如何给定两个gps坐标 算出航向角_如何获得飞机的小扰动模型
一、飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程分析
要描述一個(gè)飛機(jī)的飛行狀態(tài)，我們通常需要9個(gè)狀態(tài)變量，即：
即飛機(jī)的飛行速度
，滾轉(zhuǎn)角速率、俯仰角速率以及航向角速率 ，滾轉(zhuǎn)角、俯仰角以及偏航角 。其中航向角
不影響受力分析，這個(gè)也很容易理解，假設(shè)你在一塊很大的平地上騎自行車(chē)，而且沒(méi)有風(fēng)，那往哪個(gè)方向騎，都應(yīng)該是一樣費(fèi)力的，如下圖所示。因此，對(duì)于飛機(jī)的飛行力學(xué)方程而言，我們只需要搞定剩余8個(gè)狀態(tài)變量即可。
說(shuō)完?duì)顟B(tài)變量，我們?cè)賮?lái)分析一下控制變量。在文章J Pan：飛機(jī)是怎么飛起來(lái)的 我們介紹了，飛機(jī)的控制主要通過(guò)三個(gè)主舵面來(lái)完成：升降舵控制飛機(jī)俯仰運(yùn)動(dòng)；副翼控制飛機(jī)的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；方向舵控制飛機(jī)的航向運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)通過(guò)舵面的偏轉(zhuǎn)量可以控制飛機(jī)的姿態(tài)，這三個(gè)控制變量用
來(lái)表示，其中 為副翼（aileron）偏轉(zhuǎn)量， 為升降舵（elevator）偏轉(zhuǎn)量， 為方向舵（rudder）偏轉(zhuǎn)量。除此之外，我們還需要一個(gè)重要的控制變量，那就是發(fā)動(dòng)機(jī)的油門(mén)（Throttle），我們用
表示。總結(jié)一下就是飛機(jī)可以通過(guò)如下變量定義其飛行運(yùn)動(dòng)：
狀態(tài)變量為：
控制變量為：
那飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程具體是什么樣呢？在文章J Pan：如何獲得飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程 我們給出了飛機(jī)三個(gè)方向的力平衡方程如下：
以及力矩方程
看著就頭疼，是嗎？——實(shí)際上還會(huì)更頭疼，因?yàn)榭刂谱兞?
以及姿態(tài)角 體現(xiàn)在方程右側(cè)的力 以及力矩 里面，如果展開(kāi)的話(huà)，形式會(huì)更復(fù)雜。這個(gè)方程組不僅僅看著復(fù)雜，而且是嚴(yán)重非線性的，是無(wú)法得到解析解的，這也給我們預(yù)估飛機(jī)的飛行特性帶來(lái)很大的困難。那怎么辦呢？——無(wú)它，簡(jiǎn)化而已。后面我們將主要進(jìn)行方程簡(jiǎn)化的思路和邏輯，為使精力都集中在關(guān)鍵點(diǎn)，我們先將先將前面飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程改寫(xiě)成形式：
簡(jiǎn)化的方式是利用泰勒展開(kāi)，核心思想是抓大放小，如下圖所示：
圖片來(lái)源：https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784就像素描一樣，最關(guān)鍵的一步是輪廓的搭建（樹(shù)干），也就是確定各個(gè)部位的大致的空間分布，在此基礎(chǔ)上再逐步刻畫(huà)細(xì)節(jié)（枝葉）。比如，按照泰勒公式，我們可以把指數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的形式：
而研究?jī)缂?jí)數(shù)要比要就超越函數(shù)
要簡(jiǎn)單多了。關(guān)于泰勒公式的理解，推薦文章怎樣更好地理解并記憶泰勒展開(kāi)式？（作者原知乎用戶(hù)陳二喜）。顯然，冪級(jí)數(shù)的形式越高，刻畫(huà)越精細(xì)（見(jiàn)右側(cè)蒼老師），但是也越復(fù)雜；冪級(jí)數(shù)越低，刻畫(huà)約粗糙（見(jiàn)上圖左側(cè)），同時(shí)也越簡(jiǎn)單。我們需要在簡(jiǎn)約和精確之間找到一個(gè)平衡，幸運(yùn)的是，對(duì)于平飛的飛機(jī)而言，我們只保留線性項(xiàng)，就可以獲得比較滿(mǎn)意的結(jié)果，我們把這種方法稱(chēng)之為小擾動(dòng)模型或者增量式模型。二、線性化的基本步驟
對(duì)于非線性方程
我們通常很難獲得其解析解。那怎么研究其特性呢？不妨先用一個(gè)稍微簡(jiǎn)單一點(diǎn)的函數(shù)研究一下，假如我們有如下非線性方程組：
這其實(shí)是一種生物界的進(jìn)化數(shù)學(xué)模型——競(jìng)爭(zhēng)模型，主要研究在同一個(gè)自然環(huán)境中生存的兩個(gè)種群之間的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系對(duì)其數(shù)量的影響，
代表兩個(gè)種群的數(shù)量。根據(jù)常識(shí)我們可以猜測(cè)，當(dāng)外界條件不變時(shí)，如果給定初始條件 ，那最終兩個(gè)種群的數(shù)量應(yīng)該趨于穩(wěn)定的。我們可以把 放在同一個(gè)坐標(biāo)軸上（也就是相圖（phase portrait））來(lái)觀察其相互變化關(guān)系，如下圖所示。圖中
軸表示變量 ， 軸表示變量 ，軌跡代表矢量 變化情況，箭頭軌跡的切線反向，即 。從這個(gè)圖中可以看出很多有意思的事情：- 圖中有四個(gè)點(diǎn)，分別為 , , 以及 。在這四個(gè)點(diǎn)上有 以及 ，也就是說(shuō)，這四個(gè)點(diǎn)都是平衡點(diǎn)（equilibrium points），因?yàn)閷?dǎo)數(shù)為零，狀態(tài)不再發(fā)生變化；
- 點(diǎn) 與其他三個(gè)點(diǎn)又略有不同，因?yàn)樵谶@個(gè)點(diǎn)周?chē)?#xff0c;所有箭頭都指向它，也就時(shí)說(shuō)在它周?chē)乃悬c(diǎn)，最終都會(huì)收斂到穩(wěn)定點(diǎn) ；
- 根據(jù)箭頭所指示的軌跡方向，很容易得到：如果 ，則系統(tǒng)會(huì)穩(wěn)定在點(diǎn)；如果 ，則系統(tǒng)會(huì)穩(wěn)定在點(diǎn)；如果 ，則系統(tǒng)會(huì)穩(wěn)定在點(diǎn)；如果 ，則系統(tǒng)會(huì)穩(wěn)定在點(diǎn)；
- 實(shí)際工程中，初始條件都不可能剛好為零，多少都會(huì)有擾動(dòng)，因此，穩(wěn)定點(diǎn) 才是最經(jīng)常碰到的。
在很多情況下，我們更感興趣的是系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)下受到擾動(dòng)時(shí)的動(dòng)態(tài)行為，如果我們把相圖（phase portrait）在平衡點(diǎn)附近放大，可以得到：
那怎么來(lái)研究這個(gè)區(qū)域的性質(zhì)呢？——這個(gè)時(shí)候我們最簡(jiǎn)單的方法就是進(jìn)行線性化（linearization），也就是多元泰勒展開(kāi)，只保留線性項(xiàng)。
對(duì)于飛機(jī)而言，穩(wěn)定點(diǎn)（stable point）或平衡點(diǎn)（equilibrium point）稱(chēng)之為配平狀態(tài)，運(yùn)動(dòng)方程的線性化就是在配平狀態(tài)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，具體實(shí)施方式如下：
第一步：
找到配平狀態(tài)，按照之前的定義，也就是求解
，即求解 ,得到飛機(jī)的配平狀態(tài) 以及對(duì)應(yīng)的控制量 。第二步：
考慮到在配平狀態(tài)有一個(gè)小的擾動(dòng)，
也就是
帶入到微分方程就可以得到：
將微分方程展開(kāi)，就可以得到：
對(duì)于配平狀態(tài)，有
忽略高次項(xiàng)，就可以得到線性小擾動(dòng)方程組：
注意，此時(shí)的狀態(tài)變量已經(jīng)發(fā)生了變化，由
變成了增量 ，控制量也由 變成了增量 。好了，鋪墊結(jié)束，我們來(lái)看一下具體到飛機(jī)上是怎么處理的。在文章J Pan：如何獲得飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程 我們介紹了，除偏航角
之外，剩余8個(gè)狀態(tài)變量是之間相互耦合在一起的，處理起來(lái)還是比較麻煩。通常采取的方法是，將這8個(gè)狀態(tài)變量分為相對(duì)耦合性最小的兩組運(yùn)動(dòng)：縱向運(yùn)動(dòng)和橫航向運(yùn)動(dòng)。其中縱向方程組為一個(gè)旋轉(zhuǎn)，兩個(gè)平動(dòng)，變量為
：橫航向?yàn)閮蓚€(gè)旋轉(zhuǎn)，一個(gè)平動(dòng)，變量為
：接下來(lái)我們就分別對(duì)這兩組方程線性化。
三、縱向運(yùn)動(dòng)線性小擾動(dòng)模型
3.1 擾動(dòng)量為
我們先將縱向方程組改寫(xiě)成如下形式：
式中
表示在穩(wěn)定性坐標(biāo)系下，飛機(jī)在 軸方向上收到的外力，包括氣動(dòng)力的合力在 軸分量信息 以及重力分量信息 （為使參量歸一化，此時(shí) 均為除以飛機(jī)質(zhì)量 以后的值），其中氣動(dòng)力信息 又可以分為升力信息 以及阻力信息 。注意由于歷史原因， 有時(shí)候表示升力信息，有時(shí)候表示繞 軸力矩信息，需要根據(jù)上下文區(qū)分。 的意義和 類(lèi)似。當(dāng)然，這樣寫(xiě)太復(fù)雜了，其輸入和輸出之間的關(guān)系可簡(jiǎn)要寫(xiě)成如下形式：
然后可進(jìn)一步簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)形式：
其狀態(tài)變量和控制變量分別為：
其配平狀態(tài)和擾動(dòng)分別為：
, ,根據(jù)常識(shí)，我們能做如下判斷，飛機(jī)平飛（level flight）時(shí)是一種配平狀態(tài)，此時(shí)有：
,把以上代入縱向運(yùn)動(dòng)方程組，具體過(guò)程就不說(shuō)了，得到縱向小擾動(dòng)方程組為：
其中形如
的量表示氣動(dòng)力（或力矩）對(duì)擾動(dòng)的導(dǎo)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，取決于飛機(jī)的氣動(dòng)系數(shù)，比如升力系數(shù)和阻力系數(shù)，是由飛機(jī)本身特性決定的，一般可通過(guò)吹風(fēng)得到，這些導(dǎo)數(shù)都有明確的物理意義，是決定飛機(jī)飛行特性最重要的參數(shù)，感興趣可以查看參考文獻(xiàn)1，里面對(duì)每個(gè)導(dǎo)數(shù)都有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。此時(shí)的控制變量已經(jīng)變成了：
這個(gè)矩陣?yán)锩娴臄?shù)表示控制變量在一定擾動(dòng)下，氣動(dòng)力和力矩的變化情況。
前面我們進(jìn)行線性化的時(shí)候，我們把氣動(dòng)力和力矩（
）對(duì)于擾動(dòng) 進(jìn)行展開(kāi)時(shí)只保留了線性項(xiàng)，這樣做一般精度也是可以的。實(shí)際上呢，對(duì)于變量 （代表攻角信息）而言，其二次項(xiàng)也有較大影響，所以，如果想要模型更加準(zhǔn)確，需增加對(duì) 的二次導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ，其中 一般比較小，可忽略。這樣就需要對(duì)之前的線性方程組進(jìn)行修正，即：其中
為則可以得到更新后的矩陣為：
比如對(duì)于波音747飛機(jī)而言，在標(biāo)準(zhǔn)海平面條件下，以0.25馬赫平飛（此時(shí)
）時(shí)，縱向其氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)如下（單位為英制）：則帶入到矩陣
就可以得到如下矩陣：我們簡(jiǎn)要分析一下這個(gè)矩陣，這是一個(gè)4階矩陣，特征根有4個(gè)，具體是怎么分布的呢？令
進(jìn)過(guò)計(jì)算可以得到，矩陣
的4個(gè)特征根為兩組共軛根：其中
為實(shí)部， 為虛部，對(duì)應(yīng)的阻尼比為：兩個(gè)模態(tài)的無(wú)阻尼固有頻率為：
則兩個(gè)模態(tài)對(duì)應(yīng)的周期為：
可見(jiàn)，對(duì)于縱向運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)，有兩個(gè)模態(tài)：
- 一個(gè)模態(tài)周期短，稱(chēng)之為短周期運(yùn)動(dòng)（short period），其阻尼一般比較大；
- 一個(gè)模態(tài)周期長(zhǎng)，稱(chēng)之為長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)（phugoid），其阻尼一般比較小；
3.2 狀態(tài)變量為
當(dāng)然，很多時(shí)候我們才會(huì)采取其他的狀態(tài)變量，比如說(shuō)，把攻角的擾動(dòng)量作為一個(gè)狀態(tài)變量。
上圖展示了攻角、側(cè)滑角與相對(duì)風(fēng)速及其分量的關(guān)系。
不難發(fā)現(xiàn)，攻角的的增量
與 軸的速度增量 近似成線性關(guān)系，即：同時(shí)還可以得到，側(cè)滑角的的增量
與 軸的速度增量 近似成線性關(guān)系，即：所以，以速度增量
為狀態(tài)變量，和以攻角及側(cè)滑角 基本是一回事。當(dāng)然，氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)也需要相應(yīng)變化四、橫航向運(yùn)動(dòng)線性小擾動(dòng)模型
4.1 狀態(tài)變量為
橫航向?yàn)閮蓚€(gè)旋轉(zhuǎn)，一個(gè)平動(dòng)，變量為
：通常來(lái)說(shuō)呢，
相比于 和 要小很多，我們可以先暫時(shí)將其忽略，然后將方程改寫(xiě)成如下形式：式中
表示在穩(wěn)定性坐標(biāo)系下，飛機(jī)在 軸方向上收到的外力，包括氣動(dòng)力的合力在 軸分量信息以及重力分量信息 （為使參量歸一化，此時(shí) 均為除以飛機(jī)質(zhì)量 以后的值） 。注意由于歷史原因， 有時(shí)候表示升力，有時(shí)候表示繞 軸力矩，需要根據(jù)上下文區(qū)分。 表示氣動(dòng)力在 軸和 軸方向產(chǎn)生的力矩，習(xí)慣用 和 表示。其輸入和輸出之間的關(guān)系可簡(jiǎn)要寫(xiě)成如下形式：
然后可進(jìn)一步簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)形式：
其狀態(tài)變量和控制變量分別為：
其配平狀態(tài)和擾動(dòng)分別為：
, ,根據(jù)常識(shí)，我們能做如下判斷，飛機(jī)平飛（level flight）時(shí)是一種配平狀態(tài)，此時(shí)有：
, ， ，把以上代入可以得到縱向小擾動(dòng)方程組為：
其中形如
的量表示氣動(dòng)力（或力矩）對(duì)擾動(dòng)導(dǎo)數(shù)，即氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，一般可通過(guò)吹風(fēng)得到，感興趣可以查看參考文獻(xiàn)1。這樣我們就獲得了縱橫向的運(yùn)動(dòng)方。面前我們假設(shè)
相比于 和 要小很多，如果我們想更精確的話(huà)，也可以把這兩項(xiàng)加上，令通過(guò)公式推導(dǎo)，可獲得修正矩陣如下：
這樣，完整的微分方程為：
這樣，修正后的矩陣
還是波音747飛機(jī)，在標(biāo)準(zhǔn)海平面條件下，以0.25馬赫平飛（此時(shí)
）時(shí)，其橫航向氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)如下（單位為英制）：慣性矩之比為：
知道了
,通過(guò)計(jì)算可以得到，矩陣 的4個(gè)特征根為一組共軛根，兩個(gè)負(fù)實(shí)根，數(shù)值分別為：- 對(duì)于一組共軛根，對(duì)應(yīng)的模態(tài)稱(chēng)之為荷蘭滾模態(tài)（橫航向耦合模態(tài)）。其阻尼比為： ；無(wú)阻尼截止頻率為： ；周期為 。
- 對(duì)于負(fù)實(shí)根 ，對(duì)應(yīng)的的模態(tài)為翻滾模態(tài)，在這種模態(tài)下，飛機(jī)幾乎只有翻滾運(yùn)動(dòng)；
- 對(duì)于負(fù)實(shí)根 ，對(duì)應(yīng)的的模態(tài)為螺旋模態(tài)，在這種模態(tài)下，飛機(jī)主要進(jìn)行偏航運(yùn)動(dòng)，同時(shí)伴隨一個(gè)較小的翻滾運(yùn)動(dòng)；
4.2 狀態(tài)變量為
同樣，對(duì)于橫航向運(yùn)動(dòng)，我們也可以選擇側(cè)滑角擾動(dòng)作為狀態(tài)變量，前面我們已經(jīng)說(shuō)過(guò)：
當(dāng)然，橫航向的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)也需要相應(yīng)變化。
飛機(jī)的五種運(yùn)動(dòng)模態(tài)是理解飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的重要概念，后面文章中還會(huì)就此展開(kāi)。
五、參考文獻(xiàn)
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的如何给定两个gps坐标 算出航向角_如何获得飞机的小扰动模型的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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