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前一段時間，小灰發布了一篇有關大整數相加的漫畫，沒看過的小伙伴可以先看一看：

漫畫：如何實現大整數相加？

那么，大整數相乘又是如何實現的呢？

起初，小灰認為只要按照大整數相加的思路稍微做一下變形，就可以輕松實現大整數相乘。但是隨著深入的學習，小灰才發現事情并沒有那么簡單......

—————? 第二天? —————

怎樣列出這個乘法豎式呢？以 93281 X 2034 為例，豎式如下：

在程序中，我們可以利用int型數組，把兩個大整數按位進行存儲，再把數組中的元素像小學豎式那樣逐個進行計算。

這個乘法豎式的計算過程可以大體分為兩步：

1.整數B的每一個數位和整數A所有數位依次相乘，得到中間結果。

2.所有中間結果相加，得到最終結果。

/**

* 大整數求乘積

* @param bigNumberA ?大整數A

* @param bigNumberB ?大整數B

*/

public static String multiply(String bigNumberA, String bigNumberB) {

? ?//1.把兩個大整數用數組逆序存儲，數組長度等于兩整數長度之和

? ?int lengthA = bigNumberA.length();

? ?int lengthB = bigNumberB.length();

? ?int[] arrayA = new int[lengthA];

? ?for(int i=0; i< lengthA; i++){

? ? ? ?arrayA[i] = bigNumberA.charAt(lengthA-1-i) - '0';

? ?}

? ?int[] arrayB = new int[lengthB];

? ?for(int i=0; i< lengthB; i++){

? ? ? ?arrayB[i] = bigNumberB.charAt(lengthB-1-i) - '0';

? ?}

? ?//2.構建result數組，數組長度等于兩整數長度之和

? ?int[] result = new int[lengthA+lengthB];

? ?//3.嵌套循環，整數B的每一位依次和整數A的所有數位相乘，并把結果累加

? ?for(int i=0;i<lengthB;i++) {

? ? ? ?for(int j=0;j<lengthA;j++) {

? ? ? ? ? ?//整數B的某一位和整數A的某一位相乘

? ? ? ? ? ?result[i+j] += arrayB[i]*arrayA[j];

? ? ? ? ? ?//如果result某一位大于10，則進位，進位數量是該位除以10的商

? ? ? ? ? ?if(result[i+j] >= 10){

? ? ? ? ? ? ? ?result[i+j+1] += result[i+j]/10;

? ? ? ? ? ? ? ?result[i+j] = result[i+j]%10;

? ? ? ? ? ?}

? ? ? ?}

? ?}

? ?//4.把result數組再次逆序并轉成String

? ?StringBuilder sb = new StringBuilder();

? ?//是否找到大整數的最高有效位

? ?boolean findFirst = false;

? ?for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {

? ? ? ?if(!findFirst){

? ? ? ? ? ?if(result[i] == 0){

? ? ? ? ? ? ? ?continue;

? ? ? ? ? ?}

? ? ? ? ? ?findFirst = true;

? ? ? ?}

? ? ? ?sb.append(result[i]);

? ?}

? ?return sb.toString();

}

public static void main(String[] args) {

? ?String x = "3338429042340042304302404";

? ?String y = "12303231";

? ?System.out.println(multiply(x, y));

}

————————————

下面，我們的推導會有一些燒腦，請大家坐穩扶好~~

大整數從高位到低位，被平分成了兩部分。設整數1的高位部分是A，低位部分是B；整數2的高位部分是C，低位部分是D，那么有如下等式：

如果把大整數的長度抽象為n，那么：

因此，整數1與整數2 的乘積可以寫成下面的形式：

如此一來，原本長度為n的大整數的1次乘積，被轉化成了長度為n/2的大整數的4次乘積（AC，AD，BC，BD）。

什么是master定理呢？

master定理的英語名稱是master theorem，它為許多由分治法得到的遞推關系式提供了漸進時間復雜度分析。

設常數a >= 1，b > 1，如果一個算法的整體計算規模 T(n)?=??a T(n / b) + f(n)，那么則有如下規律：

假設兩個長度為n的大整數相乘，整體運算規模是T(n) 。

根據剛才得到的結論，兩個大整數相乘被拆分成四個較小的乘積：

所以在第一次分治時，T(n)和T(n/2)有如下關系：

T(n) = 4T(n/2) + f(n)

其中f(n)是4個乘積結果相加的運算規模，f(n)的漸進時間復雜度很明顯是O(n)。

把這個關系帶入到master定理的公式 T(n)?=??a T(n / b) + f(n) 當中，

此時?a=4， b=2。

此時，把a和b的值，以及f(n)的時間復雜度帶入到master定理的第一個規律，也就是下面的規律：

發現正好符合條件。

怎么符合呢？推導過程如下：

所以我們的平均時間復雜度是：

—————END—————

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的漫画：如何实现大整数相乘？（上）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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