3.9　二進(jìn)制加法器

一個算術(shù)電路就是一個組合電路，它對二進(jìn)制數(shù)或用二進(jìn)制編碼表示的十進(jìn)制數(shù)執(zhí)行加、減、乘、除運算。我們將采用層次、迭代的設(shè)計方法實現(xiàn)算術(shù)電路。首先從最底層開始，設(shè)計一個電路實現(xiàn)兩個一位二進(jìn)制數(shù)相加。這個簡單的加法包含4個可能的基本操作：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10。前三個運算產(chǎn)生的和只需要一位表示，但是當(dāng)加數(shù)和被加數(shù)都等于1的時候，和就需要兩位表示。正因為如此，運算的結(jié)果需要兩位表示：進(jìn)位與和。由兩位加法產(chǎn)生的進(jìn)位將加到下一個高位的有效位中。實現(xiàn)兩位相加的組合電路稱為半加器（half adder）。實現(xiàn)三個位（兩個有效位和一個先前位產(chǎn)生的進(jìn)位）相加的電路稱為全加器（full adder）。兩個半加器可以用來實現(xiàn)一個全加器，半加器和全加器的命名就是基于這個原因。在算術(shù)電路設(shè)計中，半加器和全加器是基本的算術(shù)模塊。
3.9.1　半加器
半加器是一個產(chǎn)生兩位二進(jìn)制數(shù)的和的算術(shù)電路，這個電路有兩個輸入和兩個輸出。輸入變量是加數(shù)和被加數(shù)，輸出變量是產(chǎn)生的和與進(jìn)位。用X和Y表示兩個輸入，用S（和）和C（進(jìn)位）表示輸出。半加器的真值表如表3-11所示。輸出C只有當(dāng)兩個輸入都為1時才為1，輸出S表示和的最低有效位。從真值表可以很容易得到兩個輸出的布爾表達(dá)式：
S＝XY＋XY＝XY
C＝XY
如圖3-40所示，半加器可以用一個異或門和一個與門來實現(xiàn)。

3.9.2　全加器
全加器是實現(xiàn)三位數(shù)相加的組合邏輯電路。除了三個輸入，全加器還有兩個輸出。輸入變量中的兩個用X和Y表示，代表相加的兩個有效位，第三個輸入Z表示來自前一個低位產(chǎn)生的進(jìn)位。兩個輸出是必不可少的，因為三位相加的和在0～3之間變化，而2和3需要兩位二進(jìn)制數(shù)表示。同樣，兩個輸出用S（和）與C（進(jìn)位）來表示。二進(jìn)制變量S表示相加的和，C表示產(chǎn)生的進(jìn)位輸出。全加器的真值表如表3-12所示。輸出值由三位輸入的算術(shù)和決定。當(dāng)所有輸入都為0時，輸出均為0。當(dāng)輸入僅有一個為1或三個全為1時，輸出S為1。當(dāng)輸入有兩個或三個為1時，輸出C為1。圖3-41給出了全加器的兩個輸出的卡諾圖。兩個輸出的積之和的最簡表達(dá)式為：

全加器的兩級實現(xiàn)需要七個與門和兩個或門。但是，輸出S的卡諾圖可看作奇函數(shù)，此類函數(shù)在2.6節(jié)中已討論過，輸出C的表達(dá)式可進(jìn)一步處理包含X和Y的異或運算。全加器的布爾表達(dá)式用異或運算表示又可寫成：

3.9.3　二進(jìn)制行波進(jìn)位加法器
一個并行加法器是一個僅采用組合邏輯計算出兩個二進(jìn)制數(shù)算術(shù)和的數(shù)字電路。并行加法器并行地連接n個全加器，所有的輸入位同時加載至全加器以產(chǎn)生和。
并行加法器中的所有全加器用級聯(lián)的方式連接在一起，一個全加器的進(jìn)位輸出連接到下一個全加器的進(jìn)位輸入。由于加法器最低有效位產(chǎn)生的進(jìn)位1可能經(jīng)過多個全加器傳遞到最高有效位，就好像一個小卵石丟入池塘激起的波浪一樣，因此這種并行加法器又稱為行波進(jìn)位加法器（ripple carry adder）。圖3-43給出了由4個全加器級聯(lián)形成的一個4位行波進(jìn)位加法器。被加數(shù)A和加數(shù)B的下標(biāo)從右至左依次遞增，下標(biāo)0表示最低有效位。進(jìn)位位將整個全加器鏈?zhǔn)降剡B接起來。并行加法器的進(jìn)位輸入為C0，進(jìn)位輸出為C4。一個n位的行波進(jìn)位加法器需要n個全加器，每個進(jìn)位輸出連接到下一個高位全加器的進(jìn)位輸入。例如，考慮兩個二進(jìn)制數(shù)A＝1011與B＝0011。它們的和S＝1110，采用4位行波進(jìn)位加法器的計算過程如下所示：

最低有效位的進(jìn)位輸入置為0。每個全加器接收A和B的相應(yīng)位和進(jìn)位輸入，產(chǎn)生和S與進(jìn)位輸出。每個全加器的進(jìn)位輸出是下一個高位全加器的進(jìn)位輸入，如灰線所示。

4位加法器是數(shù)字部件作為基本模塊實現(xiàn)系統(tǒng)的典型實例。它可用于包括算術(shù)運算在內(nèi)的許多應(yīng)用領(lǐng)域。如果采用常規(guī)設(shè)計方法設(shè)計4位加法器，由于電路有9個輸入，則真值表有512行。而采用4個全加器的級聯(lián)，可以簡單、直接地實現(xiàn)該電路，而不需要構(gòu)建512行的真值表。迭代電路和電路重用的魅力在此例中得到了詮釋。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《逻辑与计算机设计基础（原书第5版）》——3.9　二进制加法器的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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