高斯核函数python代码_单类SVM：SVDD
話接上文(SVM的簡單推導(dǎo))，這篇文章我們來看單類SVM：SVDD?？赡艽蠹視X得很奇怪，我們?yōu)槭裁葱枰獑畏诸惸?#xff1f;有篇博客舉了一個很有意思的例子。
花果山上的老猴子，一生閱猴無數(shù)，但是從來沒有見過其它的物種。有一天，豬八戒來到花果山找它們的大王，老猴子一聲令下，把這個東西給我綁起來！
這里老猴子很清楚的知道這個外來物種不是同類，但是它究竟是什么，不得而知。老猴子見過很多猴，它知道猴子的特征，而外來生物明顯不符合這個特征，所以它就不是猴子。
這就是一個單分類的簡單例子。
而美猴王看到這個場景后，哈哈一笑，把這呆子抬過來！
對比二分類，顯著的區(qū)別就是，二分類不但能得出來這個東西不是猴子，他還能告訴你這個東西叫“呆子”(當(dāng)然我們的美猴王見多識廣，肯定不止是二分類那么簡單了)
今天要介紹的SVDD的全稱是Support vector domain description。首先讓我們簡單了解一下domain description，也就是單分類問題。
單分類問題
不像常見的分類問題，單分類問題的目的并不時將不同類別的數(shù)據(jù)區(qū)分開來，而是對某個類別的數(shù)據(jù)生成一個描述(description)。這里的description比較抽象，可以理解為是樣本空間中的一個區(qū)域，當(dāng)某個樣本落在這個區(qū)域外，我們就認(rèn)為該樣本不屬于這個類別。
單分類方法常用于異常檢測，或者類別極度不平衡的分類任務(wù)中。
當(dāng)我們假設(shè)數(shù)據(jù)服從一個概率分布，我們就可以對這個分布中的參數(shù)進行估計了。對于一個新樣本，如果這個樣本在給定類別的概率分布中的概率小于閾值，就會被判定為異常樣本。
但是這樣的方法存在的問題是，
預(yù)先假定的概率分布對模型性能的影響很大。
當(dāng)特征的維度很大的時候，該方法需要一個很大的數(shù)據(jù)集。
一些低密度區(qū)域的樣本點會被誤判為異常樣本。
另一種思路就是，在樣本空間中為此類數(shù)據(jù)劃定一個大致的邊界。如何劃定這個邊界，就是SVDD要研究的問題啦。
目標(biāo)函數(shù)
假設(shè)我們有$m$個樣本點，分別為$x^{(1)},x^{(2)},\cdots,x^{(m)}$。
我們假設(shè)這些樣本點分布在一個球心為$a$，半徑為$R$的球中。那么樣本$x^{(i)}$滿足
$$
(x^{(i)}-a)^T(x^{(i)}-a)\leq R^2.
$$
引入松弛變量，我們允許部分樣本不再這個球中，那么
$$
(x^{(i)}-a)^T(x^{(i)}-a)\leq R^2+\xi_i,\xi\geq 0.
$$
我們的目標(biāo)是最小球的半徑$R$和松弛變量的值，于是目標(biāo)函數(shù)是
$$
\begin{align}
\min_{a,\xi_i}\ \ & R^2+C\sum_{i=1}^m\xi_i\\
{\rm s.t.}\ \ & (x^{(i)}-a)^T(x^{(i)}-a)\leq R^2+\xi_i, \\
&\xi_i\geq 0,i=1,2,\cdots,m.
\end{align}
$$
其中，$C>0$是懲罰參數(shù)，由人工設(shè)置。
對偶問題
使用拉格朗日乘子法，得到拉格朗日函數(shù)
$$
\begin{align}
L(R,a,\alpha,\xi,\gamma)=& R^2+C\sum_{i=1}^m\xi_i\\
& -\sum_{i=1}^m\alpha_i\left(R^2+\xi_i({x^{(i)}}^Tx^{(i)}-2a^Tx^{(i)}+a^2)\right)-\sum_{i=1}^m \gamma_i\xi_i.
\end{align}
$$
其中，$\alpha_i\ge 0,\gamma_i\ge 0$是拉格朗日乘子。令拉格朗日函數(shù)對$R,a,\xi_i$的偏導(dǎo)為0，得到
$$
\begin{align}
&\sum_{i=1}^m \alpha_i=1,\\
&a=\sum_{i=1}^m \alpha_ix^{(i)},\\
&C-\alpha_i-\gamma_i=0
\end{align}
$$
我們可以將$\alpha_i$看作樣本$x^{(i)}$的權(quán)重。上式表明所有樣本的權(quán)重之和為1，而球心$a$是所有樣本的加權(quán)和。將上式帶入到拉格朗日函數(shù)中，得到原問題的對偶問題
$$
\begin{align}
\max_\alpha\ \ &L(\alpha)=\sum_{i=1}^m\alpha_i{x^{(i)}}^Tx^{(i)}-\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m \alpha_i\alpha_j{x^{(i)}}^Tx^{(j)}\\
{\rm s.t.}\ \ & 0\le\alpha_i\le C,\\
& \sum_{i=1}^m\alpha_i=1,i=1,2,\cdots,m.
\end{align}
$$
當(dāng)通過求解對偶問題得到$\alpha_i$后，可以通過$a=\sum_{i=1}^m \alpha_ix^{(i)}$計算球心$a$。至于半徑$R$，則可以通過計算球與支持向量($\alpha_i< C$)之間的距離得到。當(dāng)$\alpha_i=C$時，意味著樣本$x^{(i)}$位于球的外面。
判斷新樣本是否為異常點
對于一個新的樣本點$z$，如果它滿足下式，那么我們認(rèn)為它是一個異常點。
$$
(z-a)^T(z-a)> R^2.
$$
展開上式，得
$$
z^Tz-2\sum_{i=1}^m \alpha_iz^Tx^{(i)}+\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_j{x^{(i)}}^Tx^{(j)}>R^2.
$$
引入核函數(shù)
正常情況下，數(shù)據(jù)并不會呈現(xiàn)球狀分布，因此有必要使用核函數(shù)的方法提高模型的表達能力。
只需將$\cal K(x^{(i)},x^{(j)})$替換${x^{(i)}}^Tx^{(j)}$即可。于是對偶問題的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>
$$
L(\alpha)=\sum_i \alpha_i\cal K(x^{(i)},x^{(i)})-\sum_i\sum_j \alpha_i\alpha_j\cal K(x^{(i)},x^{(j)}).
$$
判別函數(shù)變?yōu)?/p>
$$
{\cal K}(z,z)-2\sum_i \alpha_i {\cal K}(z,x^{(i)})+\sum_i\sum_j \alpha_i\alpha_j {\cal K}(x^{(i)},x^{(j)})- R^2.
$$
下面考慮核函數(shù)的影響。
多項式核
多項式核函數(shù)的表達式如下
$$
{\cal K}\left({x^{(i)}}^Tx^{(j)}\right)=\left({x^{(i)}}^Tx^{(j)}+1\right)^d.
$$
如下圖所示，多項式核實際上不太適合SVDD。特別是當(dāng)d取值非常大的時候。
高斯核
高斯核函數(shù)的表達式如下
$$
{\cal K}\left({x^{(i)}}^Tx^{(j)}\right)=\exp\left(\frac{-\left(x^{(i)}-x^{(j)}\right)^2}{s^2}\right).
$$
如下圖，相比于多項式核函數(shù)，高斯核函數(shù)的結(jié)果就合理多了?？梢钥吹侥Ｐ偷膹?fù)雜程度隨著$s$的增大而減小。
在python中使用
可通過下面的代碼在python中使用單類SVM
from sklearn.svm import OneClassSVM
參考文獻
Tax D M J, Duin R P W. Support vector domain description[J]. Pattern recognition letters, 1999, 20(11-13): 1191-1199.
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的高斯核函数python代码_单类SVM：SVDD的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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