一、飛機運動方程分析 二、線性化的基本步驟 三、縱向運動線性小擾動模型 四、橫航向運動線性小擾動模型 五、參考文獻

一、飛機運動方程分析

要描述一個飛機的飛行狀態，我們通常需要9個狀態變量，即：

即飛機的飛行速度

，滾轉角速率、俯仰角速率以及航向角速率 ，滾轉角、俯仰角以及偏航角 。

其中航向角

不影響受力分析，這個也很容易理解，假設你在一塊很大的平地上騎自行車，而且沒有風，那往哪個方向騎，都應該是一樣費力的，如下圖所示。

因此，對于飛機的飛行力學方程而言，我們只需要搞定剩余8個狀態變量即可。

說完狀態變量，我們再來分析一下控制變量。在文章J Pan：飛機是怎么飛起來的 我們介紹了，飛機的控制主要通過三個主舵面來完成：升降舵控制飛機俯仰運動；副翼控制飛機的滾轉運動；方向舵控制飛機的航向運動。也就是說通過舵面的偏轉量可以控制飛機的姿態，這三個控制變量用

來表示，其中 為副翼（aileron）偏轉量， 為升降舵（elevator）偏轉量， 為方向舵（rudder）偏轉量。

除此之外，我們還需要一個重要的控制變量，那就是發動機的油門（Throttle），我們用

表示。

總結一下就是飛機可以通過如下變量定義其飛行運動：

狀態變量為：

控制變量為：

那飛機運動方程具體是什么樣呢？在文章J Pan：如何獲得飛機運動方程 我們給出了飛機三個方向的力平衡方程如下：

以及力矩方程

看著就頭疼，是嗎？——實際上還會更頭疼，因為控制變量

以及姿態角 體現在方程右側的力 以及力矩 里面，如果展開的話，形式會更復雜。這個方程組不僅僅看著復雜，而且是嚴重非線性的，是無法得到解析解的，這也給我們預估飛機的飛行特性帶來很大的困難。

那怎么辦呢？——無它，簡化而已。后面我們將主要進行方程簡化的思路和邏輯，為使精力都集中在關鍵點，我們先將先將前面飛機運動方程改寫成形式：

簡化的方式是利用泰勒展開，核心思想是抓大放小，如下圖所示：

圖片來源：https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784

就像素描一樣，最關鍵的一步是輪廓的搭建（樹干），也就是確定各個部位的大致的空間分布，在此基礎上再逐步刻畫細節（枝葉）。比如，按照泰勒公式，我們可以把指數函數展開成冪級數的形式：

而研究冪級數要比要就超越函數

要簡單多了。關于泰勒公式的理解，推薦文章怎樣更好地理解并記憶泰勒展開式？（作者原知乎用戶陳二喜）。顯然，冪級數的形式越高，刻畫越精細（見右側蒼老師），但是也越復雜；冪級數越低，刻畫約粗糙（見上圖左側），同時也越簡單。我們需要在簡約和精確之間找到一個平衡，幸運的是，對于平飛的飛機而言，我們只保留線性項，就可以獲得比較滿意的結果，我們把這種方法稱之為小擾動模型或者增量式模型。

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二、線性化的基本步驟

對于非線性方程

我們通常很難獲得其解析解。那怎么研究其特性呢？不妨先用一個稍微簡單一點的函數研究一下，假如我們有如下非線性方程組：

這其實是一種生物界的進化數學模型——競爭模型，主要研究在同一個自然環境中生存的兩個種群之間的競爭關系對其數量的影響，

代表兩個種群的數量。根據常識我們可以猜測，當外界條件不變時，如果給定初始條件 ，那最終兩個種群的數量應該趨于穩定的。我們可以把 放在同一個坐標軸上（也就是相圖（phase portrait））來觀察其相互變化關系，如下圖所示。

圖中

軸表示變量 ， 軸表示變量 ，軌跡代表矢量 變化情況，箭頭軌跡的切線反向，即 。從這個圖中可以看出很多有意思的事情：

• 圖中有四個點，分別為 , , 以及 。在這四個點上有 以及 ，也就是說，這四個點都是平衡點（equilibrium points），因為導數為零，狀態不再發生變化；
• 點 與其他三個點又略有不同，因為在這個點周圍，所有箭頭都指向它，也就時說在它周圍的所有點，最終都會收斂到穩定點 ；
• 根據箭頭所指示的軌跡方向，很容易得到：如果 ，則系統會穩定在點；如果 ，則系統會穩定在點；如果 ，則系統會穩定在點；如果 ，則系統會穩定在點；
• 實際工程中，初始條件都不可能剛好為零，多少都會有擾動，因此，穩定點 才是最經常碰到的。

在很多情況下，我們更感興趣的是系統處于穩定狀態下受到擾動時的動態行為，如果我們把相圖（phase portrait）在平衡點附近放大，可以得到：

那怎么來研究這個區域的性質呢？——這個時候我們最簡單的方法就是進行線性化（linearization），也就是多元泰勒展開，只保留線性項。

對于飛機而言，穩定點（stable point）或平衡點（equilibrium point）稱之為配平狀態，運動方程的線性化就是在配平狀態進行泰勒展開，具體實施方式如下：

第一步：

找到配平狀態，按照之前的定義，也就是求解

，即求解 ,得到飛機的配平狀態 以及對應的控制量 。

第二步：

考慮到在配平狀態有一個小的擾動，

也就是

帶入到微分方程就可以得到：

將微分方程展開，就可以得到：

對于配平狀態，有

忽略高次項，就可以得到線性小擾動方程組：

注意，此時的狀態變量已經發生了變化，由

變成了增量 ，控制量也由 變成了增量 。

好了，鋪墊結束，我們來看一下具體到飛機上是怎么處理的。在文章J Pan：如何獲得飛機運動方程 我們介紹了，除偏航角

之外，剩余8個狀態變量是之間相互耦合在一起的，處理起來還是比較麻煩。通常采取的方法是，將這8個狀態變量分為相對耦合性最小的兩組運動：縱向運動和橫航向運動。

其中縱向方程組為一個旋轉，兩個平動，變量為

：

橫航向為兩個旋轉，一個平動，變量為

：

接下來我們就分別對這兩組方程線性化。

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三、縱向運動線性小擾動模型

3.1 擾動量為

我們先將縱向方程組改寫成如下形式：

式中

表示在穩定性坐標系下，飛機在 軸方向上收到的外力，包括氣動力的合力在 軸分量信息 以及重力分量信息 （為使參量歸一化，此時 均為除以飛機質量 以后的值），其中氣動力信息 又可以分為升力信息 以及阻力信息 。注意由于歷史原因， 有時候表示升力信息，有時候表示繞 軸力矩信息，需要根據上下文區分。 的意義和 類似。

當然，這樣寫太復雜了，其輸入和輸出之間的關系可簡要寫成如下形式：

然后可進一步簡化書寫形式：

其狀態變量和控制變量分別為：

其配平狀態和擾動分別為：

,

,

根據常識，我們能做如下判斷，飛機平飛（level flight）時是一種配平狀態，此時有：

,

把以上代入縱向運動方程組，具體過程就不說了，得到縱向小擾動方程組為：

其中形如

的量表示氣動力（或力矩）對擾動的導數，簡稱氣動導數，取決于飛機的氣動系數，比如升力系數和阻力系數，是由飛機本身特性決定的，一般可通過吹風得到，這些導數都有明確的物理意義，是決定飛機飛行特性最重要的參數，感興趣可以查看參考文獻1，里面對每個導數都有嚴格的數學推導。

此時的控制變量已經變成了：

這個矩陣里面的數表示控制變量在一定擾動下，氣動力和力矩的變化情況。

前面我們進行線性化的時候，我們把氣動力和力矩（

）對于擾動 進行展開時只保留了線性項，這樣做一般精度也是可以的。實際上呢，對于變量 （代表攻角信息）而言，其二次項也有較大影響，所以，如果想要模型更加準確，需增加對 的二次導數項 ，其中 一般比較小，可忽略。這樣就需要對之前的線性方程組進行修正，即：

其中

為

則可以得到更新后的矩陣為：

比如對于波音747飛機而言，在標準海平面條件下，以0.25馬赫平飛（此時

）時，縱向其氣動導數如下（單位為英制）：

則帶入到矩陣

就可以得到如下矩陣：

我們簡要分析一下這個矩陣，這是一個4階矩陣，特征根有4個，具體是怎么分布的呢？令

進過計算可以得到，矩陣

的4個特征根為兩組共軛根：

其中

為實部， 為虛部，對應的阻尼比為：

兩個模態的無阻尼固有頻率為：

則兩個模態對應的周期為：

可見，對于縱向運動擾動，有兩個模態：

• 一個模態周期短，稱之為短周期運動（short period），其阻尼一般比較大；
• 一個模態周期長，稱之為長周期運動（phugoid），其阻尼一般比較小；

3.2 狀態變量為

當然，很多時候我們才會采取其他的狀態變量，比如說，把攻角的擾動量作為一個狀態變量。

上圖展示了攻角、側滑角與相對風速及其分量的關系。

不難發現，攻角的的增量

與 軸的速度增量 近似成線性關系，即：

同時還可以得到，側滑角的的增量

與 軸的速度增量 近似成線性關系，即：

所以，以速度增量

為狀態變量，和以攻角及側滑角 基本是一回事。當然，氣動導數也需要相應變化

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四、橫航向運動線性小擾動模型

4.1 狀態變量為

橫航向為兩個旋轉，一個平動，變量為

：

通常來說呢，

相比于 和 要小很多，我們可以先暫時將其忽略，然后將方程改寫成如下形式：

式中

表示在穩定性坐標系下，飛機在 軸方向上收到的外力，包括氣動力的合力在 軸分量信息以及重力分量信息 （為使參量歸一化，此時 均為除以飛機質量 以后的值） 。注意由于歷史原因， 有時候表示升力，有時候表示繞 軸力矩，需要根據上下文區分。

表示氣動力在 軸和 軸方向產生的力矩，習慣用 和 表示。

其輸入和輸出之間的關系可簡要寫成如下形式：

然后可進一步簡化書寫形式：

其狀態變量和控制變量分別為：

其配平狀態和擾動分別為：

,

,

根據常識，我們能做如下判斷，飛機平飛（level flight）時是一種配平狀態，此時有：

, ， ，

把以上代入可以得到縱向小擾動方程組為：

其中形如

的量表示氣動力（或力矩）對擾動導數，即氣動導數，一般可通過吹風得到，感興趣可以查看參考文獻1。

這樣我們就獲得了縱橫向的運動方。面前我們假設

相比于 和 要小很多，如果我們想更精確的話，也可以把這兩項加上，令

通過公式推導，可獲得修正矩陣如下：

這樣，完整的微分方程為：

這樣，修正后的矩陣

還是波音747飛機，在標準海平面條件下，以0.25馬赫平飛（此時

）時，其橫航向氣動導數如下（單位為英制）：

慣性矩之比為：

知道了

,通過計算可以得到，矩陣 的4個特征根為一組共軛根，兩個負實根，數值分別為：

• 對于一組共軛根，對應的模態稱之為荷蘭滾模態（橫航向耦合模態）。其阻尼比為： ；無阻尼截止頻率為： ；周期為 。
• 對于負實根 ，對應的的模態為翻滾模態，在這種模態下，飛機幾乎只有翻滾運動；
• 對于負實根 ，對應的的模態為螺旋模態，在這種模態下，飛機主要進行偏航運動，同時伴隨一個較小的翻滾運動；

4.2 狀態變量為

同樣，對于橫航向運動，我們也可以選擇側滑角擾動作為狀態變量，前面我們已經說過：

當然，橫航向的氣動導數也需要相應變化。

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飛機的五種運動模態是理解飛機運動的重要概念，后面文章中還會就此展開。

五、參考文獻

Thomas R. Yechout. Introduction to Aircraft Flight Mechanics Performance, Static Stability, Dynamic Stability, and Classical Feedback Control. AIAA

David A. Caughey. Introduction to Aircraft Stability and Control，Course Notes for M&AE 5070. Cornell University

總結

以上是生活随笔為你收集整理的如何给定两个gps坐标 算出航向角_如何获得飞机的小扰动模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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