本文的主線是告訴你什么是集合的基數

本文繼承上文的 序數，良序相關知識 。

良序定理

在說到集合的基數之前，請先耐心地來看看這個看起來有點反直覺的定理。因為正式這個定理的存在，才保證了任何集合都能有一個基數。這個定理就是Zermelo良序定理

Zermelo 良序定理：任何集合S都能被賦予良序

這個定理的證明看上去很trivial，書上是這么說的：選取

, 由選擇公理，可以在S中一直選取元素，設 , 那么

因S是集合，必能取極小的序數

使得 , 而S與 之間顯然有雙射，于是導出S上的良序。

別看說得這么復雜，其實說人話就是，我有個集合S，那我就在S里面不重復地選擇元素，那只要這個集合S沒有選完，那這個過程總是能進行下去的。那我再把選擇的元素排開，就能與序數做一個對應。

仔細想想這個良序定理的證明就跟講廢話一樣，證明就用到一個集合論的選擇公理呀？！如果你這么想了，那說明你看到了這個定理的真諦，這個定理其實就是ZFC選擇公理是等價的。

等勢

其實基數的想法很簡單，就是給一個序數，描述一個集合的“大小”。那么說集合的大小，直觀來說，就是元素的“個數”。那么怎么度量幾個集合，比如說很抽象的實數集，有理數集，整數集，的元素“個數”是否相等呢？用的就是集合的勢這個概念。

定義，等勢：若集合X, Y之間存在雙射 ，則稱X，Y等勢
等勢構成了集合間的等價關系，集合X的等勢類記作|X|。若存在單射 則記作 .

這個說起來也很簡單，就是如果兩個集合有雙射，就說這倆集合大小相等。也就是所謂的等勢。顯然，這個小于等于的關系是一種偏序。

基數

現在我們的想法是這樣，如果幾個集合互相之間等勢，那么我就選一個特殊的集合，這個集合與原來那幾個集合也都等勢，然后我們就用這個集合來作為集合勢的“標尺”。而序數，就是最直觀的那根標尺。我們在集合和序數之間建立雙射，然后用序數來標定這個集合的大小，這就是基數的想法。

但問題是，不是所有序數都有資格當基數的。比如有理數集和整數集，這倆集合之間等勢，但這倆集合對應的序數顯然不一樣。所以有理數集和整數集所對應的序數就至少有一個不適合當基數，因為基數是集合勢的標尺，一個基數需要能唯一標定一個等勢類，而這倆序數相同而但卻是等勢的。

定義，基數：序數 稱為基數，若對任意序數 都有

注意，這里的<是我們上文所指的那個小于，而不是通常意義上的數的小于。另外這個定義的意義前文也說明了，最典型的例子就是整數集所對應的序數是基數，而有理數集對應的序數不是。

顯然，等勢類在上述這個偏序的定義上，是有完全序的。詳細的數學語言就不寫了。

在這個問題上，最著名的問題就是連續統問題。如果我們令整數對應的基數為

，我們可以證明，實數集所對應的基數為 . 那么問題就是，這個 是不是所對應的下一個基數？很長一段時間，人們試圖去證明或者證偽它。而后來有一個叫做哥德爾的人跳出來說，這個問題既不可證明也不可證偽。

典范良序

典范良序：真類 上存在良序 使得對每個序數 皆有 , 稱作 上的典范良序

這里解釋一下

是什么意思，這個符號表面的是， 中，能構建一個大小關系 , 使得對任意小于 的所有元素構成的集合，能夠對應良序

為什么說這中的良序是“典范”的呢？其實也很好想，你想象把一個m x m階的矩陣，這個矩陣的元素個數就是

。而這 個元素能按照大小一字排開的話，那么這個矩陣元素構成的集合就對應著 這個序數。推論：對任意非0基數 設其一無窮， 則 （1） (2) 若 則

這個定理給出了基數的一個運算法則。至此，基數相關的一些內容就介紹完畢了.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的序数是什么意思_序数与基数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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