作者：張人大

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代碼效率優化

復雜度 -- 一個關于輸入數據量n的函數

• 時間復雜度 -- 昂貴
  • 與代碼的結構設計有著緊密關系
  • 一個順序結構的代碼，時間復雜度是O(1), 即任務與算例個數 n 無關
• 空間復雜度 -- 廉價
  • 與數據結構設計有關

數據結構 -- 考慮如何去組織計算機中一定量的數據。

數據結構連接時空，用空間換取時間。

數據處理 -- 了解問題，明確數據操作方法，設計出更加高效的數據結構類型

• 找到需要處理的數據，計算結果，再把結果保存下來
  • 把結果存到新的內存空間中
  • 把結果存到已使用的內存空間中
• 基本操作只有三個：增，刪，查
  • 增和刪可以細分為數據結構的中間以及最后的增和刪
  • 查找可以細分為按照位置條件查找和數據數值特征查找
  • 所有數據處理都是這些基本操著的組合和疊加
• 只有字典類型數據結構能在 O(1) 的時間復雜度內完成查找動作
• 回歸問題本源，明確數據被處理的動作，來解決數據結構的問題

想了解更多，歡迎關注我的微信公眾號：Renda_Zhang

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線性表

n 個具有相同特性的元素的有限序列，Linear List

數據元素之間的關系是一對一的關系

• 即除了頭尾元素外，其它數據元素都是首尾相接的
  • 這句話只適用大部分線性表，而不是全部
  • 比如，循環鏈表尾的指針指向首位結點

實現方式

• 最常用的是鏈式表達，也叫線性鏈表或鏈表
  • 每個結點包括具體的數據值和指向下一個結點的指針
  • 單向鏈表，循環鏈表，雙向鏈表，雙向循環鏈表
  • 新增和刪除為 O(1) 時間復雜度，而查找為 O(n)
  • 適合數據元素個數不確定，且經常進行新增和刪除
  • 鏈表的翻轉，快慢指針的方法，是必須掌握的內容
• 使用數組實現，也叫順序存儲，順序表

類別

• 一般線性表，可以自由的刪除和添加結點
• 受限線性表，主要包含棧和隊列

棧和隊列是特殊的線性表，本質上他們都可以被看作是一類基本結構

線性表案例

• 鏈表的翻轉
• 快慢指針
  • 查找奇數個數的鏈表的中間位置結點的數值
  • 判斷鏈表是否有環

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棧

后進先出的（限制后的）線性表，Last In First Out, Stack.

新增和刪除操作只能在這個線性表的表尾進行，即在線性表基礎上加了限制

• 新增: 壓棧 push, which adds an element to the collection
• 刪除: 出棧 pop, which removes the most recently added element

功能上，數組或者鏈表可以代替棧，但它們靈活性過高，數據量大時有風險

棧頂和棧底是用來表示這個棧的兩個指針

• 棧頂 (top) 是表尾，用來輸入數據
• 棧底 (bottom) 是表頭

棧有順序表示和鏈式表示，分別稱作順序棧和鏈棧

• 順序棧
  • 可以借助數組來實現
    • 數組的首元素存在棧底，尾元素放在棧頂
    • 定義指針 top 來指示棧頂元素在數組的位置
  • 棧中只有一個元素，則 top = 0
  • 以 top 是否為 -1 來判定是否為空棧
  • 棧頂 top 需小于棧的最大容量
  • 出棧操作，只需要 top - 1 即可
• 鏈式棧
  • 用鏈表的方式實現
    • 通常把棧頂放在單鏈表的頭部
    • top 指針替換了鏈表原來的尾指針，去掉了頭指針
  • 出棧操作，將 top 指針指向棧頂元素的 next 指針即可
• 對比棧和一般線性表
  • 相同點：
    • 操作原理相似
    • 時間復雜度一樣
    • 都依賴當前位置指針進行數據對象的操作
  • 區別：棧只能新增和刪除棧頂的數據結點

棧的案例

• 判斷括號字符串是否合法
• 瀏覽器頁面訪問的后退和前進

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隊列

先進先出 (限制后的) 線性表, First In First Out, Queue

新增和刪除操作只能分別在隊尾和隊頭進行

• 先進 - 隊列的數據新增操作只能在末端進行, add
  • 不允許在隊列的中間某個結點后新增數據
• 先出 - 隊列的數據刪除操作只能在始端進行, remove
  • 不允許在隊列的中間某個結點后刪除數據

隊列適合面對數據處理順序非常敏感的問題

• 可以確定隊列長度最大值, 建議使用循環隊列
• 無法確定隊列長度時, 應考慮使用鏈式隊列

front 和 rear 兩個指針

• 隊頭 (front), 用來刪除數據
• 隊尾 (rear), 用來增加數據

隊列有兩種存儲方式, 即順序隊列和鏈式隊列

• 順序隊列
  • 依賴數組來實現
    • 數據在內存中也是順序存儲
  • 進行新增插入操作時,
    • 尾指針會向后移動
    • 時間復雜度為 O(1)
  • 如果只刪除頭的第一個元素時
    • 每次刪除都需要把整個數組前移
    • 時間復雜度為 O(n)
  • 使用循環隊列
    • 必須有一個固定的長度
    • 實現刪除的時間復雜度為 O(1)
    • 使用 flag 來判斷隊列空或滿
• 鏈式隊列
  • 依賴鏈表來實現
    • 數據依賴每個結點的指針互聯
    • 是離散存儲線性結構
    • 實際上就是尾進頭出的單鏈線性表
    • 在空間上更為靈活
  • 通常會增加一個頭結點
    • 讓 front 指針指向頭結點
    • 頭結點不存儲數據, 只是輔助標識
  • 當進行數據刪除時, 實際刪除的是頭結點的后繼結點
  • 隊列為空時, 頭尾指針都指向頭結點
• 對比隊列和一般線性表
  • 隊列繼承了線性表的優點和不足
  • 是加了限制的線性表

隊列案例

• 約瑟夫環 - Josephus problem

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數組

數組可以看成是線性表的一種推廣，它屬于另外一種基本的數據結構

數組是數據結構中的最基本結構

• 幾乎所有的程序設計語言都把數組類型設定為固定的基礎變量類型。
• 可以把數組理解為一種容器，它可以用來存放若干個相同類型的數據元素。
• 例如：
  • 存放的數據是整數型的數組，稱作整型數組；
  • 存放的數據是字符型的數組，則稱作字符數組；
  • 另外還有一類數組比較特殊，它是數組的數組，也可以叫作二維數組。
• 可以把普通的數組看成是一個向量，那么二維數組就是一個矩陣。
• 數組在內存中是連續存放的，數組內的數據，可以通過索引值直接取出得到。

數組的索引就是對應數組空間

• 在進行新增、刪除、查詢操作的時候，完全可以根據代表數組空間位置的索引值進行。
• 只要記錄該數組頭部的第一個數據位置，然后累加空間位置即可。

數組的基本操作

具有增刪困難、查找容易的特點，可以在任意位置增刪數據，所以數組的增刪操作會更為多樣。

• 新增操作
  • 若插入數據在最后，則時間復雜度為 O(1)
  • 如果中間某處插入數據，則時間復雜度為 O(n)
• 刪除操作
  • 在數組的最后刪除一個數據元素，則時間復雜度是 O(1)
  • 在這個數組的中間某個位置刪除一條數據, 時間復雜度為 O(n)
• 查找操作
  • 如果只需根據索引值進行一次查找，時間復雜度是 O(1)
  • 要在數組中查找一個數值滿足指定條件的數據，則時間復雜度是 O(n)。

對比數組和鏈表

• 鏈表的長度是可變的，數組的長度是固定的，在申請數組的長度時就已經在內存中開辟了若干個空間。如果沒有引用 ArrayList 時，數組申請的空間永遠是我們在估計了數據的大小后才執行，所以在后期維護中也相當麻煩。
• 鏈表不會根據有序位置存儲，進行插入數據元素時，可以用指針來充分利用內存空間。數組是有序存儲的，如果想充分利用內存的空間就只能選擇順序存儲，而且需要在不取數據、不刪除數據的情況下才能實現。

數組的案例

• 基于數組，計算平均值

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字符串

由 n 個字符組成的一個有序整體（ n >= 0 ）

對比字符串和線性表

• 字符串的邏輯結構和線性表極為相似，區別僅在于串的數據對象約束為字符集。
• 字符串的基本操作和線性表有很大差別：
  • 在線性表的基本操作中，大多以“單個元素”作為操作對象；
  • 在字符串的基本操作中，通常以“串的整體”作為操作對象；
  • 字符串的增刪操作和數組很像，復雜度也與之一樣。但字符串的查找操作就復雜多了，它是參加面試、筆試常常被考察的內容。

特殊的字符串

• 空串，指含有零個字符的串。例如，s = ""，書面中也可以直接用 ? 表示。
• 空格串，只包含空格的串。它和空串是不一樣的，空格串中是有內容的，只不過包含的是空格，且空格串中可以包含多個空格。例如，s = " "，就是包含了 3 個空格的字符串。
• 子串，串中任意連續字符組成的字符串叫作該串的子串。
• 原串通常也稱為主串。

字符串的存儲結構與線性表相同，也有順序存儲和鏈式存儲兩種

• 字符串的順序存儲結構，是用一組地址連續的存儲單元來存儲串中的字符序列，一般是用定長數組來實現。有些語言會在串值后面加一個不計入串長度的結束標記符，比如 0 來表示串值的終結。
• 字符串的鏈式存儲結構，與線性表是相似的，但由于串結構的特殊性（結構中的每個元素數據都是一個字符），如果也簡單地將每個鏈結點存儲為一個字符，就會造成很大的空間浪費。因此，一個結點可以考慮存放多個字符，如果最后一個結點未被占滿時，可以使用 "#" 或其他非串值字符補全。
  • 每個結點設置字符數量的多少，與串的長度、可以占用的存儲空間以及程序實現的功能相關。
  • 除了在連接串與串操作時有一定的方便之外，不如順序存儲靈活，在性能方面也不如順序存儲結構好。

字符串的基本操作

• 新增操作
  • 和數組非常相似，都牽涉對插入字符串之后字符的挪移操作，所以時間復雜度是 O(n)。
  • 對于特殊的插入操作時間復雜度也可以降低為 O(1)。例如，在 s1 的最后插入 s2，也叫作字符串的連接。
• 刪除操作
  • 和數組同樣非常相似，也可能會牽涉刪除字符串后字符的挪移操作，所以時間復雜度是 O(n)。
  • 對于特殊的刪除操作時間復雜度也可以降低為 O(1)。例如，在 s1 的最后刪除若干個字符，不牽涉任何字符的挪移。
• 查找操作
  • 子串查找（字符串匹配）
    • 在字符串 A 中查找字符串 B，則 A 就是主串，B 就是模式串。
    • 主串的長度記為 n，模式串長度記為 m，則n>m。
    • 字符串匹配算法的時間復雜度就是 n 和 m 的函數。

字符串匹配算法的案例

• 查找出兩個字符串的最大公共字串

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樹和二叉樹

樹 -- Tree

• 樹結構在存在“一對多”的數據關系中，可被高頻使用，這也是它區別于鏈表系列數據結構的關鍵點。
• 樹是由結點和邊組成的，不存在環的一種數據結構。
• 樹滿足遞歸定義的特性。如果一個數據結構是樹結構，那么剔除掉根結點后，得到的若干個子結構也是樹，通常稱作子樹。
• 樹的結點的層次從根結點算起，根為第一層，根的“孩子”為第二層，根的“孩子”的“孩子”為第三層，依此類推。
• 樹中結點的最大層次數，就是這棵樹的樹深（稱為深度，也稱為高度）。

二叉樹 -- Binary Tree

二叉樹每個結點最多有兩個子結點，分別稱作左子結點和右子結點。

二叉樹中兩個特殊的類型

• 滿二叉樹，定義為除了葉子結點外，所有結點都有 2 個子結點。
• 完全二叉樹，定義為除了最后一層以外，其他層的結點個數都達到最大，并且最后一層的葉子結點都靠左排列。它方便了順序存儲法的存儲方式。

存儲二叉樹的兩種辦法

• 鏈式存儲法，也就是像鏈表一樣，每個結點有三個字段，一個存儲數據，另外兩個分別存放指向左右子結點的指針。
• 順序存儲法，就是按照規律把結點存放在數組里。如圖所示。

樹的基本操作

遍歷

• 前序遍歷，對樹中的任意結點來說，先打印這個結點，然后前序遍歷它的左子樹，最后前序遍歷它的右子樹。
  public static void preOrderTraverse(Node node) {
  if (node == null)
  return;
  System.out.print(node.data + " ");
  preOrderTraverse(node.left);
  preOrderTraverse(node.right);
  }
• 中序遍歷，對樹中的任意結點來說，先中序遍歷它的左子樹，然后打印這個結點，最后中序遍歷它的右子樹。
  public static void inOrderTraverse(Node node) {
  if (node == null)
  return;
  inOrderTraverse(node.left);
  System.out.print(node.data + " ");
  inOrderTraverse(node.right);
  }
• 后序遍歷，對樹中的任意結點來說，先后序遍歷它的左子樹，然后后序遍歷它的右子樹，最后打印它本身。
  public static void postOrderTraverse(Node node) {
  if (node == null)
  return;
  postOrderTraverse(node.left);
  postOrderTraverse(node.right);
  System.out.print(node.data + " ");
  }

二叉樹的增刪查操作很普通，時間復雜度與鏈表并沒有太多差別

二叉查找樹 -- Binary Search Tree, BST

特性

• 在二叉查找樹中的任意一個結點，其左子樹中的每個結點的值，都要小于這個結點的值。
• 在二叉查找樹中的任意一個結點，其右子樹中每個結點的值，都要大于這個結點的值。
• 在二叉查找樹中，會盡可能規避兩個結點數值相等的情況。
• 對二叉查找樹進行中序遍歷，就可以輸出一個從小到大的有序數據隊列。

查找操作 -- 利用了“二分查找”，所消耗的時間復雜度為 O(logn)。

• 首先判斷根結點是否等于要查找的數據，如果是就返回。
• 如果根結點大于要查找的數據，就在左子樹中遞歸執行查找動作，直到葉子結點。
• 如果根結點小于要查找的數據，就在右子樹中遞歸執行查找動作，直到葉子結點。

插入操作

• 插入操作很簡單。從根結點開始，如果要插入的數據比根結點的數據大，且根結點的右子結點不為空，則在根結點的右子樹中繼續嘗試執行插入操作。直到找到為空的子結點執行插入動作。
• 二叉查找樹插入數據的時間復雜度是 O(logn)。這里的時間復雜度更多是消耗在了遍歷數據去找到查找位置上，真正執行插入動作的時間復雜度仍然是 O(1)。

刪除操作

• 情況一，如果要刪除的結點是某個葉子結點，則直接刪除，將其父結點指針指向 null 即可。
• 情況二，如果要刪除的結點只有一個子結點，只需要將其父結點指向的子結點的指針換成其子結點的指針即可。
• 情況三，如果要刪除的結點有兩個子結點，則有兩種可行的操作方式：
  • 第一種，找到這個結點的左子樹中最大的結點，替換要刪除的結點。
  • 第二種，找到這個結點的右子樹中最小的結點，替換要刪除的結點。

樹的案例

字典樹 -- Dictionary Tree

• 第一，根結點不包含字符；
• 第二，除根結點外每一個結點都只包含一個字符；
• 第三，從根結點到某一葉子結點，路徑上經過的字符連接起來，即為集合中的某個字符串。

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哈希表

哈希表 -- Hash Table, 也叫作散列表。

哈希表是一種特殊的數據結構，它與數組、鏈表以及樹等我們之前學過的數據結構相比，有很明顯的區別。

• 線性表中的棧和隊列對增刪有嚴格要求，它們會更關注數據的順序。
• 數組和字符串需要保持數據類型的統一，并且在基于索引的查找上會更有優勢。
• 樹的優勢則體現在數據的層次結構上。
• 哈希表優勢體現在，無論有多少數據，查找、插入、刪除只需要接近常量的時間，即 O(1）的時間級。

核心思想

實現 “地址 = f (關鍵字)” 的映射關系，快速完成基于數據的數值的查找。

哈希函數的設計

直接定制法

哈希函數為關鍵字到地址的線性函數。如，H (key) = a*key + b。 這里，a 和 b 是設置好的常數。

數字分析法

假設關鍵字集合中的每個關鍵字 key 都是由 s 位數字組成（k1,k2,…,Ks），并從中提取分布均勻的若干位組成哈希地址。

平方取中法

如果關鍵字的每一位都有某些數字重復出現，并且頻率很高，我們就可以先求關鍵字的平方值，通過平方擴大差異，然后取中間幾位作為最終存儲地址。

折疊法

如果關鍵字的位數很多，可以將關鍵字分割為幾個等長的部分，取它們的疊加和的值（舍去進位）作為哈希地址。

除留余數法

預先設置一個數 p，然后對關鍵字進行取余運算。即地址為 key mod p。

解決哈希沖突

開放定址法

常用的探測方法是線性探測法。比如有一組關鍵字 {34，35，36，45}，采用的哈希函數為 key mod 11。當插入 34，35，36 時可以直接插入，地址分別為 1、2、3。而當插入 45 時，哈希地址為 45 mod 11 = 1。然而，地址 1 已經被占用，因此沿著地址 1 依次往下探測，直到探測到地址 4，發現為空，則將 45 插入其中。

鏈地址法

將哈希地址相同的記錄存儲在一張線性鏈表中。如果出現沖突，就在對應的位置上加上鏈表的數據結構。

哈希表的基本操作

哈希表中的增加和刪除數據操作，不涉及增刪后對數據的挪移問題

• 如果是采用數組實現就需要考慮數據的挪移問題

哈希表查找的細節過程是：對于給定的 key，通過哈希函數計算哈希地址 H (key)。

• 如果哈希地址對應的值為空，則查找不成功。
• 反之，則查找成功。

哈希表的案例

實時返回用戶的字符串搜索結果

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的有十五个数按由大到小顺序存放在一个数组中_数据结构基础 (代码效率优化, 线性表, 栈, 队列, 数组，字符串，树和二叉树，哈希表)...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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