漫画：如何实现大整数相乘？（上）
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前一段時(shí)間，小灰發(fā)布了一篇有關(guān)大整數(shù)相加的漫畫(huà)，沒(méi)看過(guò)的小伙伴可以先看一看：
漫畫(huà)：如何實(shí)現(xiàn)大整數(shù)相加？
那么，大整數(shù)相乘又是如何實(shí)現(xiàn)的呢？
起初，小灰認(rèn)為只要按照大整數(shù)相加的思路稍微做一下變形，就可以輕松實(shí)現(xiàn)大整數(shù)相乘。但是隨著深入的學(xué)習(xí)，小灰才發(fā)現(xiàn)事情并沒(méi)有那么簡(jiǎn)單......
—————? 第二天? —————
怎樣列出這個(gè)乘法豎式呢？以 93281 X 2034 為例，豎式如下：
在程序中，我們可以利用int型數(shù)組，把兩個(gè)大整數(shù)按位進(jìn)行存儲(chǔ)，再把數(shù)組中的元素像小學(xué)豎式那樣逐個(gè)進(jìn)行計(jì)算。
這個(gè)乘法豎式的計(jì)算過(guò)程可以大體分為兩步：
1.整數(shù)B的每一個(gè)數(shù)位和整數(shù)A所有數(shù)位依次相乘，得到中間結(jié)果。
2.所有中間結(jié)果相加，得到最終結(jié)果。
/**
* 大整數(shù)求乘積
* @param bigNumberA ?大整數(shù)A
* @param bigNumberB ?大整數(shù)B
*/
public static String multiply(String bigNumberA, String bigNumberB) {
? ?//1.把兩個(gè)大整數(shù)用數(shù)組逆序存儲(chǔ)，數(shù)組長(zhǎng)度等于兩整數(shù)長(zhǎng)度之和
? ?int lengthA = bigNumberA.length();
? ?int lengthB = bigNumberB.length();
? ?int[] arrayA = new int[lengthA];
? ?for(int i=0; i< lengthA; i++){
? ? ? ?arrayA[i] = bigNumberA.charAt(lengthA-1-i) - '0';
? ?}
? ?int[] arrayB = new int[lengthB];
? ?for(int i=0; i< lengthB; i++){
? ? ? ?arrayB[i] = bigNumberB.charAt(lengthB-1-i) - '0';
? ?}
? ?//2.構(gòu)建result數(shù)組，數(shù)組長(zhǎng)度等于兩整數(shù)長(zhǎng)度之和
? ?int[] result = new int[lengthA+lengthB];
? ?//3.嵌套循環(huán)，整數(shù)B的每一位依次和整數(shù)A的所有數(shù)位相乘，并把結(jié)果累加
? ?for(int i=0;i<lengthB;i++) {
? ? ? ?for(int j=0;j<lengthA;j++) {
? ? ? ? ? ?//整數(shù)B的某一位和整數(shù)A的某一位相乘
? ? ? ? ? ?result[i+j] += arrayB[i]*arrayA[j];
? ? ? ? ? ?//如果result某一位大于10，則進(jìn)位，進(jìn)位數(shù)量是該位除以10的商
? ? ? ? ? ?if(result[i+j] >= 10){
? ? ? ? ? ? ? ?result[i+j+1] += result[i+j]/10;
? ? ? ? ? ? ? ?result[i+j] = result[i+j]%10;
? ? ? ? ? ?}
? ? ? ?}
? ?}
? ?//4.把result數(shù)組再次逆序并轉(zhuǎn)成String
? ?StringBuilder sb = new StringBuilder();
? ?//是否找到大整數(shù)的最高有效位
? ?boolean findFirst = false;
? ?for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {
? ? ? ?if(!findFirst){
? ? ? ? ? ?if(result[i] == 0){
? ? ? ? ? ? ? ?continue;
? ? ? ? ? ?}
? ? ? ? ? ?findFirst = true;
? ? ? ?}
? ? ? ?sb.append(result[i]);
? ?}
? ?return sb.toString();
}
public static void main(String[] args) {
? ?String x = "3338429042340042304302404";
? ?String y = "12303231";
? ?System.out.println(multiply(x, y));
}
————————————
下面，我們的推導(dǎo)會(huì)有一些燒腦，請(qǐng)大家坐穩(wěn)扶好~~
大整數(shù)從高位到低位，被平分成了兩部分。設(shè)整數(shù)1的高位部分是A，低位部分是B；整數(shù)2的高位部分是C，低位部分是D，那么有如下等式：
如果把大整數(shù)的長(zhǎng)度抽象為n，那么：
因此，整數(shù)1與整數(shù)2 的乘積可以寫(xiě)成下面的形式：
如此一來(lái)，原本長(zhǎng)度為n的大整數(shù)的1次乘積，被轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)度為n/2的大整數(shù)的4次乘積（AC，AD，BC，BD）。
什么是master定理呢？
master定理的英語(yǔ)名稱(chēng)是master theorem，它為許多由分治法得到的遞推關(guān)系式提供了漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度分析。
設(shè)常數(shù)a >= 1，b > 1，如果一個(gè)算法的整體計(jì)算規(guī)模 T(n)?=??a T(n / b) + f(n)，那么則有如下規(guī)律：
假設(shè)兩個(gè)長(zhǎng)度為n的大整數(shù)相乘，整體運(yùn)算規(guī)模是T(n) 。
根據(jù)剛才得到的結(jié)論，兩個(gè)大整數(shù)相乘被拆分成四個(gè)較小的乘積：
所以在第一次分治時(shí)，T(n)和T(n/2)有如下關(guān)系：
T(n) = 4T(n/2) + f(n)
其中f(n)是4個(gè)乘積結(jié)果相加的運(yùn)算規(guī)模，f(n)的漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度很明顯是O(n)。
把這個(gè)關(guān)系帶入到master定理的公式 T(n)?=??a T(n / b) + f(n) 當(dāng)中，
此時(shí)?a=4， b=2。
此時(shí)，把a(bǔ)和b的值，以及f(n)的時(shí)間復(fù)雜度帶入到master定理的第一個(gè)規(guī)律，也就是下面的規(guī)律：
發(fā)現(xiàn)正好符合條件。
怎么符合呢？推導(dǎo)過(guò)程如下：
所以我們的平均時(shí)間復(fù)雜度是：
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的漫画：如何实现大整数相乘？（上）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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