勾股數(shù)

是指滿足 的正整數(shù)，它們的通用公式為 ，下邊我從定義出發(fā)，利用平方差公式舉例實(shí)驗(yàn)找規(guī)律，推導(dǎo)出這一通用公式。

由

可知

當(dāng)

為奇數(shù)時(shí) 和 全都是奇數(shù)；當(dāng) 為偶數(shù)時(shí) 和 全都是偶數(shù)。（ ，與 同奇同偶）

當(dāng) 時(shí)， ， ，則 ， ，此時(shí) 是奇數(shù)，令 ，則 ， 。

由此可得到(3,4,5)(5,12,13)(7,24,25)(9,40,41)(11,60,61)(13,84,85)等勾股數(shù)組。

當(dāng) 時(shí)， ， ，則 ， ，此時(shí) 是偶數(shù)，令 ，則 ， 。

由此可得到(4,3,5)(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)(12,35,37)(14,48,50)(16,63,65)等勾股數(shù)組。

當(dāng) 時(shí)， ，則 ， ，此時(shí) 是3的倍數(shù)且是奇數(shù)，令 ，則 ， 。

由此可得到(9,12,15)(15,36,39)(21,72,75)(27,240,243)(33,180,183)(39,252,255))等勾股數(shù)組

...........

發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？讓我們來(lái)一個(gè)更直接的假設(shè)吧：

，設(shè) ，則 ， ，求出 ， ，即 ，這可以解釋為：對(duì)任意正整數(shù)a和不大于a的每一個(gè)正整數(shù)k，總是存在兩個(gè)差為k的有理數(shù)，它們的平方差等于a2。

把

乘上去，得到 ，這就是通用勾股數(shù)公式的形式，完畢。

讓我們從頭分析一下，

這一式子中有三個(gè)變量，一個(gè)約束條件，意味著只有兩個(gè)獨(dú)立變量，取成a和b，那么推導(dǎo)過(guò)程中獨(dú)立變量是怎么變成a和k的呢？就在于令 時(shí)，以k取代了b。然后我們確定這個(gè)等式的通用公式用兩個(gè)獨(dú)立變量就可以表示，因此我們有兩個(gè)獨(dú)立變量后可以暴力表示，再把有理式化成等式，就可以得到一個(gè)通用公式，但這個(gè)過(guò)程中，a的含義不知不覺(jué)發(fā)生了變化。

采用相同步驟，還可以尋找

的通用公式：將式子改寫(xiě)成 ，令 ，則 ， ，解得 ， ，即 ，把 提到分子上后得到了最終公式 ，a、b、k三個(gè)獨(dú)立變量可取任意正整數(shù)。

例如，

時(shí)能得到 ；取(3,2,1) 時(shí)能得到 ，可繼續(xù)化簡(jiǎn)為 ；取(4,2,1) 時(shí)能得到；取(4,2,3) 時(shí)能得到；取(2,2,3) 時(shí)能得到；取(2,2,1) 時(shí)能得到等。

性質(zhì)：1.此公式中a與b地位完全對(duì)等；

2.左邊已經(jīng)有了兩個(gè)偶數(shù)，為了避免剩下的兩個(gè)也是偶數(shù)，a、b、k中必須有1或3個(gè)奇數(shù)。

注意到這個(gè)公式無(wú)法直接生成勾股數(shù)嵌套的最簡(jiǎn)例子

，因?yàn)?3、7這些數(shù)無(wú)法寫(xiě)成三正整數(shù)平方和，只能由(3,4,1)生成它的兩倍式 ，因此這個(gè)公式還是有些粗糙，可能不是最終的通用公式，但已經(jīng)可以用一下了。

3.(a,b,k)的輪換能產(chǎn)生三種不同的三平方和，

例(5,3,1)(5,1,3)(3,1,5)輪換能導(dǎo)出

；

(6,2,1)(6,1,2)(2,1,6)輪換能導(dǎo)出

。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三个数差的平方公式推导过程_勾股数公式的简单推导的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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