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背包問題

一、0/1背包

1.1 問題描述

有 件物品和一個大小為 的背包，以及若干物品，每種物品只有一件，大小分別為 ，其價值分別為 。問題：將哪些物品裝入背包，可使得背包內的物品價值總和最大？
輸入：
第一行：
接下來 行，每行兩個整數， 和 。
輸出：最大價值 .

1.2 解題思路

由于每種物品都只有一件，所以只存在兩個選擇：裝這個物品或者不裝。（也就是0/1背包的含義）

我們定義一個數組

用于儲存——當背包大小為 ，且選擇處理完第 個物品后（前 個物品選擇裝或不裝）的最大價值總和，那么最終的答案就是 。

我們通過一個例子來推出

的遞推式。

有3個物品，大小價值如下表，和一個大小為3的背包。

先考慮裝不裝A。如下表。

由于A的大小只有1，所以大小1~3的背包都可以裝下它，于是更新所有值為A的價值2。

接下來考慮B。如下表。

由于B的大小為2，所以大小為1的背包裝不下它，值不變。

大小為2的背包可裝下它，且值為5，比原來的2大，于是更新值為5。

大小為3的背包可裝下它，且裝完后剩余大小為1。

如果裝B，那么價值=B的價值+未裝B的、大小為1的背包的最大價值=5+2=7。

如果不裝B，那么價值就是原來的值=2。在二者里取max，就能得到最大值，也就是7。

最后考慮C。如下表。

C的大小為1，背包1可裝，值更大，更新為3。

背包2可裝，如果裝，那么價值=C的價值+未裝C的、大小為1的背包的最大價值=3+2=5。

如果不裝，值就是原來的5。二者取

即可。

背包3可裝，如果裝，那么價值=C的價值+未裝C的、大小為2的背包的最大價值=5+3=8。

如果不裝，值就是原來的7。二者取

即可。

所以最后輸出的值就是8。

小結論：

我們可以發現遞推公式：

。

也就是處理第

件物品，背包大小為 時的最大價值，有兩種可能。

①裝入第

件物品

那么價值=該物品的價值+未裝入該物品的、大小足夠塞入該物品的背包的最大價值=

。

②不裝入第

件物品

那么價值就是處理

件物品時計算出來的值，不變。

二者取最大值即可。

1.2.1 代碼：

#include <stdio.h> int max(int a,int b) {if(a>b) return a;else return b; } int bag[1000][1000];//儲存解的數組 int w[1000],val[1000];//每件物品的大小與價值 int main() {int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&w[i],&val[i]);//讀入數據for(int i=1;i<=n;i++) //從第一件物品一直處理到第i件物品for(int j=1;j<=m;j++) //從大小為1的背包處理到大小為m的背包if(j>=w[i])//塞得進去這件物品的話bag[i][j]=max(bag[i-1][j],bag[i-1][j-w[i]]+val[i]);//就判斷是塞還是不塞比較好else//塞不進去就是原來的值bag[i][j]=bag[i-1][j];printf("%dn",bag[n][m]);//全部處理完后，輸出最后的答案return 0; }

1.3 算法的空間優化

1.3.1 為什么要優化？

通過1.3的代碼可以很容易的看出，當物品有

件，背包大小為 時，我們就需要開一個 大小的數組了，要是處理的數據再稍微大一點，就會導致數組開的過大，然后內存溢出。

所以為了解決更大的數據，空間的優化是必要的。

1.3.2 怎么優化？

我們可以發現，當我們處理第

件物品時，要用到的只是處理第 件物品時的數據，再之前的就用不到了。

所以，我們可以每次處理物品時，就把數據進行一次覆蓋，這樣二維數組就能降維到一維了。

但需要注意！降維到一維數組后，我們處理第

件物品時，就不能從大小為1的背包一直順序處理到大小為 的背包了。為什么？因為這樣的話，處理 件物品時的數據會在本次處理中被覆蓋，而處理更大的背包時是會用到小背包的數據的。

這樣就會出現——已經塞了第

件物品了，處理時就當做沒塞，就會WA了。

所以我們這里進行倒序處理，因為處理小背包用不到大背包的數據，覆蓋了也就覆蓋了，無所謂。

1.3.3 優化代碼

#include <stdio.h> int max(int a,int b) {if(a>b) return a;else return b; } int bag[1000];//降維到一維的數組 int w[1000],val[1000];//每件物品的大小與價值 int main() {int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&w[i],&val[i]);//讀入數據for(int i=1;i<=n;i++) //從第一件物品一直處理到第i件物品for(int j=m;j>0;j--) //倒序處理if(j>=w[i])//塞得進去這件物品的話bag[j]=max(bag[j],bag[j-w[i]]+val[i]);//就判斷，處理后覆蓋上一次處理的數據else//塞不進去就是原來的值bag[j]=bag[j];//這行代碼完全沒有意義，但是為了方便對比，留在這里printf("%dn",bag[m]);//全部處理完后，輸出最后的答案return 0; }

優化完后，空間復雜度就從

縮小到了 ，大大節省了內存，也就可以處理更大的數據了。

1.4 0/1背包的常見例題及變種

1.4.1 采藥問題 洛谷 P1048

有 株藥草，每株藥草有其對應的價值及采摘該藥草要花費的時間，在 時間內，求采摘的藥草的最大價值。

這其實就是換了個題干的0/1背包模板題，上面的代碼直接復制粘貼就可AC。

1.4.2 購物問題 洛谷 P1060

你有 元錢，有 種物品，每種一件，每件物品都有對應的價格，并且你對每件物品都賦予了一個重要度(從1~5)，求購買的物品的最高性價比和。
注：性價比=物品價格*重要度。

依然是換了個題干的0/1背包模板，只要把價值的計算變成物品價格*重要度即可

（

）。

1.4.3 裝箱問題 洛谷 P1049

有一個容量為 的箱子，和 個物品，每個物品的體積為整數，裝任意個物品，問剩余的最小體積是多少？

本題中，物品的價值與消費相同，也就是

，代換進原來的代碼即可。

注意最后輸出的是剩余的最小體積，故應當輸出

。

1.4.4 點菜問題 洛谷 P1164

你有 元錢，有 種菜，每種只有一份，且有對應的價格。要求你把所有的錢都花光，問有多少種不同的點菜方案？

如果只有0元錢，那只有一種點菜方式——啥都不點。

由于問的是方案數而非價值數，所以遞推公式里的

要變成 。

即接下來的遞推公式為

。

即花

元的點菜方式 = 花（ -某道菜價格）元錢的點菜方式的和。

1.4.5 精衛填海 洛谷 P1510

1.4.6 烹飪方案 洛谷 P1417

有 件食材，每件食材有 三個屬性，在 時刻完成一件食材，將得到 的美味度，每件食材所需時間為 。
求在 時間內能得到的最大美味度。

這道題很容易誤解為是裸的0/1背包，但實際上不是。

0/1背包的做法里，不管先裝哪件物品其得到的價值都是不會變的，都是這件物品的價值

。

但這道題里，先做食材A還是先做食材B，其得到的美味度是不同的，因為美味度與完成時刻

（可理解為背包剩余容量）是有關聯的。此時如果再順序從第1件物品處理到第 件物品，所得到的美味度就不一定是最優解。

所以我們要判斷先做哪一件食材比較好，然后進行排序，最后才是0/1背包的過程。

關于做食材的順序推斷，可以拿相鄰兩件物品進行比較。

假設已經消耗時間

，接下來是第 件物品和第 件物品：

先做

再做 獲得的價值：

先做

再做 獲得的價值：

前者大于后者的條件是，

根據這個條件排序即可。

還要注意，最后的答案并不是

，因為美味度的計算存在減法，到某時刻之后可能所有食材做了都是負美食度的，所以要遍歷 到 。

參考代碼：

#include <bits/stdc++.h> #include <algorithm> #define LL long long//注意數據量較大，不用LL會爆一個測試點拿95分 using namespace std; struct node{LL a;LL b;LL c;}food[100005]; long long bag[100005]; bool cmp(node a,node b) {return a.c*b.b<a.b*b.c; } int main() {int t,n;while(scanf("%d%d",&t,&n)!=EOF){for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&food[i].a);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&food[i].b);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&food[i].c);sort(food,food+n,cmp);LL ans=0;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=t;j>=food[i].c;j--)bag[j]=max(bag[j],bag[j-food[i].c]+food[i].a-j*food[i].b);for(int i=0;i<=t;i++)ans=max(ans,bag[i]);printf("%lldn",ans);}return 0; }

1.4.7 集合問題 洛谷 P1466

1.4.8 最大約數和 洛谷 P1734

1.4.9 Checkout Assistant CF19B

1.5 關于背包問題與貪心問題的小提醒

如果給的物品可以選擇只拿一部分——比如說一件物品大小為3，價值為3，我可以選擇拿走這件物品的三分之一，其大小為1，價值為1——像這樣的題目，實際上并不是背包問題，而是簡單的貪心問題。

此時只需要算出每種物品的性價比——即價值/大小，然后從性價比最高的開始裝就好了。

二、完全背包

2.1 問題描述

將0/1背包問題中的物品，全部改為可以取無數件，則在這種情況下，求能獲得的最大價值

2.2 解題思路

解題思路與0/1背包完全相同，只是此時因為每件物品都變成了可取無數件，所以需要考慮的不再是取or不取，而是不取or取1件or取2件……直到徹底塞不下為止。

也可以理解為，完全背包問題就是0/1背包問題的變種，只是此時有無數件價值和大小都相同的物品罷了。

在這里，我們不妨回憶一下，在將0/1背包由二維降維到一維時，為了防止——在處理第i件物品時，用到已經取了第i件物品的數據的情況，我們選擇了倒序處理第i件物品。

那么在完全背包中，我們只需要將這一步驟改為正序處理即可，那么在處理大背包時引用到的小背包的數據，就是已經考慮了裝X件該物品的數據了。

如果覺得難以理解，請重新返回到0/1背包降維那一步，好好地理解倒序處理的意義是什么。

2.3 代碼實現

#include <stdio.h> int max(int a,int b) {return a>b?a:b; } int bag[1000];//降維到一維的數組 int w[1000],val[1000];//每件物品的大小與價值 int main() {int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&w[i],&val[i]);//讀入數據for(int i=1;i<=n;i++) //從第一件物品一直處理到第i件物品for(int j=w[i];j<=m;j++) //改為正序處理，由于僅裝得下時數據才會覆蓋更新，所以從w[i]開始循環bag[j]=max(bag[j],bag[j-w[i]]+val[i]);//此時必定裝得下，于是直接處理，覆蓋上一次處理的數據printf("%dn",bag[m]);//全部處理完后，輸出最后的答案return 0; }

需要注意這里的代碼有了一定的更新優化，內循環直接從

開始，則必定是裝得下第 件物品的，這樣就可以減少一個判斷是否裝得下的步驟，0/1背包問題內的代碼也可以進行同樣的優化。

2.4 剪枝優化

在完全背包問題中，可以采取一個方法來對算法進行優化。

由于每件物品都可以取無數件——所以當存在兩種物品，其中一種物品的價值比另一種低，大小還比另一種大時，我們在循環處理中就可以忽視掉這件物品。

即存在

時，就可以將 物品從序列中刪去。這是結合了貪心算法的剪枝。

但這種剪枝方法對于最差情況是無法優化的，即所有物品的價值、大小都是成梯度的情況，時間復雜度仍然是

。僅對于隨機數據時可以做到較好的優化。

另外需要注意，0/1背包不可使用該優化，因為0/1背包的物品是有限的，若是刪去多種物品可能導致背包空空。

2.5 完全背包相關習題及變種

2.5.1 瘋狂的采藥 洛谷 P1616

題干與采藥問題基本相同，只是每種藥草都可以無限摘取，數據

本題就是個完全背包的裸題，沒有任何變動，唯一需要注意的是數據較大，開二維數組必定爆內存，所以需要降維。

2.5.2 剪緞帶問題 CF189A（在洛谷或CF上都可找到）

有一長度為 的緞帶，要求將其剪成長度為 的小緞帶，且緞帶數量盡可能多，問最多多少條。

同一長度的緞帶可剪出無數條，所以本題實際上是完全背包。但需要注意的是，緞帶必須全部剪成所給的三種長度，也就是說——“背包”必須完全裝滿，不能有剩余的空間——否則剩下來的緞帶，就相當于剪出了一條新長度的緞帶。

這種題型屬于“恰好”背包問題，要求就是必須裝滿。

所以這道題在DP循環時，更新的數據必須是

的倍數或其倍數相加。

處理方法如下：

memset(bag,-1,sizeof(bag)); bag[0]=0; for(int i=0;i<3;i++)for(int j=len[i];j<=n;j++)if(dp[j-bag[i]]!=-1) bag[j]=max(bag[j],bag[j-len[i]]+1);

最開始先將所有大小的背包都初始化為-1。（代表所有大小背包不可更新）

然后將大小為0的背包賦值為0。接下來DP循環中，當且僅當所有剪下的緞帶都是所給長度時，才進行更新。

2.5.3 買干草 洛谷 P2918

2.5.4 數字和數量計算 HDU 1028

完全背包型的點菜問題。可以參考0/1背包點菜問題例題的思路。

2.5.5 質數和分解 洛谷 P2563

三、多維費用背包

3.1 問題描述

此時背包的花費是多維情況，比如說每件物品有一個大小和一個重量，而背包所能裝的大小和重量都有限。其他與完全、0/1背包相同。

3.2 解題思路

費用變成多維，那么狀態也變成多維即可。

假設有二維費用，那么就設

來存儲在背包所裝物品大小不超過v，重量不超過w時的最大價值。

只需要在循環求解時，多加上一層循環即可，兩層循環一層來考慮

，一層來考慮 。

3.3 代碼實現

（這里的代碼以0/1二維背包為例，完全背包或是更多維費用參考上述進行改造即可）

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> int vi[50],wi[50],k[50]; int bag[400][400]; int max(int a,int b) {return a>b?a:b; } int main() {int v,w,n;while(scanf("%d%d%d",&v,&w,&n)!=EOF)//最大可裝體積，最大可裝重量，物品件數{memset(bag,0,sizeof(bag));for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&vi[i],&wi[i],&k[i]);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=w;j>=wi[i];j--)//一層循環考慮重量for(int l=v;l>=vi[i];l--)//一層循環考慮體積bag[j][l]=max(bag[j][l],bag[j-wi[i]][l-vi[i]]+k[i]);printf("%dn",bag[w][v]);}return 0; }

3.4 多維費用的例題

3.4.1 NASA的食物計劃 洛谷 P1507

這題就是裸的二維費用0/1背包，上述代碼直接復制就可AC。

3.4.2 限制件數的背包問題 原創

有一個大小為 的背包，以及若干件物品。每件物品都有對應的價值與大小。
背包最多只允許裝 件物品，且所裝物品總大小不能超過背包容量。
問所裝物品的最大價值是多少？

這題看上去像是一個裸的0/1背包，只是加上了一個“最多允許裝

件物品”的限制，但是換個角度上來看，這題就是一道標準的二維費用0/1背包。

每件物品多了一種花費“件數”，且每件物品該花費的值都是1。最多允許的花費為

。

設

表示所裝物品不超過 件，且總體積不大于 時的最大價值。然后老套路寫就可以了。

3.4.3 找女朋友問題 洛谷 P1509

四、多重背包

4.1 問題描述

在0/1背包的基礎上加上一個條件：此時每種物品不再只有一件，而是最多有 件可用。

4.2 解題思路

其實就是在0/1背包的代碼基礎上再多加入一層循環：每件物品都從裝1件到裝

件進行測試，如果當前背包能裝得下，就更新當前背包的價值。

需要注意，處理時依然是倒序處理，正序處理的話就變成完全背包而不符題意了。

還需要注意，在循環更新價值時，物品的價值要記得乘上數量，因為價值只是每一件物品的價值。

PS：多重背包還可以運用單調隊列進行進一步優化，其最終的時間復雜度可以縮減到

。

4.3 代碼實現

#include <cstdio> #include <algorithm> //使用c++的標準庫，內置max函數 int bag[1000];//已經降維為一維的背包 int w[1000],val[1000],num[1000];//每件物品的大小與價值、最多能裝的數量 int main() {int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&w[i],&val[i],&num[i]);//讀入數據for(int i=1;i<=n;i++) //從第一件物品一直處理到第i件物品for(int j=m;j>=w[i];j--) //倒序處理for(int l=1;l<=num[i];l++)//多了一層循環if(j>=l*w[i])//裝得進去l件物品的話bag[j]=max(bag[j],bag[j-w[i]*l]+val[i]*l);//就判斷是塞還是不塞比較好，注意乘lprintf("%dn",bag[m]);//全部處理完后，輸出最后的答案return 0; }

4.4 多重背包的例題

4.4.1 選課時間 HDU 2079

一道多重背包的模板題，不過差別在于求的不是最大價值而是方法數，具體解法可以參考洛谷的P1164。

4.4.2 買米問題 HDU 2191

4.4.3 擺花 洛谷 P1077

五、分組背包

5.1 問題描述

在分組背包問題中， 件物品被分為了 組，其中每組內的物品最多只能取一件，求所能拿的最大價值。

5.2 解題思路

我們可以建立一個二維數組，其中一維表示組別，另外一維則表示該物品為其所在組中的第幾件。也可以通過其他的方案，將同一組別的物品放在一起。

其他的處理方法，基本與0/1背包沒有較大的差別。

具體看下方代碼。

5.3 代碼實現

#include <stdio.h> #include <algorithm> #include <string.h> using namespace std; struct node{int w;int val;int t;}art[1005]; int num[105]; int dp[1005]; int cmp(node a,node b) {return a.t<b.t; } int main() {int n,m;while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)//n件物品，背包大小為m{int k=0;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d%d%d",&art[i].w,&art[i].val,&art[i].t);//物品的大小、價值、組別num[art[i].t]++;//該組別所含物品數增多k=max(k,art[i].t);//判定有多少個組}sort(art,art+n,cmp);//按照組別進行排序，同組的排在一起int p=0,q;//用于順序處理的指針for(int i=1;i<=k;i++)//k個組{for(int j=m;j>=0;j--)//01背包的倒序處理方案{q=p;for(int l=1;l<=num[i];l++)//每個組有num[i]件物品{if(j>=art[q].w)dp[j]=max(dp[j],dp[j-art[q].w]+art[q].val);//這種處理方案能保證一組里只取一件q++;}if(j==0) p=q;}}printf("%dn",dp[m]);} }

這里以洛谷的P1757為例。

5.4 分組背包的例題

5.4.1 排兵布陣 洛谷 P5322

一道分組背包的變式題，稍有難度。

本質上就是

座城堡 個組別，每個組別 件物品，當然，這里需要預處理，將每個組別內的物品價值進行處理計算使其符合預期，然后就是分組背包的處理方案了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的变种 背包问题_【朝夕的ACM笔记】动态规划-背包问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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