第一章 隨機事件與概率

1.1 隨機事件及其運算

一 隨機事件的幾個相關概念

1 隨機現象：在一定的條件下，并不總是出現相同結果的現象。如：拋一枚硬幣與擲一顆骰子。

隨機現象的特點：

• 結果不止一個，只有一個結果的現象稱為確定性現象。如：每天早上太陽從東方升起；
• 出現哪一個結果，預先不知道。

例1 隨機現象的例子：

拋一枚硬幣，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；

擲一顆骰子，出現的點數；

一天內進入某超市的顧客數；

某種型號電視機的壽命；

測量某物理量（長度，直徑等）的誤差。

2 隨機試驗：在相同條件下可以重復的隨機現象。注意，也有很多隨機現象是不能重復的。如：某些經濟現象。

3 樣本空間：隨機現象的一切可能基本結果（樣本點）組成的集合稱為樣本空間。

例2 以下是例1的樣本空間：

拋一枚硬幣的樣本空間為： $\Omega_1=\{\omega_1,\omega_2\}$ ，其中$\omega_1$表示正面朝上，$\omega_2$表示反面朝上；

擲一顆骰子的樣本空間為： $\Omega_2=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_6\}$，其中$\omega_i$表示出現$i$的點數，也可以記為： $\Omega_2=\{1,2,\cdots,6\}$；

一天內進入某超市的顧客數的樣本空間為：$\Omega_3=\{0,1,2,\cdots,500,\cdots\}$；

電視機壽命的樣本空間為：$\Omega_4=\{t,t \geq 0\}$；

測量誤差的樣本空間為：$\Omega_5=\{x,- \infty \leq x \leq +\infty\}$。

注意：

樣本空間中的元素可以是數，也可以不是數，如$\Omega_1$；

樣本空間至少有兩個樣本點，僅含有兩個樣本點的樣本空間是最簡單的樣本空間，如$\Omega_1$；

從樣本空間含有樣本點的個數來區分，樣本空間可分為有限和無限樣本空間兩類。如$\Omega_1$和$\Omega_2$為有限樣本空間，而$\Omega_3$，$\Omega_4$和$\Omega_5$為無限樣本空間。其中$\Omega_3$中樣本點的個數為可列個，而$\Omega_4$和$\Omega_5$中的元素為不可列無限個。我們稱樣本點的個數為有限個或可列個的樣本空間為離散樣本空間，而將樣本點的個數為不可列無限個的樣本空間為連續樣本空間。

4 隨機事件：隨機現象的某些樣本點組成的集合稱為隨機事件，簡稱事件。常用大寫字母$A,B,C,\cdots$表示。如在擲一顆骰子中，$A=$“出現奇數”是一個事件，即$A=\{1,3,5\}$。

注意：

• 任一事件$A$是相應樣本空間的一個子集。概率論中常用一個長方形表示樣本空間$\Omega$，用其中一個圓或其他幾何圖形表示事件$A$。見圖1.1，這類圖形稱為維恩（Venn）圖；
  

圖1.1 事件$A$的維恩圖

• 當子集$A$中某個樣本點出現了，就說事件$A$發生了，或者說事件$A$發生當且僅當$A$中某個樣本點出現了；
• 事件可以用集合表示，也可以用明白無誤的語言描述；
• 由樣本空間$\Omega$中的單個元素組成的子集稱為基本事件，而樣本空間$\Omega$的最大子集（即$\Omega$本身）稱為必然事件。樣本空間$\Omega$的最小子集（即空集$\emptyset$）稱為不可能事件。

例3 擲一顆骰子的樣本空間為：$\Omega=\{1,2,\cdots,6\}$：

• 事件$A$ = “出現1點”，它由$\Omega$的三個樣本點“1”組成；
• 事件$B$ = “出現偶數”，它由$\Omega$的單個樣本點“2,4,6”組成；
• 事件$C$ = “出現的點數小于7”，它由$\Omega$的全部樣本點“1,2,3,4,5,6”組成；
• 事件$D$ = “出現的點數大于6”，$\Omega$中任一樣本點都不在$D$中，所以$D$是空集，即不可能事件$\emptyset$。

5 隨機變量：用來表示隨機現象結果的變量稱為隨機變量。常用大寫字母$X,Y,Z$表示，很多事件都可用隨機變量表示，表示時應寫明隨機變量的含義。

例4 擲一顆骰子，出現的點數是一個隨機變量，記為$X$，則事件“出現3點”可用“$X$=3”表示，事件“出現的點數不小于3”可用“$X\ge3$”表示，又如“$X\lt3$”表示事件“出現點數小于3”。

6 事件間的關系

• 包含關系：如果屬于$A$的樣本點必屬于$B$，則稱$A$被包含在$B$中，或稱$B$包含$A$，記為$A\subset B$，或$B\supset A$；
• 相等關系：如果事件$A$與$B$滿足：屬于$A$的樣本點必屬于$B$，而且屬于$B$的樣本點必屬于$A$，即$A\subset B$且$B\supset A$，則稱事件$A$與$B$相等，記為$A=B$；
• 互不相容：如果$A$與$B$沒有相同的樣本點，則稱$A$與$B$互不相容，即$A$與$B$互不相容意味著事件$A$與$B$不可能同時發生。

二 事件運算

• 并：“事件$A$與$B$至少有一個發生”稱為事件$A$與$B$的并；
• 交：“事件$A$與$B$同時發生”稱為事件$A$與$B$的交。若事件$A$與$B$為互不相容，則其交必不可能事件，即$AB=\emptyset$，反之亦然，即$AB=\emptyset$意味著$A$與$B$是互不相容事件；
• 差：“由事件$A$中而不在事件$B$中的樣本點組成的新事件”記為“$A-B$”，即“事件$A$發生而事件$B$不發生”；
• 對立事件：“由在$\Omega$中而不在$A$中的樣本點組成的新事件”稱為對立事件，記為$\overline A$。$A$與$B$互為對立事件的充要條件是：$A\cap B=\emptyset$且$A\cup B=\Omega$；
• 事件的運算性質：

交換律：$A\cup B = B\cup A$，$A\cap B = B\cap A$ 即$AB=BA$；

結合律：$(A\cup B) \cup C= A\cup (B \cup C)$ 及 $(AB)C=A(BC)$

分配律：$(A\cup B) \cap C= AC\cup BC$ 及 $(A\cap B) \cup C= (A\cup C)\cap(B\cup C) $

對偶律（德摩根公式）：$\overline {A\cup B}=\overline A\cap \overline B$及$\overline {A\cap B}=\overline A\cup \overline B$

該公式可推廣到多個事件及可列個事件場合：
$$\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^n \overline A_i \quad 及\quad \overline{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^{\infty} \overline A_i $$
$$\overline{\bigcap\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^n \overline A_i \quad 及\quad \overline{\bigcap\limits_{i=1}^{\infty} A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \overline A_i $$
其中$\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^n \overline A_i$和$\overline{\bigcap\limits_{i=1}^n A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^n \overline A_i$可用數學歸納法證明。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【原】概率论——第一章第1节的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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