整數(shù)的表示和運算我們已經(jīng)講完了，在實際應(yīng)用中，整數(shù)能夠解決我們大部分問題。但是某些需要精確表示的數(shù)，比如某件商品的價格，某兩地之間的距離等等，我們?nèi)绻谜麛?shù)表示將會有很大的出入，這時候浮點數(shù)就產(chǎn)生了。

在 20世紀80年代以前，每個計算機廠商都設(shè)計了自己表示浮點數(shù)的規(guī)則，以及對浮點數(shù)執(zhí)行運算的細節(jié)，這對于應(yīng)用程序在不同機器上的移植造成了巨大的困難。而在這之后，也就是 1985年左右，IEEE 標準產(chǎn)生了，這是一個仔細制定的表示浮點數(shù)及其運算的標準，現(xiàn)在的計算機浮點數(shù)也都是采用這個標準。

浮點數(shù)不僅僅是為了讓數(shù)值的表示更加精確，也是為了表示一些整數(shù)無法達到的數(shù)字，比如一些接近于0的數(shù)字，或者一些非常大的數(shù)值。因此浮點數(shù)對于計算機的意義是非常大的。

1、二進制小數(shù)

前面這篇博客 進制間的轉(zhuǎn)換 我們已經(jīng)講過了各個進制數(shù)的表示。現(xiàn)在我們復(fù)習(xí)一下：

進位計數(shù)制的要素：

①、數(shù)碼：用來表示進制數(shù)的元素。比如二進制數(shù)的數(shù)碼為：0,1。十進制數(shù)的數(shù)碼為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。十六進制數(shù)的數(shù)碼為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A,B,C,D,E,F

②、基數(shù)：數(shù)碼的個數(shù)。比如二進制數(shù)的基數(shù)為2。十進制數(shù)的基數(shù)為10。十六進制數(shù)的基數(shù)為 16.

③、位權(quán)：數(shù)制中每一固定位置對應(yīng)的單位值稱為位權(quán)。例如十進制第2位的位權(quán)為101即10，第3位的位權(quán)為102即100；而二進制第1位的位權(quán)為20即1，第3位的位權(quán)為4，對于 N進制數(shù)，整數(shù)部分第 i位的位權(quán)為N(i-1)，而小數(shù)部分第j位的位權(quán)為N-j。

那么我們可以說：每個數(shù)碼所表示的數(shù)值=該數(shù)碼值 * 所處位置的位權(quán)。

比如十進制數(shù)：(123.45)10＝1×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-2

二進制數(shù)：(1010)2 =l× 23+0 × 22+l× 21+0 × 20=(10)10

十六進制數(shù)：(BAD)16 =11× 162+10×161+13×160=(2989)10

二進制小數(shù)(10010.1110)2 = 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2-1 + 1 * 2-2 + 1 * 2-3 + 0 * 2-4 = 16 + 2 + 1/2 + 1/4 + 1/8

總結(jié)來說

十進制表示公式：

對于一個形式為bm....b0.b-1....b-n的二進制小數(shù)b來說，二進制表示公式：

從上面的二進制公式我們可以看出，小數(shù)點向左移動一位，則相當于 (∑ 2i * bi)/2。因為每一位的位權(quán)都*2-1；反過來，小數(shù)點向右移動一位，則相當于該數(shù)乘以2。

注意：二進制小數(shù)不像整數(shù)一樣，只要位數(shù)足夠，它就可以表示所有整數(shù)。假設(shè)我們僅考慮有限長度的編碼，那么二進制小數(shù)無法精確的表示任意小數(shù)，比如十進制小數(shù)0.2，我們并不能將其準確的表示為一個二進制數(shù)，只能增加二進制長度提高表示的精度。

2、IEEE 浮點表示

IEEE，電氣和電子工程師協(xié)會( 全稱是Institute of Electrical and Electronics Engineers)是一個國際性的電子技術(shù)與信息科學(xué)工程師的協(xié)會，是目前全球最大的非營利性專業(yè)技術(shù)學(xué)會，IEEE 754 標準是IEEE二進位浮點數(shù)算術(shù)標準(IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic)的標準編號。

IEEE 浮點標準表示： V = (-1)s * M * 2E。

①、s 是符號位，為0時表示正，為1時表示負。

②、M為尾數(shù)，是一個二進制小數(shù)，它的范圍是0至1-ε，或者1至2-ε(ε的值一般是2-k次方，其中設(shè)k > 0)

③、E為階碼，可正可負，作用是給尾數(shù)加權(quán)。

我們將浮點數(shù)的位劃分為三個階段，分別對這些值進行編碼。

一、一個單獨的符號位 s 直接編碼符號 s

二、k 位的階碼字段 exp =ek-1ek-2...e1e0 編碼階碼E

三、n 位小數(shù)字段 frac = fn-1fn-2...f1f0 編碼尾數(shù) M，但是編碼出來的值也依賴于階碼字段的值是否等于0.

一般來說，現(xiàn)在的編譯器都支持兩種浮點格式，一種是單精度，一種是雙精度。單雙精度分別對應(yīng)于編程語言當中的float和double類型。其中float是單精度的，采用32位二進制表示，其中1位符號位，8位階碼以及23位尾數(shù)。double是雙精度的，采用64位二進制表示，其中1位符號位，11位階碼以及52位尾數(shù)。如下圖表示：

如果給定了位 s 的表示，根據(jù) exp 的值，被編碼的值可以分為三種不同的情況(最后一種情況有兩個變種)。下圖是單精度的情況：

下面我們分別講解這三種情況(規(guī)格化、非規(guī)格化、特殊值)

3、規(guī)格化

階碼E 的位模式exp既不全為0(數(shù)值0)，也不全為1(單精度8位1，數(shù)值為255，雙精度11位，數(shù)值為2047)。

這種情況下，階碼字段被解釋為以偏置形式表示的有符號整數(shù)。”偏置”的含義就是在原有的值的基礎(chǔ)上加上一個偏移量，對于階碼位數(shù)為k的情況來說，偏移量Bias = 2k-1-1。假設(shè)e是階碼的無符號數(shù)值，那么真實的階碼E = e - Bias。

單精度階碼位數(shù)為8，則Bias = 127。由于8位階碼下的規(guī)格化的浮點數(shù)的階碼范圍是1至254，因此真實階碼的范圍則為-126至127。

對于小數(shù)字段 frac = fn-1fn-2...f1f0 它的值 0<= f < 1。那么我們可以表示為0. fn-1fn-2...f1f0，也就是二進制小數(shù)點在最高有效位的左邊。當計算浮點數(shù)數(shù)值的時候，會在尾數(shù)值的基礎(chǔ)上加1，也就是真實的尾數(shù)M = 1 + f。因此我們可以把 M 看成一個二進制表達式為 1.fn-1fn-2...f1f0的數(shù)字。相當于我們省掉了1位二進制，形成了浮點數(shù)表示的約定，默認尾數(shù)的值還有一個最高位的1。

4、非規(guī)格化的值

當階碼域為全 0 的時候，所表示的數(shù)就是非規(guī)格化形式。

按照上面規(guī)格化的階碼求值方式來說，非規(guī)格化的階碼值應(yīng)該固定在-Bias這個值上面。不過這里有一個小技巧，我們設(shè)定階碼的值E = 1 - Bias。這樣做是為了能夠平滑的從非規(guī)格化的浮點數(shù)過渡到規(guī)格化的浮點數(shù)，有關(guān)這一點后面我們再詳細看。

對于尾數(shù)的解釋，非規(guī)格化的方式與規(guī)格化不同，它不會對尾數(shù)進行加1的處理，也就是說，真實的尾數(shù)M = f。這是為了能夠表示0這個數(shù)值，否則的話尾數(shù)總是大于1，那么無論如何都將得不到0這個數(shù)值。

非規(guī)格化的浮點數(shù)除了可以表示0以外，它還有一個作用，就是可以表示接近于0的數(shù)值。另外，在浮點數(shù)當中，0的表示有兩種，一種是位表示全部為0，則為+0.0。還有一種則是符號位為1，其余全為0，此時為-0.0。

5、特殊值

特殊值是指階碼全為 1 的時候出現(xiàn)的。

在階碼全為1時，如果尾數(shù)位全為0，則表示無窮大。符號位為0則表示正無窮大，相反則表示負無窮大。倘若尾數(shù)位不全為0時，此時則表示NaN，表示不是一個數(shù)字。一些運算的結(jié)果不能是實數(shù)或者無窮，就會返回NaN值，比如正無窮減正無窮，-1的根號值。在某些應(yīng)用中表示未初始化的值，也很有用處。這一點在Javascript當中有一個函數(shù)isNaN()與這個NaN的含義有點類似，它的作用是用來判斷一個參數(shù)或者表達式是否是一個數(shù)字。

6、數(shù)值范圍

注意：由于浮點數(shù)在正負的區(qū)間內(nèi)是一一對應(yīng)的，因此我們將忽略符號位對取值范圍的影響，我們只討論符號位為0的情況。

非規(guī)格化

①、最小的正非規(guī)格化值的位表示，是由最低有效位為 1 而其他所有位為 0 構(gòu)成。它具有小數(shù)(尾數(shù))值 M=f=2-n 和階碼值 E= -2k-1 +2。因此它的數(shù)字值是 V= 2-n * 22 - 2k-1 = 2-n+2 - 2k-1。

②、最大的非規(guī)格化值，全為0的階碼字段和全為1的小數(shù)字段組成。此時的小數(shù)(尾數(shù))值 M=f=1-2-n，階碼 E= -2k-1 +2，因此此時的值為 (1 - 2-n) * 22 - 2k-1。

規(guī)格化

①、最小的正規(guī)格化值，階碼字段的最低有效位為1，其它位為0,。它的尾數(shù)值 M = 1。階碼值 E= -2k-1 +2。因此數(shù)值 V = 22 - 2k-1

②、最大的規(guī)格化值，符號位為0，階碼最低有效位等于0，其它位等于 1，尾數(shù)為n個1。它的小數(shù)值 f=1-2-n,尾數(shù) M= 2 - 2-n，此時的值為(2 - 2-n) * 2-1 + 2k-1，也可以化簡一下為(1 - 2-n-1) * 22k-1。

下面我們看一下非負浮點數(shù)單雙精度取值范圍：

7、總結(jié)

本篇博客介紹的 IEEE 浮點標準算是難度系數(shù)很高的一節(jié)了，需要花很多時間去理解。下篇博客浮點數(shù)據(jù)類型的舍入以及運算。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

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