? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 線性代數之矩陣偏導續

矩陣偏導

針對y或者f(x)是元素，x是矩陣的情況，則元素對矩陣的求導形式如下：

那么由這個定義則有：

證明有兩種方法：一種來源于矩陣偏導的定義，一種是借助矩陣跡的性質。

?借助定義

通過多變量矩陣偏導的定義來闡述，這里因為是對X的轉置求偏導，所以定義里的偏導的每個分量都相應的做了轉置，即是相當于對X求偏導時轉置了。進而由矩陣偏導的定義得最終的結果a的轉置。

?借助矩陣跡

矩陣跡的性質

矩陣的跡即矩陣主對角線之和，而且它有如下的性質：

因為這里f(x)是個標量，其定義是

這與矩陣的跡 不謀而合。

矩陣偏導結論

結論，這里不難發現：

針對多變量的標量函數 則 這里A和x可以都是矩陣。

完整證明

所以上述的證明將借助矩陣跡的性質，完整的證明見下：

Step 1 定義

Step 2 帶入f? ? ?

Step 3 f是標量，直接轉為矩陣跡??????????? ?

Step 4 由矩陣性質3(矩陣乘交換跡不變)??????????????? ??

Step 5 由矩陣性質6(矩陣轉置跡不變)??

注: 這里應用到矩陣乘和轉置的性質：

Step 6 由矩陣轉置的性質，則有??????????

Step 7? 此時Step6的形式是否和一般式?神似？而。

注：這里表達式整理成了標準形式（只不過這里的“x”是）。

所以最終得到結果

總結

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