? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 線性代數之相似矩陣與二次型基礎點

?向量的內積

假設有n維向量如下：

則?稱為向量x，y的內積。

注:內積類似于行列式，是向量間的運算，實際上是一個數。

幾點注意：

• 如果x和y都是列向量，則
• [x,y] = [y,x] (乘法交換律)
• [λx,y] =λ[x,y]= [x, λy] （提取公因子、乘法結合律）
• [x+y,z] = [x,z]+[y,z] (乘法分配律)
  ?

向量的長度

?則||x||稱為n維向量x的長度(或范數)。

特別的當||x||的長度為1時稱為單位向量。

向量夾角

?稱為n維向量x、y的夾角。

特別的[x,y]=0時，向量x和y正交。

顯然對于向量組來說若n維向量 是一組兩兩正交的非零向量，則?線性無關。

規范正交基

設n維向量向量空間V（V?Rn ）的基，如果 兩兩正交且都是單位向量，則?稱之為向量空間V的一個規范正交基。

很顯然向量空間V里的任意向量a均可以由線性表示，其表達式為:

施密特正交化

如一種由線性無關的向量組 構建成同維的兩兩正交的向量組的一種方法。

構建步驟：

Step1：構建兩兩正交的向量組

Step2：對單位化后的即是所求

上述過程又叫做對線性無關的向量組(向量空間V里的一個基)的規范正交化。

正交矩陣

n階矩陣A滿足如下條件

則稱為正交矩陣，或簡稱為正交陣。向量方式表示見下：

可簡寫成 ? ?這里不難發現i和j相當的地方元素皆為1，不等的地方都是0，即對于單位矩陣E。

進而得到結論：方陣A是正交陣的充要條件是A的列向量都是單位向量，且兩兩相交。

（將方陣正交陣的判定條件轉為每列是否是單位向量、兩兩向量是否正交）。

幾點性質：

1 如果A是正交矩陣，那么? 也都是正交陣且|A|=1或者|A|=-1。

2 如果A和B都是正交矩陣，那么AB也是正交矩陣。

?特征值與特征向量

針對n階的矩陣A，如果數λ? 和n維非零列向量x有如下關系：

Ax=λ? x 則稱λ? 是矩陣A的特征值，非零向量x稱為該特征值對應? 的特征向量。

上式子可變換成 (A-λE）X=0? ，由齊次方程組的性質則知 |A-λE? |=0

特征方程與特征多項式

由特征值的定義結合齊次方程組的性質則知 |A-λE? |=0，即有如下展開式：

這個以λ? 為未知數的一元n次方程叫做矩陣A的特征方程，

|A-λE? |是λ? 的n次多項式，記作f(λ? ),稱為矩陣A的特征多項式。

這里不難發現:

即特征值之和等于行列式對角線的和，特征值的積等于行列式的值。

相似矩陣

設A，B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P使得

則稱B是A的相似矩陣或者A與B相似。對A進行運算稱為對A進行相似變換。可逆矩陣P稱為A變成B的相似變換矩陣。

若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項式相同，A與B的特征值也相同。

如果n階矩陣A與對角陣? 相似，

則? 即是A的n個特征值。

矩陣對角化

對n階矩陣A找一個相似變換矩陣P使得? 的過程叫做矩陣的對角化。

n階矩陣A與對角陣相似（A能對角化）的充要條件是A有n個線性無關的特征向量。

如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角型相似。

對稱矩陣對角化

• 如果是對稱矩陣A的兩個特征值，? 是對應的特征向量，若? 則 ?正交。
• 設A為n階對稱陣，則必有正交陣P使得?其中?? 是以A的n個特征值為對角元的對角陣。
• 設A為m階對稱陣，λ是A的特征方程的k重根，則矩陣A-λE的秩R(A-λE)為n-k，對應的特征值λ恰有k個線性無關的特征向量。

二次型

含n個變量的二次齊次函數，表達式見下

稱為二次型。

任給一個二次型就能唯一確定一個對稱陣。反之任給一個對稱陣也能唯一確定一個二次型。對稱陣A叫做二次型f的矩陣，也把f叫做對稱陣A的二次型。對稱陣A的秩即叫做二次型f的秩。

二次型的標準形

僅含有平方項的二次型稱為二次型的標準形。

矩陣合同

對于n階矩陣A和B，如果有可逆矩陣C使得則稱對稱陣A與B合同。

任給二次型? 總有正交變換x=Py，使得f化為標準形

? 其中?是矩陣的特征值。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数之相似矩阵与二次型基础点的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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