? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?PCA Excel演算

1 聲明

本文的數據來自網絡，部分代碼也有所參照，這里做了注釋和延伸，旨在技術交流，如有冒犯之處請聯系博主及時處理。

2 PCA簡介

主成分分析（Principal Components Analysis），簡稱PCA，是一種數據降維技術，用于數據預處理。在PCA中，數據從原來的坐標系轉化到新的坐標系中。通常第一個新坐標軸選擇的是原始數據方差最大的方向，第二個坐標軸是與第一個坐標軸正交且具有最大方差的方向，也即是第二個選取的方向應該和第一個方向具有很弱的相關性。

3 PCA計算過程

假設有如下的二維數據，分別是x、y來演示PCA的計算過程(這里y并不是因變量)。

Step 1：計算連續變量的x、y的均值

x	y
2.5	2.4
0.5	0.7
2.2	2.9
1.9	2.2
3.1	3.0
2.3	2.7
2.0	1.6
1.0	1.1
1.5	1.6
1.1	0.9

則可以通過excel的AVERAGE函數，如AVERAGE(A3:A12)得到x列的均值。

Step 2:計算離差(隨機變量與其均值的差，去中心化)

注：1 這里以x和y的最后一個元素為例，則離差分別為A12-A13=1.1-1.81=-0.71和B12-B13=0.9-1.91=-1.01.

? ? ? ?2 這里的D和E列是標準化后的數據記為dataAdjust，則其為一個10*2的矩陣。

Step 3:計算x和y的協方差

兩變量協方差的公式是

所以這里即轉換成：

x、y對應的離差相乘再求和

將1）式除以n-1

這里以最后一列的0.72為例 ，D12*E12=(-0.71)*(-1.01)=0.72

Step 4:構建協方差矩陣

兩變量協方差矩陣的一般形式如下：

這里的cov(x,x)即是x的方差，cov(x,y)見Step3的結果，即0.615444444。。

其中方差的公式：

則得到協方差矩陣如下：

以cov(x,x) x的方差為例，VAR(A3：A12)= 0.616555556

Step 5: 計算特征值并按大小排序

??（這里設k為特征值）由上式得，

(0.616555556-k)*(0.716555556-k)-0.615444444*0.615444444 = 0

整理后得出

k*k-(0.716555556+0.616555556)*k+0.716555556*0.616555556-0.615444444*0.615444444

則按照一元二次方程的標準形式：

a=1

b=-1.333111112

c= 0.063024445584

這里令d=? ?則，d=1.525087455

用excel解出k的兩個根。

即λ1=0.0490834，λ2= 1.284027712

按照特征值大小排序，這里因為是兩個，選擇大的λ2。

Step 6: 計算特征向量

將得到特征值分別帶入特征方程中，最終得向量分量間的關系為a1=0.92*a2，再通過單位化(a1*a1+a2*a2=1)最終得到特征向量。（非嚴格演算）

最終的特征向量為:(-0.6778734, -0.73517866)T

或者用python里的scipy求解:

import numpy as np np.set_printoptions(precision=8) import numpy as np from scipy import linalg A=np.array([[0.616555556,0.615444444],[0.615444444,0.716555556]]) evalue,evector=linalg.eig(A) print(evalue) print(evector)

Step 6：得到將維的矩陣

用step2里的dataAdjust矩陣(10*2)乘以特征向量(2*1)最終得到10*1的矩陣。

4 總結

PCA的處理步驟如下：

對樣本進行去中心化操作。

計算樣本矩陣的協方差矩陣

對協方差矩陣進行特征分解，計算特征值和特征向量

特征值從大到小排序

保留最上面k個特征向量

將數據轉換到k個向量構件的新空間中

n維矩陣*k維特征向量=k維矩陣

總結

以上是生活随笔為你收集整理的PCA 主成分分析 用Excel一步步演算过程详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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