前言

初中使用的較多，常常指同一條線段；對其作以拓展，一般指的是兩個相同的數學素材，可以是區間，直線，線段，角，函數等等；比如從不同角度得到的同一條直線，則其對應的系數就應該成比例；

例1【解集相同或區間相同】設\(a>0\)，不等式\(-c<ax+b<c\)的解集為\(\{x\mid -2<x<1\}\)，則\(a：b：c\)=____________。

分析：由\(-c<ax+b<c\)得到不等式的解集為\(\cfrac{-c-b}{a}<x<\cfrac{c-b}{a}\)，又解集為\(\{x\mid -2<x<1\}\)，

則有\(\cfrac{-c-b}{a}=-2\)且\(\cfrac{c-b}{a}=1\)，解得\(b=\cfrac{a}{2}\)，\(c=\cfrac{3a}{2}\)，故\(a：b：c=2：1：3\).

例2【直線相同】在直角坐標系\(xoy\)中，以坐標原點為極點，\(x\)軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓\(C_1\)，直線\(C_2\)的極坐標方程分別為\(\rho=4sin\theta\)，\(\rho cos(\theta-\cfrac{\pi}{4})=2\sqrt{2}\)，

(1)、求\(C_1\)與\(C_2\)的交點的極坐標；

分析：\(C_1:x^2+y^2-4y=0\)，\(C_2:x+y-4=0\)，其交點的直角坐標為\((2，2)\)和\((0，4)\)，則其對應的極坐標為\((2\sqrt{2}，\cfrac{\pi}{4})\)和\((4，\cfrac{\pi}{2})\)；

(2)、設\(P\)為\(C_1\)的圓心，\(Q\)為\(C_1\)與\(C_2\)的交點連線的中點，已知直線\(PQ\)的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=t^3+a}\\{y=\cfrac{b}{2}t^3+1}\end{array}\right.\)(\(t\in R\))為參數，求\(a，b\)的值；

分析：由題可知，\(P(0，2)\)，且\(k_{PQ}=1\)，則可知直線\(PQ\)的普通方程為\(x-y+2=0\)；

又直線\(PQ\)的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=t^3+a}\\{y=\cfrac{b}{2}t^3+1}\end{array}\right.\)(\(t\in R\))為參數，消參得到\(bx-2y-ab+2=0\)，

由于其是同一條直線，則可知對應系數成比例，則\(\cfrac{1}{b}=\cfrac{-1}{-2}=\cfrac{2}{-ab+2}\)，解得\(a=-1\)，\(b=2\)。

例3【利用同一法求解析式】【2018內蒙古赤峰一模】

已知定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)的導函數為\(f'(x)\)，且\(f(x)+f'(x)=\cfrac{2x-1}{e^x}\)，若\(f(0)=0\)，則函數\(f(x)\)的單調遞減區間為【】

$A(-\infty，\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})和(\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}，+\infty)$ $B(\cfrac{3-\sqrt{5}}{2}，\cfrac{3+\sqrt{5}}{2})$ $C(-\infty，3-\sqrt{5})\cup(3+\sqrt{5}，+\infty)$ $D(3-\sqrt{5}，3+\sqrt{5})$

分析：由\(f(x)+f'(x)=\cfrac{2x-1}{e^x}\)，得到\(e^x\cdot f(x)+e^x\cdot f'(x)=2x-1\)，

令\(g(x)=e^x\cdot f(x)\)，則\(g'(x)=e^x\cdot f(x)+e^x\cdot f'(x)=2x-1\)，則\(g(x)=x^2-x+C\)，

由于\(f(0)=0\)，則\(g(0)=e^0\cdot f(0)=0\)，則\(g(x)=x^2-x\)；

這樣從兩個不同的角度得到了同一個函數\(g(x)\)，則\(g(x)=x^2-x=e^x\cdot f(x)\)，解得\(f(x)=\cfrac{x^2-x}{e^x}\)；

接下來用導數的方法，求函數\(f(x)\)的單調區間即可，\(f'(x)=\cdots=\cfrac{-x^2+3x-1}{e^x}=-\cfrac{(x-\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})(x-\cfrac{3+\sqrt{5}}{2})}{e^x}\)

故單調遞減區間為\((-\infty，\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})和(\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}，+\infty)\)，故選\(A\)。

例4【向量相同】在\(\triangle ABC\)中，點\(G\)滿足\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\)，若存在點\(O\)，使得\(\overrightarrow{OG}=\cfrac{1}{6}\overrightarrow{BC}\)，且\(\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}\)，則\(m-n\)=【】

$A.2$ $B.-2$ $C.1$ $D.-1$

分析：由題目\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\)可知，

\((\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OG})=\vec{0}\)，整理得到

\(\overrightarrow{OG}=\cfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\)，又\(\overrightarrow{OG}=\cfrac{1}{6}\overrightarrow{BC}\)，

則\(\cfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\cfrac{1}{6}\overrightarrow{BC}=\cfrac{1}{6}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\)

整理得到，\(\overrightarrow{OA}=-\cfrac{3}{2}\overrightarrow{OB}-\cfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}\)，結合已知\(\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}\)，

則可知\(m=-\cfrac{3}{2}\)，\(n=-\cfrac{1}{2}\)，則\(m-n=-1\)，故選\(D\)。

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總結

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