云漫圈 | 有趣的海盗问题 （完整版）
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作者：小灰
來源：程序員小灰
小灰發(fā)布的關(guān)于海盜問題的漫畫，得到了大家的熱烈討論，很感謝大家的支持。這一次，小灰做了如下更新：
1.修正了小灰面試階段的一個數(shù)字錯誤
2.補充了6個海盜和7個海盜局面下，最優(yōu)的分配方式
—————? 第二天? —————
海盜分金幣問題：
有5個海盜，獲得了100枚金幣，于是他們要商量一個方法來分配金幣。商議方式如下：
1. 由5個海盜輪流提出分配方案。
2. 如果超過半數(shù)海盜（包括提出者）同意該方案，則按照該方案分配。
3. 如果同意該方案的人數(shù)（包括提出者）小于等于半數(shù)，則提出者要被扔到海里喂魚，剩下的海盜繼續(xù)商議分配。
4. 海盜們都是絕對理性的，以自己盡可能多獲得金幣為目的。但是在收益相等的情況下，會傾向把提出者扔到海里。
問：第一個海盜應(yīng)該提出怎樣的分配方案，才能保證自己既不被扔到海里，又能使自己利益最大化？
舉一個栗子：
此時第一個海盜來提議分配方案，他說：
我要100枚金幣，你們其他人一個金幣也沒有！
顯然，其他小伙伴一致反對，結(jié)果第一個提出者被扔到了海里。
接下來輪到第二個海盜提出分配方案，他說：
我只要1個金幣，剩下3個小伙伴每人33個金幣！
第三個海盜反對，剩下兩個小伙伴同意，同意者超過了半數(shù)（4 : 1），于是按照這個方法執(zhí)行了分配。
————————————
如何利用遞歸思想來簡化問題呢？讓我們來詳細分析一下，后文把五個海盜簡稱為老一、老二、老三、老四、老五。
老一在提出分配方案的時候，不妨這樣思考：
如果我被扔到海里了，剩下4個海盜，此時老二的最優(yōu)分配方案是什么呢？
我只要在老二的分配方案上稍微增加一點，就能贏得更多的支持。
老二在提出分配方案的時候，也會這樣思考：
如果我被扔到海里了，剩下3個海盜，此時老三的最優(yōu)分配方案是什么呢？
我只要在老三的分配方案上稍微增加一點，就能贏得更多的支持。
老三在提出分配方案的時候，還是會這樣思考：
如果我被扔到海里了，剩下2個海盜，此時老四的最優(yōu)分配方案是什么呢？
我只要在老四的分配方案上稍微增加一點，就能贏得更多的支持。
整個遞歸過程，就像下圖一樣：
這個遞歸過程到什么時候截止呢？剩下兩個人為止。
想想看，當剩下兩個人的時候，是什么情形？
此時老四沒有任何選擇！無論他如何分配，哪怕把100枚金幣都給老五，老五仍然可以反對，導(dǎo)致老四被扔到海里，金幣全歸老五所有。
由此，老三心想：老四沒有最優(yōu)決策，所以無論我提出什么要求，老四都一定會同意，而老五一定不同意。
由于只要超過半數(shù)同意就可以執(zhí)行分配，所以老三的最優(yōu)策略如下：
接下來，老二暗自尋思：如果沒有我，老三能獲得100枚金幣，所以無論如何不會同意我。但我可以設(shè)法“籠絡(luò)”老四和老五，形成 3 : 1 的局面。
在老三的“淫威”下，他們原本一個金幣都得不到。我給他們一人一枚金幣，好過由老三來分配，所以他們肯定會同意。
因此，老二的最優(yōu)策略如下：
終于輪到老一了，老一心里琢磨：如果沒有我，老二能獲得98枚金幣，我總不能分給他多于98枚，索性放棄他，只要剩下三人中籠絡(luò)到兩人，形成 3 : 2 的局面即可。
要籠絡(luò)誰呢？以老二的策略，老三得不到金幣，所以老三最好“伺候”。我給老三1枚，老三一定同意。
至于老四和老五，本來可以得到1枚，所以我必須比老二給的多，才能贏得支持。但我又沒必要同時籠絡(luò)他倆，要么給老四兩枚金幣，放棄老五，要么給老五兩枚金幣，放棄老四。
因此，老一的最優(yōu)策略如下：
由于海盜數(shù)目增加到7人，原本的老大順延成為老三，原本的老二順延成為老四......大家注意這里不要混淆。
如何把兩種分配結(jié)果進行聚合呢？
在剩余5個海盜的情況下，要么老六得到兩枚金幣，老七沒有金幣；要么老六沒有金幣，老七得到兩枚金幣。從概率學(xué)的角度來分析，這兩種情況發(fā)生的幾率各占50%，所以老六和老七的平均收益都是1枚金幣。
這樣一來，老二就變得容易分析了。老二想要形成 4:2 的局面，他該怎么分配呢？
如果沒有自己，老三可以得到97枚，所以老三直接放棄掉。
剩余5個海盜時，老四得不到金幣，所以給老四一枚就可以拉攏，很好伺候。
剩余5個海盜時，老五、老六、老七的平均收益都是1枚，但我們只要拉攏其中兩人就行。所以其中一人沒有金幣，另外兩人各自給兩枚。這樣就形成了一個排列組合：
2， 2， 0
2， 0， 2
0， 2， 2
因此，老二自己保留的金幣數(shù)量是 100 - 2 - 2 - 1 =?95。完整的分配方案有3種，如下圖所示：
接下來，為了分析老大的策略，我們?nèi)匀恍枰焉厦嫒N情況聚合一下。
對于老五、老六、老七，他們各自有三分之二的幾率得到兩枚金幣，有三分之一的幾率得不到金幣。所以他們的收益平均值是 2 * 2/3 =?1.33?枚金幣。
這樣一來，老大也變得容易分析了。老大想要形成 4:3 的局面，他該怎么分配呢？
如果沒有自己，老二可以得到95枚，所以老二直接放棄掉。
剩余6個海盜時，老三得不到金幣，所以給老三一枚就可以拉攏，很好伺候。
剩余6個海盜時，老四的收益是1枚，老五、老六、老七的平均收益是1.33枚，但無論1枚還是1.33枚，給他們兩枚金幣都是可以拉攏的。我們只要拉攏其中兩人就行，所以其中兩人沒有金幣，另外兩人各自給兩枚。這樣又形成了一個排列組合：
2， 2， 0，?0
2， 0， 2，?0
2， 0， 0， 2
0， 2， 2，?0
0， 2， 0， 2
0， 0， 2， 2
因此，老一自己保留的金幣數(shù)量是 100 - 2 - 2 - 1 =?95。完整的分配方案有6種，比較復(fù)雜，這里就不用圖片表示了，直接列出表格：
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