繪制方波

方波可以近似表示為多個正弦波的疊加

任意一個方波信號都可以用無窮傅里葉級數來表示

# 傅里葉級數是以正弦函數和余弦函數為基函數的無窮級數

Code

importnumpy as npimportmatplotlib.pyplot as plt

t= np.linspace(-np.pi, np.pi, 201)

k= np.arange(1, 5)

k= 2 * k - 1

#k = 99

f =np.zeros_like(t)for i inrange(len(t)):

f[i]= np.sum(np.sin(k * t[i])/k)

f= (4 / np.pi) *f

plt.plot(t, f)

plt.show()

方波的無窮級數表示

歐拉公式

第一步:

以上為省略余項的麥克勞林公式

第二步:

在

的展開式中把x換成±ix

第三步:

中將x = π, 得出

傅里葉級數

泰勒展開是將函數展開成冪函數的形式

傅里葉展開是將函數展開成三角函數的形式, 即 y= 1 + sinx +cosx +sin2x + cos2x + …..

# 頻率是反映周期變化的快慢

# 只有e^x 和sinx、cosx的二階導數是它們自身

1. 傅里葉展開就是把周期函數拆開成 常數（直流分量）+一倍頻分量+2倍頻分量+…

# 正弦函數和余弦函數的不同只是相位的不同

2.計算周期函數在各個倍頻分量下的投影

一個函數和另一個函數的的投影, 就是一個函數和另一個函數的內積, 就是兩個函數相乘, 然后在全區間上做積分

3. 根據投影計算各倍頻分量下的內積

4. 將這些內積求和

數學定義:

給定一個周期為T的函數x(t),那么它可以表示為無窮級數:

其中,

j為虛數單位

2π/T 表示該分量的頻率

表示x(t)的各個分量

表示函數x(t)在各個分量上的投影

ak * fk(t) 表示周期函數x(t)在某個分量下的內積

這是一個方波我們可以看出來，它是由sinx,sin3x,sin5x,sin7x組成的。其中, 紅色正弦函數的頻率稱為基頻, 其他所有正弦函數的頻率都是它的倍數.

傅里葉展開就是

1. 根據基頻, 計算出各個分量

2. 計算周期函數在這些分量中的投影

3. 計算周期函數在各個分量下的內積, 并求和

總結

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