? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 線性代數(shù)之相似矩陣與二次型基礎(chǔ)點(diǎn)

?向量的內(nèi)積

假設(shè)有n維向量如下：

則?稱為向量x，y的內(nèi)積。

注:內(nèi)積類似于行列式，是向量間的運(yùn)算，實(shí)際上是一個(gè)數(shù)。

幾點(diǎn)注意：

• 如果x和y都是列向量，則
• [x,y] = [y,x] (乘法交換律)
• [λx,y] =λ[x,y]= [x, λy] （提取公因子、乘法結(jié)合律）
• [x+y,z] = [x,z]+[y,z] (乘法分配律)
  ?

向量的長(zhǎng)度

?則||x||稱為n維向量x的長(zhǎng)度(或范數(shù))。

特別的當(dāng)||x||的長(zhǎng)度為1時(shí)稱為單位向量。

向量夾角

?稱為n維向量x、y的夾角。

特別的[x,y]=0時(shí)，向量x和y正交。

顯然對(duì)于向量組來說若n維向量 是一組兩兩正交的非零向量，則?線性無關(guān)。

規(guī)范正交基

設(shè)n維向量向量空間V（V?Rn ）的基，如果 兩兩正交且都是單位向量，則?稱之為向量空間V的一個(gè)規(guī)范正交基。

很顯然向量空間V里的任意向量a均可以由線性表示，其表達(dá)式為:

施密特正交化

如一種由線性無關(guān)的向量組 構(gòu)建成同維的兩兩正交的向量組的一種方法。

構(gòu)建步驟：

Step1：構(gòu)建兩兩正交的向量組

Step2：對(duì)單位化后的即是所求

上述過程又叫做對(duì)線性無關(guān)的向量組(向量空間V里的一個(gè)基)的規(guī)范正交化。

正交矩陣

n階矩陣A滿足如下條件

則稱為正交矩陣，或簡(jiǎn)稱為正交陣。向量方式表示見下：

可簡(jiǎn)寫成 ? ?這里不難發(fā)現(xiàn)i和j相當(dāng)?shù)牡胤皆亟詾?，不等的地方都是0，即對(duì)于單位矩陣E。

進(jìn)而得到結(jié)論：方陣A是正交陣的充要條件是A的列向量都是單位向量，且兩兩相交。

（將方陣正交陣的判定條件轉(zhuǎn)為每列是否是單位向量、兩兩向量是否正交）。

幾點(diǎn)性質(zhì)：

1 如果A是正交矩陣，那么? 也都是正交陣且|A|=1或者|A|=-1。

2 如果A和B都是正交矩陣，那么AB也是正交矩陣。

?特征值與特征向量

針對(duì)n階的矩陣A，如果數(shù)λ? 和n維非零列向量x有如下關(guān)系：

Ax=λ? x 則稱λ? 是矩陣A的特征值，非零向量x稱為該特征值對(duì)應(yīng)? 的特征向量。

上式子可變換成 (A-λE）X=0? ，由齊次方程組的性質(zhì)則知 |A-λE? |=0

特征方程與特征多項(xiàng)式

由特征值的定義結(jié)合齊次方程組的性質(zhì)則知 |A-λE? |=0，即有如下展開式：

這個(gè)以λ? 為未知數(shù)的一元n次方程叫做矩陣A的特征方程，

|A-λE? |是λ? 的n次多項(xiàng)式，記作f(λ? ),稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式。

這里不難發(fā)現(xiàn):

即特征值之和等于行列式對(duì)角線的和，特征值的積等于行列式的值。

相似矩陣

設(shè)A，B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P使得

則稱B是A的相似矩陣或者A與B相似。對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換?？赡婢仃嘝稱為A變成B的相似變換矩陣。

若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項(xiàng)式相同，A與B的特征值也相同。

如果n階矩陣A與對(duì)角陣? 相似，

則? 即是A的n個(gè)特征值。

矩陣對(duì)角化

對(duì)n階矩陣A找一個(gè)相似變換矩陣P使得? 的過程叫做矩陣的對(duì)角化。

n階矩陣A與對(duì)角陣相似（A能對(duì)角化）的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角型相似。

對(duì)稱矩陣對(duì)角化

• 如果是對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)特征值，? 是對(duì)應(yīng)的特征向量，若? 則 ?正交。
• 設(shè)A為n階對(duì)稱陣，則必有正交陣P使得?其中?? 是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣。
• 設(shè)A為m階對(duì)稱陣，λ是A的特征方程的k重根，則矩陣A-λE的秩R(A-λE)為n-k，對(duì)應(yīng)的特征值λ恰有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

二次型

含n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)，表達(dá)式見下

稱為二次型。

任給一個(gè)二次型就能唯一確定一個(gè)對(duì)稱陣。反之任給一個(gè)對(duì)稱陣也能唯一確定一個(gè)二次型。對(duì)稱陣A叫做二次型f的矩陣，也把f叫做對(duì)稱陣A的二次型。對(duì)稱陣A的秩即叫做二次型f的秩。

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

僅含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。

矩陣合同

對(duì)于n階矩陣A和B，如果有可逆矩陣C使得則稱對(duì)稱陣A與B合同。

任給二次型? 總有正交變換x=Py，使得f化為標(biāo)準(zhǔn)形

? 其中?是矩陣的特征值。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数之相似矩阵与二次型基础点的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。