初步理解，以離散信號為例：
已知x[0]=a,x[1]=b,x[2]=c
已知y[0]=i,y[1]=j,y[2]=k
卷積的過程為：

• 第一步，x[n]乘以y[0]并平移到位置0
• 第二步，x[n]乘以y[1]并平移到位置1
• 第三步，x[n]乘以y[2]并平移到位置2
• 最后，把上面三個結果疊加，就得到了x[n]?y[n]

從這里，可以看到卷積的重要的物理意義是：一個函數（如：單位響應）在另一個函數（如：輸入信號）上的加權疊加。

對于線性時不變系統，如果知道該系統的單位響應，那么將單位響應和輸入信號求卷積，就相當于把輸入信號的各個時間點的單位響應 加權疊加，就直接得到了輸出信號。

通俗的說：在輸入信號的每個位置，疊加一個單位響應，就得到了輸出信號。這正是單位響應是如此重要的原因。

卷積實例：

卷積的定義：我們稱 (f?g)(n)為 f,g 的卷積
其連續的定義為：(f?g)(n)=∫∞?∞f(τ)g(n?τ)dτ
其離散的定義為： (f?g)(n)=∑τ=?∞∞f(τ)g(n?τ)
離散卷積的例子：丟骰子
我有兩枚骰子,把這兩枚骰子都拋出去，兩枚骰子的點數和是4的概率？
這里問題的關鍵是，兩個骰子加起來要等于4，這正是卷積的應用場景：

其中f表示第一枚骰子，g表示第二枚骰子，f(1)投出1的概率，以此類推。下面是兩枚骰子點數加起來為4的情況：

因此，兩枚骰子點數加起來為4的概率為：

f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)
符合卷積的定義，把它寫成標準的形式就是： (f?g)(4)=∑m=13f(4?m)g(m)

圖像處理的例子：
有這么一副圖像，可以看到，圖像上有很多噪點，即高頻信號，現需要平滑，而卷積可以幫助實現這個平滑算法。
有噪點的原圖，可以把它轉為一個矩陣：

然后用下面的這個g平均矩陣來平滑圖像

g=?????????191919191919191919?????????
把高頻信號與周圍的數值平均一下就可以得到平滑，比如我要平滑 a1,1點，就在矩陣中，取出 a1,1 點附近的點組成矩陣 f，和 g 進行卷積計算后，再填回去：

寫成卷積公式就是：(f?g)(1,1)=∑k=02∑h=02f(h,k)g(1?h,1?k)
這樣相當于實現了 g 這個矩陣在原來圖像上的劃動

又一例子：

關于卷積的一個血腥的講解比如說你的老板命令你干活，你卻到樓下打臺球去了，后來被老板發現，他非常氣憤，扇了你一巴掌（注意，這就是輸入信號，脈沖），于是你的臉上會漸漸地（賤賤地）鼓起來一個包，你的臉就是一個系統，而鼓起來的包就是你的臉對巴掌的響應，好，這樣就和信號系統建立起來意義對應的聯系。下面還需要一些假設來保證論證的嚴謹：假定你的臉是線性時不變系統，也就是說，無論什么時候老板打你一巴掌，打在你臉的同一位置，你的臉上總是會在相同的時間間隔內鼓起來一個相同高度的包來，并且假定以鼓起來的包的大小作為系統輸出。好了，那么，下面可以進入核心內容——卷積了！
如果你每天都到地下去打臺球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不過當老板打你一巴掌后，你5分鐘就消腫了，所以時間長了，你甚至就適應這種生活了……如果有一天，老板忍無可忍，以0.5秒的間隔開始不間斷的扇你的過程，這樣問題就來了，第一次扇你鼓起來的包還沒消腫，第二個巴掌就來了，你臉上的包就可能鼓起來兩倍高，老板不斷扇你，脈沖不斷作用在你臉上，效果不斷疊加了，這樣這些效果就可以求和了，結果就是你臉上的包的高度隨時間變化的一個函數了（注意理解）；如果老板再狠一點，頻率越來越高，以至于你都辨別不清時間間隔了，那么，求和就變成積分了。可以這樣理解，在這個過程中的某一固定的時刻，你的臉上的包的鼓起程度和什么有關呢？和之前每次打你都有關！但是各次的貢獻是不一樣的，越早打的巴掌，貢獻越小，所以這就是說，某一時刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減系數之后的疊加而形成某一點的輸出，然后再把不同時刻的輸出點放在一起，形成一個函數，這就是卷積，卷積之后的函數就是你臉上的包的大小隨時間變化的函數。本來你的包幾分鐘就可以消腫，可是如果連續打，幾個小時也消不了腫了，這難道不是一種平滑過程么？

卷積矩陣及其運算實例：

矩陣的卷積運算主要用在圖像處理中，假設輸入信號為x[m,n]，激活響應為h[m,n]，則其卷積定義為：

y[m,n]=x[m,n]?h[m,n]=∑j=?∞∞∑i=?∞∞x[i,j]?h[m?i,n?j]
不過在圖像處理中這里的激活響應（也稱為核）h[m,n]通常是一個3乘3矩陣，其下標如下圖所示：

其余下標的值取0，注意到原點(0,0)是是矩陣的中心。

在圖像處理中，輸入信號x[m,n]的非零值通常是橫坐標從0到M-1，縱坐標從0到N-1，這里M和N分別是圖像寬和高的值，其余的值設置為0。但是下面的例子的輸入矩陣的下標范圍和核矩陣相同，也就是（-1，1）。

根據定義可以直接計算矩陣的卷積。假設我們有一個3x3的核和一個3x3的輸入：

具體的計算過程如下：

計算過程中不在卷積范圍的下標元素都設為0。
例如：

從以上卷積的公式可以得到上述的y[0,0]的計算過程，可以看到就是下面的過程：

在這里y[0,1],y[0,2]....的計算過程就省略了。

參考：
https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/228543288
https://mlnotebook.github.io/post/CNN1/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的卷积的理解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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