一、問題描述

如右圖所示的三自由度機(jī)械臂，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2相互垂直，關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3相互平行。如圖所示，所有關(guān)節(jié)均處于初始狀態(tài)。

要求:

(1) 定義并標(biāo)注出各關(guān)節(jié)的正方向；

(2) 定義機(jī)器人基坐標(biāo)系｛0｝及連桿坐標(biāo)系｛1｝，｛2｝，｛3｝；

(3) 求變換矩陣 , , ；

(4) 根據(jù)末端腕部位置 (x, y, z) 返求出對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié) ， ， ；

(5) 利用軟件繪制出機(jī)器人模型的三維點(diǎn)線圖，并控制機(jī)器人腕部沿半徑r=0.1的圓弧運(yùn)動(dòng).

圖1 3R機(jī)器人示意圖

二、任務(wù)求解

2.1建立坐標(biāo)系

2.2變換矩陣

2.2.1變換求解

（1）連桿坐標(biāo)系｛1｝——基坐標(biāo)系｛0｝

原點(diǎn)重合，可繞z軸任意旋轉(zhuǎn)

（2）連桿坐標(biāo)系｛2｝——連桿坐標(biāo)系｛1｝

先繞x軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞新得到的y軸旋轉(zhuǎn)90°，然后沿新得到的y軸平移 ，最后得到的坐標(biāo)系可繞z軸任意旋轉(zhuǎn)

（3）連桿坐標(biāo)系｛3｝——連桿坐標(biāo)系｛2｝

繞z軸旋轉(zhuǎn)-90°，再沿新得到的y軸平移 ，最后得到的坐標(biāo)系可繞z軸任意旋轉(zhuǎn)

2.2.2物理意義求解

變換矩陣的前三列，每列值對(duì)應(yīng)的數(shù)為變換坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸x、y、z在基坐標(biāo)系中的坐標(biāo)位置，第四列為變換坐標(biāo)系的原點(diǎn)在基坐標(biāo)系中的坐標(biāo)位置，第四行為齊次補(bǔ)行數(shù)據(jù)，則可根據(jù)坐標(biāo)系的位置直接列出下式：

可見，兩種方式的結(jié)果表達(dá)式一致。

2.2.3變換矩陣終解

2.3逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

2.3.1矩陣逆推導(dǎo)

由連桿坐標(biāo)系｛3｝到基座坐標(biāo)系｛0｝的齊次矩陣可以表示為

末端執(zhí)行器的位置在基座坐標(biāo)系｛0｝中的描述為

末端執(zhí)行器的位置在連桿坐標(biāo)系｛3｝中的描述為

關(guān)系為：

根據(jù)矩陣對(duì)應(yīng)元素相等，由MATLAB計(jì)算可得可得下面等式：

x=-(7*cos(a2)*sin(a1))/25-(7*cos(a2)*sin(a1)*sin(a3))/20(7*cos(a3)*sin(a1)*sin(a2))/20y=(7*cos(a1)*cos(a2))/25+(7*cos(a1)*cos(a2)*sin(a3))/20+(7*cos(a1)*cos(a3)*sin(a2))/20z=(7*sin(a2))/25 + (7*sin(a2)*sin(a3))/20 - (7*cos(a2)*cos(a3))/20 + 47/100

由

則：

由對(duì)應(yīng)元素相等，得：

(x*cos(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2) + (y*sin(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2)=0(y*cos(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2) - (x*sin(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2)=(7*cos(a2))/25+(7*cos(a2)*sin(a3))/20+(7*cos(a3)*sin(a2))/20z=(7*sin(a2))/25 + (7*sin(a2)*sin(a3))/20 - (7*cos(a2)*cos(a3))/20 + 47/100

綜上可得，

2.3.2幾何推導(dǎo)

在x0y平面，將末端執(zhí)行器的軌跡投影到該平面，藍(lán)色表示原位置，橘色代表移動(dòng)后的位置，黑色坐標(biāo)系為基坐標(biāo)系，如下圖：

由圖易見， 為末端執(zhí)行器投影到xoy平面x與y的夾角，（逆時(shí)針為正）,

在y0z平面，將末端執(zhí)行器的軌跡投影到該平面，藍(lán)色表示原位置，橘色代表移動(dòng)后的位置，黑色坐標(biāo)系為基坐標(biāo)系，如下圖：

將末端執(zhí)行器的軌跡投影到下圖所示平面，藍(lán)色表示原位置，橘色代表移動(dòng)后的位置，黑色坐標(biāo)系為基坐標(biāo)系，如下圖：

構(gòu)建直角三角形，可得：

綜上，得各關(guān)節(jié)角與坐標(biāo)位置的關(guān)系為：

三、D-H模型法求解

3.1坐標(biāo)系建立

0號(hào)桿件固連在基座上，建立基坐標(biāo)系

3.2 D-H參數(shù)

3.3各關(guān)節(jié)變換矩陣

若已知四個(gè)參數(shù)就完全確定了兩連桿之間的相對(duì)關(guān)系。對(duì)此，我們建立基坐標(biāo)系和連桿運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)可以確定以下的齊次矩陣

即先繞x軸旋轉(zhuǎn)，然后沿x軸移動(dòng)，再沿基坐標(biāo)系的z軸移動(dòng)d，最后繞z軸旋轉(zhuǎn)

將參數(shù)代入上式，由此可以得到各關(guān)節(jié)變換矩陣

3.4求逆變換

同2.3.1

四、軟件仿真

4.1程序代碼

用軟件python(x,y)編寫代碼，如下：

4.2仿真結(jié)果

圖7 仿真結(jié)果

總結(jié)

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