加粗樣式## SVD矩陣分解
SVD奇異值分解

優點：簡化數據，去除噪聲，提高算法的結果
缺點：數據的轉換可能難以理解
適用范圍：數值性數據

原始數據data,我們把它分解成3個矩陣。

其中

只有對角元素，是奇異值。奇異值中數值是按從大到小排列的，r個之后數值為0.。 這點高等數學里有。
如果我們把第二個奇異值矩陣中只保留一些值，把其他值全設為0.。從右到左重構數據即得到簡化后的數據。
如奇異值數據中只保留最大2個奇異值，再重構數據。
可以認為原始數據去除了噪聲。

python實現svd

import numpy as np U,sigma,VT=np.linalg.svd([[1,1],[7,7]]) print('U:',U) print('sigma:',sigma) print('VT:',VT)

其中sigma以對角矩陣出現，我們需要記住它其實是個矩陣。

svd重構

import numpy as np def loadExData():return [[1,1,1,0,0],[2,2,2,0,0],[1,1,1,0,0],[5,5,5,0,0],[1,1,0,2,2],[0,0,0,3,3],[0,0,0,1,1]] data=loadExData() U,sigma,VT=np.linalg.svd(data) print('U:',U) print('sigma:',sigma) print('VT:',VT)

可以發現sigma從大到小排列，如果我們只取前面3個奇異值。
則矩陣分解變成

import numpy as np def loadExData():return [[1,1,1,0,0],[2,2,2,0,0],[1,1,1,0,0],[5,5,5,0,0],[1,1,0,2,2],[0,0,0,3,3],[0,0,0,1,1]] data=loadExData() U,sigma,VT=np.linalg.svd(data)#重構實現 sig3=np.mat([[sigma[0],0,0],[0,sigma[1],0],[0,0,sigma[2]]]) #sig3=np.mat(np.eye(3)*sigma[:3]) print('sig3:',sig3) data1=U[:,:3]*sig3*VT[:3,:] print('重構后的數據',data1) print('原始數據維度',np.array(data).shape) print('重構后數據維度',np.array(data1).shape)

sig3=np.mat([[sigma[0],0,0],[0,sigma[1],0],[0,0,sigma[2]]])
sig3=np.mat(np.eye(3)*sigma[:3])

我們如何得知我們需要三個奇異值呀。
把奇異值求取平方和，將奇異值平方和累積到總值的0.9或者其他值即停止累積。即得到我們需要幾個奇異值。

用戶商品推薦

用戶商品推薦在現實生活中有很多應用場景。比如如果你在今日頭條上經常看某一類新聞，然后系統會經常給你推送該類新聞而不是其他類。

推薦算法：分為基于商品和基于用戶。

基于商品：是比較商品之間的相似度，如果你喜歡某類電影，如果有一款新的電影出現啦，你還未看過，系統會計算該部電影與你看過的電影的相似度，如果相似度高則認為該類電影是你喜歡的，會把該類電影推送給你。

基于用戶：計算不同用戶之間的相似度，如果相似度高。會把其他用戶看過的電影而你沒有看過的電影推送給你。

1.相識度公式
歐式距離

我們希望相似度在0到1之間，
可以用相似度=1/(1+距離）

from numpy import linalg as la def ecludSim(inA, inB):return 1.0 / (1.0 + la.norm(inA - inB))

皮爾遜相關系數
皮爾遜公式相比較于歐式距離有個優勢：對數值的大小不敏感。比如一個極端值對某一商品打分為5分，而另一個則打1分，皮爾遜系數會認為兩者是等價的。
皮爾遜系數是-1到1之間。我們希望得到的值是0到1之間。
所以0.5+0.5*皮爾遜系數

因為皮爾遜系數得到的是一個系數矩陣，我們只取一個值就可以啦，所以系數后面有[0][1]

from numpy import linalg as la def pearsSim(inA, inB):# 此時兩個向量完全相關return 0.5 + 0.5 * np.corrcoef(inA, inB, rowvar=0)[0][1]

余弦距離

余弦距離得到的值為-1到1，我們將其映射到0到1

from numpy import linalg as la def cosSim(inA, inB):num = float(inA.T * inB)denom = la.norm(inA) * la.norm(inB)return 0.5 + 0.5 * (num / denom)

2.基于用戶和基于商品方法選擇：

算法復雜度都會隨著數量增加而增加?；谏唐肥巧唐吩黾訌碗s度增加，基于用戶時用戶數量增加而復雜度增加。對于絕大多數商店而言，用戶數遠遠大于商品數，所以本文選擇基于商品。
3.推薦流程

推薦系統的工作流程：給定一個用戶，系統會為此用戶返回N個最好的推薦菜。
（1）：尋找用戶沒有評級打分的菜肴，即在用戶-物品矩陣中的0值。
（2）：在用戶沒有評級的所有物品中，對每個物品預計一個可能的評級分數。這就是說我們認為用戶可能對物品的打分（這就是相似度計算的初衷）
（3）：對這些物品的評分從高到底進行排序，返回前N 個商品。

4.原始數據

""" 函數說明：加載數據,菜肴矩陣 行：代表人 列：代表菜肴名詞 值：代表人對菜肴的評分，0代表未評分 """ def loadExData():return[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],[0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],[0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],[3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],[5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],[4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],[0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],[0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],[0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]

5.尋找兩個用戶都評級的物品

""" Parameters:dataMat - 訓練數據集user - 用戶編號simMeas - 相似度計算方法item - 未評分的物品編號Returns:評分（0~5之間的值） """ def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):#假設user=1# 得到數據集中的物品數目n = np.shape(dataMat)[1]# 初始化兩個評分值simTotal = 0.0ratSimTotal = 0.0# 奇異值分解# 在SVD分解之后，我們只利用包含90%能量值的奇異值，這些奇異值會以Numpy數組形式得以保存U, Sigma, VT = la.svd(dataMat)# 如果要進行矩陣運算，就必須要用這些奇異值構造出一個對角陣Sig4 = np.mat(np.eye(4) * Sigma[: 4])# 利用U矩陣將物品轉換到低維空間中，構建轉換后的物品（物品的4個主要特征）xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.I#shape(11,4)# 遍歷行中的每個物品（對用戶評過分的物品進行遍歷，并將它與其他物品進行比較）for j in range(n):userRating = dataMat[user, j]# 如果某個物品的評分值為0，則跳過這個物品if userRating == 0:continue# 相似度的計算也會作為一個參數傳遞給該函數similarity = simMeas(xformedItems[item, :].T, xformedItems[j, :].T)print('商品 %d 和商品 %d 相似度similarity is: %f' % (item, j, similarity))# 相似度會不斷累加，每次計算時還考慮相似度和當前用戶評分的乘積# similarity 用戶相似度 userRating 用戶評分simTotal += similarityratSimTotal += similarity * userRatingif simTotal == 0:return 0# 通過除以所有的評分和，對上述相似度評分的乘積進行歸一化，使得最后評分在0~5之間，這些評分用來對預測值進行排序else:return ratSimTotal / simTotal

為了說明該函數功能，我們假設當前用戶user=1，未評分商品為0

dataMat=np.mat(loadExData()) #假設當前用戶時1 print('查看用戶1未評級商品：',np.nonzero(dataMat[1, :].A == 0)[1]) # 得到數據集中的物品數目 n = np.shape(dataMat)[1] # 初始化兩個評分值 simTotal = 0.0 ratSimTotal = 0.0 # 奇異值分解 # 在SVD分解之后，我們只利用包含90%能量值的奇異值，這些奇異值會以Numpy數組形式得以保存 U, Sigma, VT = la.svd(dataMat) # 如果要進行矩陣運算，就必須要用這些奇異值構造出一個對角陣 Sig4 = np.mat(np.eye(4) * Sigma[: 4]) # 利用U矩陣將物品轉換到低維空間中，構建轉換后的物品（物品的4個主要特征） xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.I print('降維重構后的數據:',xformedItems)

重構后的數據行為商品，列為商品的幾個特征。
實現降維

# 遍歷行中的每個物品（對用戶評過分的物品進行遍歷，并將它與其他物品進行比較） #假設未評分商品為第0個，開始計算 for j in range(n):userRating = dataMat[1, j]# 如果某個物品的評分值為0，則跳過這個物品if userRating == 0:continue# 相似度的計算也會作為一個參數傳遞給該函數similarity = cosSim(xformedItems[0, :].T, xformedItems[j, :].T)print('商品 %d 和商品 %d 相似度is: %f' % (0, j, similarity))# 相似度會不斷累加，每次計算時還考慮相似度和當前用戶評分的乘積# similarity 用戶相似度 userRating 用戶評分simTotal += similarityratSimTotal += similarity * userRating if simTotal == 0:print('商品0得分：',0)# 通過除以所有的評分和，對上述相似度評分的乘積進行歸一化，使得最后評分在0~5之間，這些評分用來對預測值進行排序 else:print( '商品0得分：',ratSimTotal / simTotal)

通過此方法，我們可以給未知得分的商品0打上分啦。
xformedItems[0, :].T 這里有裝置，我們采用的方法是基于商品。

簡單說下該方法思路：
1.對于一個用戶，找到他未打分的商品，和已打分過的商品。
2.計算未打分商品與已打分商品的相似度，這里的相似度計算輸入的所有用戶對該商品的打分。
3.將相似度乘以那個已打分的商品得分值。
4.求和 歸一化 得到未打分商品的得分。未打分商品的得分主要貢獻來源：未知商品與已打分商品相似度，已打分商品的得分

6.尋找前個未評級商品 推薦給用戶

""" 函數說明：推薦引擎Parameters:dataMat - 訓練數據集user - 用戶編號N- 產生N個推薦結果simMeas - 相似度計算方法estMethod - 推薦引擎方法Returns:評分（0~5之間的值） """def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=svdEst):# 尋找未評級的物品# 對給定的用戶建立一個未評分的物品列表unratedItems = np.nonzero(dataMat[user, :].A == 0)[1]# 如果不存在未評分物品，那么就退出函數if len(unratedItems) == 0:return ('本店所有商品你均嘗試過，打過分')# 物品的編號和評分值itemScores = []# 在未評分的物品上進行循環for item in unratedItems:estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)# 尋找前N個未評級的物品，調用svdEst()來產生該物品的預測得分，該物品的編號和估計值會放在一個元素列表itemScores中itemScores.append((item, estimatedScore))# 返回元素列表，第一個就是最大值return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[: N]

7.全部代碼

#!/usr/bin/env python3 # -*- coding: utf-8 -*- # @Author: yudengwu # @Date : 2020/8/22 import numpy as np from numpy import linalg as la#相似度 def cosSim(inA, inB):num = float(inA.T * inB)denom = la.norm(inA) * la.norm(inB)return 0.5 + 0.5 * (num / denom)#數據導入 """ 函數說明：加載數據,菜肴矩陣 行：代表人 列：代表菜肴名詞 值：代表人對菜肴的評分，0代表未評分 """def loadExData():return[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],[0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],[0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],[3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],[5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],[4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],[0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],[0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],[0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]""" 給未打分的商品打分Parameters: dataMat - 訓練數據集 user - 用戶編號 simMeas - 相似度計算方法 item - 未評分的物品編號Returns:評分（0~5之間的值） """ def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):#假設user=1# 得到數據集中的物品數目n = np.shape(dataMat)[1]# 初始化兩個評分值simTotal = 0.0ratSimTotal = 0.0# 奇異值分解# 在SVD分解之后，我們只利用包含90%能量值的奇異值，這些奇異值會以Numpy數組形式得以保存U, Sigma, VT = la.svd(dataMat)# 如果要進行矩陣運算，就必須要用這些奇異值構造出一個對角陣Sig4 = np.mat(np.eye(4) * Sigma[: 4])# 利用U矩陣將物品轉換到低維空間中，構建轉換后的物品（物品的4個主要特征）xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.I#shape(11,4)# 遍歷行中的每個物品（對用戶評過分的物品進行遍歷，并將它與其他物品進行比較）for j in range(n):userRating = dataMat[user, j]# 如果某個物品的評分值為0，則跳過這個物品if userRating == 0:continue# 相似度的計算也會作為一個參數傳遞給該函數similarity = simMeas(xformedItems[item, :].T, xformedItems[j, :].T)print('商品 %d 和商品 %d 相似度similarity is: %f' % (item, j, similarity))# 相似度會不斷累加，每次計算時還考慮相似度和當前用戶評分的乘積# similarity 用戶相似度 userRating 用戶評分simTotal += similarityratSimTotal += similarity * userRatingif simTotal == 0:return 0# 通過除以所有的評分和，對上述相似度評分的乘積進行歸一化，使得最后評分在0~5之間，這些評分用來對預測值進行排序else:return ratSimTotal / simTotal""" 函數說明：推薦引擎Parameters:dataMat - 訓練數據集user - 用戶編號N- 產生N個推薦結果simMeas - 相似度計算方法estMethod - 推薦引擎方法Returns:評分（0~5之間的值）Modify:2018-08-08 """def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=svdEst):# 尋找未評級的物品# 對給定的用戶建立一個未評分的物品列表unratedItems = np.nonzero(dataMat[user, :].A == 0)[1]# 如果不存在未評分物品，那么就退出函數if len(unratedItems) == 0:return ('本店所有商品你均嘗試過，打過分')# 物品的編號和評分值itemScores = []# 在未評分的物品上進行循環for item in unratedItems:estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)# 尋找前N個未評級的物品，調用svdEst()來產生該物品的預測得分，該物品的編號和估計值會放在一個元素列表itemScores中itemScores.append((item, estimatedScore))# 返回元素列表，第一個就是最大值return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[: N]if __name__ == '__main__':myMat = np.mat(loadExData())recommend(myMat, 1, estMethod=svdEst)#對用戶1進行推薦print('\n----------------------------------------\n')A = recommend(myMat, 1, estMethod=svdEst, simMeas=cosSim)A=np.array(A)for i in range(A.shape[0]):print('給您推薦的商品是{}，計算得分是{}'.format(A[i][0],A[i][1]))

給用戶1的推薦結果是商品4,7,9

如果不使用SVD矩陣分解
未打分商品得分計算函數

""" 函數說明：基于物品相似度的推薦引擎 計算某用戶未評分物品，以對該物品和其他物品評分的用戶的物品相似度，然后進行綜合評分Parameters:dataMat - 訓練數據集user - 用戶編號simMeas - 相似度計算方法item - 未評分的物品編號Returns:評分（0~5之間的值）Modify:2018-08-08 """ def standEst(dataMat, user, simMeas, item):# 得到數據集中的物品數目n = np.shape(dataMat)[1]# 初始化兩個評分值simTotal = 0.0ratSimTotal = 0.0# 遍歷行中的每個物品（對用戶評過分的物品進行遍歷，并將它與其他物品進行比較）for j in range(n):userRating = dataMat[user, j]# 如果某個物品的評分值為0，則跳過這個物品if userRating == 0:continue# 尋找兩個用戶都評級的物品# 變量overLap給出的是兩個物品當中已經被評分的那個元素的索引ID# logical_and計算x1和x2元素的邏輯與overLap = np.nonzero(np.logical_and(dataMat[:, item].A > 0, dataMat[:, j].A > 0))[0]print(dataMat[:, item].A)# 如果相似度為0，則兩者沒有任何重合元素，終止本次循環if len(overLap) == 0:similarity = 0# 如果存在重合的物品，則基于這些重合物重新計算相似度else:similarity = simMeas(dataMat[overLap, item], dataMat[overLap, j])print('the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity))# 相似度會不斷累加，每次計算時還考慮相似度和當前用戶評分的乘積# similarity 用戶相似度 userRating 用戶評分simTotal += similarityratSimTotal += similarity * userRatingif simTotal == 0:return 0# 通過除以所有的評分和，對上述相似度評分的乘積進行歸一化，使得最后評分在0~5之間，這些評分用來對預測值進行排序else:return ratSimTotal / simTotal

電氣專業的計算機萌新，寫博文不容易，在大佬面前獻丑啦。如果你覺得本文對你有用，請點個贊支持下，謝謝。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基于SVD矩阵分解的用户商品推荐（python实现）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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