【作者聲明】

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前言

　　為了滿足大家希望更好地使用手中的科學(xué)計(jì)算器的需求，理解與熟悉計(jì)算器上的各種功能，提高在各類科學(xué)計(jì)算器應(yīng)用場合下（特別是考試）的計(jì)算器使用效率，我們特別策劃了一些計(jì)算器基本使用方法的系列文章，講解科學(xué)計(jì)算器上一些比較常用的功能的使用，方便大家學(xué)習(xí)與交流。

　　本次要向大家介紹的內(nèi)容是如何使用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算常見隨機(jī)變量的概率分布，包括連續(xù)型隨機(jī)變量的正態(tài)分布，離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布、泊松分布等等。雖然少部分科學(xué)計(jì)算器（例如卡西歐國外的型號fx-991EX、fx-JP900，夏普的EL-W991TL等等）可以直接計(jì)算，但包括fx-991CN X在內(nèi)的大多數(shù)科學(xué)計(jì)算器都沒有搭載概率分布的功能，所以我們在這里為大家提供計(jì)算的方法。

　　由于計(jì)算概率分布需要用到定積分、Σ連加求和的功能，所以這篇文章中主要以卡西歐（CASIO）的fx-991CN X中文版講解使用現(xiàn)有的功能間接計(jì)算概率分布的方法，以夏普（SHARP）的EL-W991TL講解具有概率分布功能的計(jì)算器上的操作方法。

正態(tài)分布

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

　　對于服從期望為

，方差為 的正態(tài)分布（高斯分布）的連續(xù)型隨機(jī)變量 ，其概率密度為

，

記作

。特別地，當(dāng) ， 時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

　　正態(tài)分布的分布函數(shù)為

　　我們已經(jīng)在文章使用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算（提高篇）中提到了fx-991CN X的正態(tài)分布功能，但這一功能是用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算的，而且只是三種積分下限不同的分布函數(shù)。

正態(tài)分布的概率密度

　　我們可以借助fx-991CN X的CALC功能來實(shí)現(xiàn)正態(tài)分布某一點(diǎn)的概率密度的計(jì)算。

【例1】分別計(jì)算以下點(diǎn)處的正態(tài)分布概率密度：
（1）

， ， ；
（2） ， ， 。

　　按[菜單]、[1]進(jìn)入基本計(jì)算模式，然后用變量D替換標(biāo)準(zhǔn)差σ，用變量E替換均值μ，在計(jì)算器上輸入表達(dá)式

，然后按[CALC]，此時(shí)提示輸入變量D的值。輸入1.5之后，按[=]確認(rèn)。和輸入D的值一樣，再輸入x的值0.5、E的值2.5，最后再按[=]即可計(jì)算得到題中第一個(gè)正態(tài)分布在x=0.5處的概率密度為0.10934。

　　計(jì)算完x=0.5處概率密度之后，繼續(xù)按[=]回到CALC功能的界面，然后按方向鍵[▼]切換到變量x，輸入3，按兩次[=]，得到x=3處的概率密度為0.25159。

　　再按[=]回到CALC功能界面，和前面一樣的方法，依次為變量D重新賦值0.5，為變量x賦值10.25，為變量E賦值10，再按[=]得到題中第二個(gè)正態(tài)分布在x=10.25處的概率密度為0.70413；同樣地，回到CALC功能界面之后，按方向鍵[▼]切換到變量x，修改為11.5之后，按兩次[=]得到x=11.5處的概率密度為8.8637×10^(-3)=0.0088637。

　　如果是求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，可以不用輸入變量D和E，直接輸入關(guān)于x的表達(dá)式

，然后每次修改x的值即可。只涉及x的變化時(shí)，還可以在表格模式（[菜單]、[7]）中指定范圍與步長，列出正態(tài)分布概率密度的函數(shù)表格。

正態(tài)分布的概率

　　計(jì)算正態(tài)分布的概率需要用到定積分的功能，同樣還是使用CALC功能實(shí)現(xiàn)。

【例2】設(shè)

，求：
（1） ；
（2） ；
（3） 。

　　我們需要在計(jì)算器上輸入的算式為

，其中D和E與例1一樣，分別代表標(biāo)準(zhǔn)差σ和均值μ；A和B分別為積分下限和積分上限，對于不同的隨機(jī)變量的分布區(qū)間，A和B的值的賦值方法不一樣。

（1）

　　按CALC，D和E仍然按照例1的方法直接賦值（D=0.5，E=90），而上下限也是直接用所給的數(shù)賦值，即A=88.3，B=90.5。需要注意的是，這里不需要為x賦值，無論在賦值列表里面x的值顯示為多少，對最后的計(jì)算結(jié)果都是沒有影響的。

由此得到

。

（2）

　　對于這種情況，積分下限是負(fù)無窮，但計(jì)算器沒有負(fù)無窮的符號，所以要用一個(gè)數(shù)來代替。

　　對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，我們可以用計(jì)算器驗(yàn)證，當(dāng)

的時(shí)候， 非常接近1，利用（1）中的方法計(jì)算 時(shí)的 ，在計(jì)算器上減去1得到的已經(jīng)是0了，所以可以用±10來代替標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上下限。

　　我們又知道，令

， ，所以當(dāng)積分下限是負(fù)無窮的時(shí)候，對于一般的正態(tài)分布，為變量A賦值 ，變量B用所給的數(shù)直接賦值（這里B=90.5）即可。

　　注意這里是可以直接輸入變量的，因?yàn)樵贑ALC功能變量列表里面，對于我們輸入的算式

，變量的順序是D，x，E，A，B，在輸入A之前已經(jīng)輸入了D和E，所以不用再重復(fù)輸入數(shù)字。如果是其他的算式，還是需要留意賦值之后變量是否還會(huì)被修改。

由此得到

。

（3）

　　這一情況和（2）是類似的，變量A用所給的數(shù)賦值（這里A=88.3），而變量B需要賦值

以代替正無窮。

由此得到

。

正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)（已知概率反求分布區(qū)間）

　　這一功能我們同樣可以使用CALC功能實(shí)現(xiàn)，但需要使用牛頓法去求解。

　　我們在文章

電卓院亜紀(jì)良：用計(jì)算器求解含有定積分或?qū)?shù)的方程?zhuanlan.zhihu.com

里面介紹了fx-991CN X求解含有定積分或?qū)?shù)的方程的問題，計(jì)算正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)（已知概率反求分布區(qū)間）的問題實(shí)質(zhì)上就是求解含有定積分的方程。具體的原理我們已經(jīng)在文章里面說明了，這里再提供一個(gè)例子。

【例3】已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率

，求 。

由于使用牛頓迭代法，限于算法的問題，所以這里需要將未知變量寫在積分上限處，所以也要把問題轉(zhuǎn)化為

。

　　構(gòu)造迭代式：

，在計(jì)算器上輸入這個(gè)式子，然后按[CALC]，其中變量A需要根據(jù)概率來賦一個(gè)合適的初始值，x無需賦值。這里給變量A賦值1，然后一直按[=]迭代，直到A的值在需要的有效位數(shù)之內(nèi)不再變化，即得到結(jié)果。

由此得到，

。

　　利用上面的方法求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)

之后，就可以繼續(xù)利用 來解決其他需要反求分布區(qū)間的概率或數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題了。

【例4】已知

， ，求 的值。

按照例3的方法，我們已經(jīng)算得

，那么我們只需要再計(jì)算d=30+0.75×2.32635=31.745即可。

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二項(xiàng)分布和泊松分布

　　二項(xiàng)分布和泊松分布都是離散型隨機(jī)變量的分布，如果我們只計(jì)算少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量取值的概率，同樣可以使用CALC功能計(jì)算或者直接列式計(jì)算；如果要寫出分布列，那么可以用函數(shù)表格模式來完成。這里我們主要講表格模式的用法。累積分布概率可以使用Σ連加求和功能實(shí)現(xiàn)。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

　　二項(xiàng)分布

的概率：

　　泊松分布

的概率：

　　當(dāng)二項(xiàng)分布的獨(dú)立試驗(yàn)次數(shù)

非常大而成功概率 又非常小的時(shí)候，二項(xiàng)分布可以近似為泊松分布。

離散型隨機(jī)變量的分布列與累積分布概率

【例4】（選自浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研組編《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》1979年版）

按照規(guī)定，某種型號電子管的使用壽命超過5000小時(shí)的為一級品。已知某一大批產(chǎn)品的一級品率為0.2，現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查20只，問20只管子中恰有k只（k=0，1，…，20）管子為一級品的概率為多少？

以

表示20只管子中一級品的數(shù)量，則 ，

。

在fx-991CN X上，按[菜單]、[7]進(jìn)入函數(shù)表格模式，然后輸入函數(shù)f(x)為

，跳過g(x)的輸入，再將開始值設(shè)為0，終止值設(shè)為20，步長值設(shè)為1，得到的函數(shù)表格就是隨機(jī)變量X的分布列。

如果還要計(jì)算累積分布概率，可以在輸入完f(x)后，使用Σ連加求和功能來輸入g(x)為累積分布概率的表達(dá)式，即

：

這樣就同時(shí)得到了隨機(jī)變量X的分布列以及累積分布概率。

【例5】已知隨機(jī)變量

，求 。

　　根據(jù)離散型隨機(jī)變量累積概率分布的計(jì)算方法，有

　　然而計(jì)算器上不能輸入∞，所以轉(zhuǎn)化為計(jì)算

　　在計(jì)算器上按[菜單]、[1]進(jìn)入基本計(jì)算模式，然后直接輸入上式并計(jì)算即可：

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少數(shù)具有概率分布計(jì)算功能的科學(xué)計(jì)算器的操作方法

　　我們以夏普（SHARP）EL-W991TL為例，簡單講解一下這類計(jì)算器上的操作方法。

　　在EL-W991TL上，按[MODE]鍵翻到第2頁，數(shù)字7對應(yīng)的模式“DISTRIBUTION”就是概率分布計(jì)算的模式。進(jìn)入后，第一級菜單是正態(tài)分布（NORMAL）、二項(xiàng)分布(=（BINOMIAL）、泊松分布（POISSON），選擇相應(yīng)的分布類型，再選擇具體的計(jì)算類型，然后輸入?yún)?shù)就能得到結(jié)果。其中只有正態(tài)分布菜單中有下分位點(diǎn)的計(jì)算。pdf為概率密度，cdf為累積概率分布。

【例6】設(shè)

，計(jì)算x=10.25處的概率密度。

選擇Normal pdf（正態(tài)分布概率密度），然后輸入?yún)?shù)，完成之后即可得到概率。

　　需要注意的是，夏普EL-W991TL無法計(jì)算表格形式的二項(xiàng)分布與泊松分布的分布列，而卡西歐在國外發(fā)布的fx-991EX、fx-JP900等型號可以直接計(jì)算表格形式的分布列。

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總結(jié)

　　我們在fx-991CN X上利用CALC功能、定積分功能、Σ連加求和功能、函數(shù)表格等功能實(shí)現(xiàn)了概率分布的計(jì)算。概率分布的公式是大家熟知的，在熟悉了計(jì)算器的這些有用的功能之后，靈活運(yùn)用這些功能，許多問題也迎刃而解了。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的定积分计算器_使用科学计算器计算概率分布的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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