(mod\,\,p))，那么(xequiv a^{-1}\,\,\,(mod\,\,p))，那么，根據(jù)上面的這個(gè)式子，我們就求出了數(shù)(m)關(guān)于模(p)意義下的逆元。

遞推式如下（用(inv[i])數(shù)組表示一個(gè)數(shù)的逆元）：

[inv[i]=-(p/i) imes inv[p\%i]
]

為了不讓乘法逆元出現(xiàn)一堆負(fù)數(shù)，我們需要對(duì)這個(gè)遞推式稍做處理：

[inv[i]=((p-p/i)*inv[p\%i])\%p
]

如果能看明白并且記住這個(gè)證明過(guò)程的話當(dāng)然是極好的，如果看不明白，直接記結(jié)論也是完全可以的，但是，請(qǐng)做好考場(chǎng)上秒忘自己又一點(diǎn)不會(huì)推的準(zhǔn)備（別怪我沒(méi)告訴你）。

乘法逆元解決除法取模問(wèn)題

一般來(lái)講，毒瘤出題人不會(huì)單獨(dú)出題考乘法逆元，它的較常用的考查方式是在組合數(shù)問(wèn)題中作為除法取模的計(jì)算方式。

除法取模就是：

[a/b\,\,\,mod\,\,p
]

這個(gè)式子可以變成：

[a imes b^{p-2}\,\,mod\,\,p
]

也就是分子乘以分母的逆元再取模。

---

總結(jié)：

這篇總結(jié)是我耗時(shí)將近一周盤完這篇博客之后的附加之作

（本來(lái)認(rèn)為乘法逆元這一塊一天就能學(xué)完，但是我好像高估了自己的能力、低估了數(shù)學(xué)的魅力（呵呵），加之快期末了，各種文化課以及個(gè)人爛事層出不窮，導(dǎo)致更博和鞏固的速度都極為地緩慢）。

本來(lái)以為學(xué)完了應(yīng)該就會(huì)了，但是在學(xué)最后的線性求逆元的過(guò)程中驚喜地發(fā)現(xiàn)前面的東西大多又不會(huì)了（結(jié)論也就差不多記住，至于推導(dǎo)過(guò)程就全部忘光光了），于是才真正領(lǐng)略了什么是數(shù)論，以及為何數(shù)論這一塊讓一些數(shù)競(jìng)大佬都由衷地感覺(jué)困難。于是又剎下心來(lái)重新看了一下，順便歸納出來(lái)了一些重點(diǎn)，這樣的話，每次復(fù)習(xí)的時(shí)候就不用通篇瀏覽，只核對(duì)這些重要的知識(shí)點(diǎn)到底會(huì)不會(huì)就可以了。

那么，學(xué)完這一課，你需要會(huì)的——

1、同余的基本概念

你總不能對(duì)別人講，我學(xué)完同余了，但是連式子也看不懂...

2、費(fèi)馬小定理

結(jié)論：

[a^{p-1}equiv 1\,\,\,(mod\,\,p)
]

即：

[a^pequiv a\,\,\,(mod\,\,p)
]

這個(gè)定理的適用條件一定要記住：(p)為質(zhì)數(shù)，并且(a)不為(p)的倍數(shù)。

3、歐拉定理

結(jié)論：

[a^{phi(p)}equiv 1\,\,\,(mod\,\,p)
]

它的適用條件是：(a,p)互質(zhì)。

推論：

[a^{n}equiv a^{n\%phi(p)}\,\,\,(mod\,\,p)
]

當(dāng)然，這個(gè)定理不是供人顯擺用的，知道了，還得會(huì)用：

歐拉定理的推論可以用來(lái)解決形如這樣的式子的求解的問(wèn)題：

[a^n\,\,\,mod\,\,p
]

4、乘法逆元的概念

5、求單個(gè)數(shù)的乘法逆元的兩種方式

知道求單個(gè)數(shù)的乘法逆元的兩種方式及其使用條件：

對(duì)于求(axequiv 1\,\,\,(mod\,\,p))中的(x)，（大前提當(dāng)然是(a,p)互質(zhì)）如果：

(p)為質(zhì)數(shù)，那么可以使用費(fèi)馬小定理。

(p)不為質(zhì)數(shù)，那么需要使用擴(kuò)展GCD將同余式轉(zhuǎn)換成形如(ax+by=gcd(a,b))的同余方程來(lái)求解。

6、線性篩逆元

結(jié)論（遞推式）：

[inv[i]=((p-p/i) imes inv[p\%i])\%p
]

7、乘法逆元求解除法取模問(wèn)題

知道形如(a/b\,\,mod\,\,p)可以變成(a imes b^{p-2}\,\,mod\,\,p)。

---

φ(n) ↩?

φ(n) ↩?

φ(n) ↩?

φ(n) ↩?

φ(n) ↩?

φ(n) ↩?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的同余知识点全析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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