最近學習的時候遇到有人使用導出代數幾何的語言，于是自己補習了一下，在這里把我領悟到的想法記錄下來。因為初學，所以肯定有些東西沒有把握住正確的觀點，大家看個樂就行~

本文適合于已掌握代數幾何基礎的同學閱讀。

目錄：

鏈復形有幾何解釋嗎？

代數拓撲給我們的啟發：單純方法

“非阿貝爾范疇 的導出范疇”：模型范疇及其同倫范疇

怎么能輕易忘記同倫呢：單純強化范疇

不同的記住同倫的辦法

總結

參考文獻

一、鏈復形有幾何解釋嗎？

在歲月的長河中，概形

的幾何非平凡性，大都可以表述為 上的層的截面函子 到底有多不正合。也即，我們往往考慮 上的層構成的

• 上鏈復形范疇 及其導出范疇
• 上鏈復形之間的態射函子 及其導出函子

其中

是 -模復形，其第 項 ，我們常記 。

例（導出完備化，[StP]091N）：給定交換環

及其主理想 ，對 ，

關于 導出完備 ；

的導出完備化典范同構于 。

可以看到，

關于 導出完備就等價于“ 在主開集 上的導出截面為零”，而對 作導出完備化就好比“把 限制在 的補集上”。

我們不禁發問，復形自身是否具有幾何解釋？

二、代數拓撲給我們的啟發：單純方法

定理（Dold-Kan對應，[StP]019G）：給定阿貝爾范疇

，它的度非負的鏈復形范疇就等價于它的單純對象范疇：

特別地，單純

-模范疇等價于度非負的 -模鏈復形范疇：

其中，一個單純集(simplicial set)

是有限序數范疇 到 的反變函子（見[StP]0169），它由集合 構成， 里的每個元素都被稱為 -單形(simplex)。單純對象的概念和我們在代數拓撲里學單純、奇異同調時給每個拓撲空間 聯系上的它的所有 -單形的直觀一致。如果用這種單純的眼光看世界的話，那么一個單純集就是一個幾何空間！

如此一來，Dold-Kan對應就幫我們完成了任何一個鏈復形的幾何實現：每條

-模鏈復形都聯系到一個單純 -模。

代數幾何研究代數的幾何，在第一節中我們遇到的復形

也理應看作 -代數組成的復形。但是 -代數構成的范疇 不是阿貝爾范疇！我們沒法直接使用Dold-Kan對應給一個由 -代數組成的復形以幾何實現！更別談像 一樣談論它的導出范疇了……

三、“非阿貝爾范疇

的導出范疇”：模型范疇及其同倫范疇

為了對非阿貝爾范疇

做類似于

的事情，我們轉而考慮單純

-代數組成的范疇 ，并把“定義導出范疇”這件事情一般化到 上來。這便是Quillen[Qui]在1967年定義的模型范疇（model category）（見[GJ]第2章）。

在模型范疇

（如： ）中，有一族指定的態射 ，稱為弱等價態射(weak equivalence)（如：擬同構(quasi-isomorphism)）。

模型范疇中的主要研究對象是把它的所有弱等價態射取逆得到的范疇

，稱之為同倫范疇(homotopy category) （如： ）。

我們可以對任一對象（如：

）找到它的一個弱等價替代物（如：投射預解式 ）。

從而模型范疇之間的函子

（如： ）在替代物上的限制

誘導了同倫范疇之間的導出函子

（如： ）。

于是我們想要在

上定義模型范疇結構。

定理（[GS]4.17）：

上有典范模型范疇結構，使得

是模型范疇之間的函子。

其中

是讓一個 -模 張成一個多項式代數 。

到了這一步，我們已經找準了導出代數幾何中的研究對象：單純

-代數，它們構成范疇 。并且其同倫范疇 是單純 -代數的同倫等價類構成的范疇。

四、怎么能輕易忘記同倫呢：單純強化范疇

父母從小就教我們，對自己好的人我們不能忘記！你看同倫讓我們把甜甜圈等同于汽車輪胎，使我們在路過面包店的時候對它們熟視無睹，即省下了錢又減下了肥，同倫對我們這么好同學們怎么能忘記它呢！

也就是說，對于模型范疇

，盡管它自己太復雜，使我們不得不做簡化考慮它的同倫范疇 ，但我們也不能簡化得太多，其同倫范疇理應賦予更多的結構。

比如對于模型范疇

，其同倫范疇 的兩對象 ，我們有態射復形 ，而不簡簡單單只有 。

對應到單純對象那邊，對于模型范疇

，其同倫范疇 的兩對象 ，我們有態射單純集 ，而不簡簡單單只有 。對 也類似。

這個同倫范疇，兩對象不僅僅只是有范疇對象之間的態射，而是有著一個態射空間（mapping space）！這樣的范疇被稱為單純強化范疇（simplicial enriched category），也即范疇里的任意兩個對象

聯系了一個單純集 ，這些單純集之間可以像態射一樣復合。

我們把該同倫范疇里的對象看作“點”；

把兩個點

對應的單純集 的 -單形看作“點之間的路徑”；

把單純集

的 -單形看作“路徑之間的連續變化”；

……

這樣同倫范疇不再僅僅是同倫等價類的全體，而是記錄了所有同倫的一個幾何空間！換句話說，單純強化范疇是單純、同倫的視角下的幾何空間！

定理（Dwyer-Kan局部化，[Ber]第3節）：對任一模型范疇

，存在典范單純強化范疇 ，使得同倫范疇 = 。

這個單純強化范疇就是記錄了所有同倫的“強化版同倫范疇”。

這樣我們可以給出仿射導出概形（affine derived scheme）的定義：

定義（[To]2.2節）：設單純交換環構成的模型范疇為

，其Dwyer-Kan局部化的反范疇 被稱為仿射導出概形范疇，記為 。

五、不同的記住同倫的辦法

事實上，單純強化范疇只是同倫眼光下的一種幾何空間。

我們可以把兩對象

之間的態射空間 加多點要求，比如：它不僅僅是單純集，還是一個Kan復形（Segal范疇）；或者不讓它成為單純集，而是一般的緊生成拓撲空間（拓撲強化范疇）……

一般的同倫眼光下的幾何空間，理應是無窮范疇(infinite category)。無窮范疇就是有對象、有對象之間的態射、有態射之間的態射……而沒有加入一些單純的條件或是復合的限制。

給無窮范疇加一點復合限制，比如

-范疇，所謂的大于 階的態射都可逆。

定理（[Ber]）：單純強化范疇、Segal范疇、拓撲強化范疇，都是

-范疇的具體實現方式。特別地，所有的單純強化范疇構成的模型范疇、所有的Segal范疇構成的模型范疇、所有的拓撲強化范疇構成的模型范疇，三者作為模型范疇等價。

Lurie在他的幾大本著作中選取的

-范疇的表現形式是弱Kan復形。如果用nerve的觀點，一個Kan復形對應著一個 ，一個弱Kan復形對應著一個 強化范疇。一個 -范疇就理應是一個 強化范疇（所有高階態射可逆嘛！）。所以Lurie專注于的 -范疇，其全體構成的模型范疇也與我們之前提到的模型范疇等價！

六、總結

Dold-Kan對應 啟發我們考慮 ；

使我們考慮導出的推廣：模型范疇 及其同倫范疇 ；

考慮模型范疇 的Dywer-Kan局部化 ，它是一個單純強化范疇，它記錄了所有同倫，并且它的同倫等價類就是 ；

仿射導出概形范疇就是 。

七、參考文獻

[StP] The Stacks project authors, The Stacks Project, 2019.

[GJ] Goerss, P., and J.F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory, 1999.

[To] To?n, B., Derived Algebraic Geometry, 2014.

[GS] Goerss, P., and K. Schemmerhorn, Model Categories and Simplicial Methods, 2006.

[Ber] Bergner, J.E, A Survey of (infty,1)-categories, 2006.

[Qui] Quillen, D., Homotolical Algebra, 1967.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的pcdmis怎么导出模型_从代数几何到导出代数几何：复形的几何的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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