問題描述

設

(; 表示縱向連接) 和

, 計算矩陣

中每一個行向量和矩陣

中每一個行向量的平方歐氏距離 (pairwise squared Euclidean distance), 即計算:

(這是一個

矩陣).

這個計算在度量學習, 圖像檢索, 行人重識別等算法的性能評估中有著廣泛的應用.

公式轉化

在 NumPy 中直接利用上述原式來計算兩個矩陣的成對平方歐氏距離, 要顯式地使用二重循環, 而在 Python 中循環的效率是相當低下的. 如果想提高計算效率, 最好是利用 NumPy 的特性將原式轉化為數組/矩陣運算. 下面就嘗試進行這種轉化.

先將原式展開為:

下面逐項地化簡或轉化為數組/矩陣運算的形式:

式中,

表示按元素積 (element-wise product), 又稱為 Hadamard 積;

表示維的全1向量 (all-ones vector), 余者類推. 上式中

的作用是計算

每行元素的和, 返回一個列向量;

的作用類似于 NumPy 中的廣播機制, 在這里是將一個列向量擴展為一個矩陣, 矩陣的每一列都是相同的.

所以:

上述轉化式中出現了

(矩陣乘) , 矩陣乘在 NumPy 等很多庫中都有高效的實現, 對代碼的優化是有好處的.

特別地, 當

時, 原式等于

, 注意到第一項和第二項互為轉置. 當

且

(即

和

的每一個行向量的范數均為1時), 原式等于

,

是

全1矩陣.

代碼實現

sklearn 中已經包含了用 NumPy 實現的計算 "兩個矩陣的成對平方歐氏距離" 的函數 (sklearn.metrics.euclidean_distances

import numpy as np

def euclidean_distances(x, y, squared=True):

"""Compute pairwise (squared) Euclidean distances."""

assert isinstance(x, np.ndarray) and x.ndim == 2

assert isinstance(y, np.ndarray) and y.ndim == 2

assert x.shape[1] == y.shape[1]

x_square = np.sum(x*x, axis=1, keepdims=True)

if x is y:

y_square = x_square.T

else:

y_square = np.sum(y*y, axis=1, keepdims=True).T

distances = np.dot(x, y.T)

# use inplace operation to accelerate

distances *= -2

distances += x_square

distances += y_square

# result maybe less than 0 due to floating point rounding errors.

np.maximum(distances, 0, distances)

if x is y:

# Ensure that distances between vectors and themselves are set to 0.0.

# This may not be the case due to floating point rounding errors.

distances.flat[::distances.shape[0] + 1] = 0.0

if not squared:

np.sqrt(distances, distances)

return distances

如果想進一步加速, 可以將

x_square = np.sum(x*x, axis=1, keepdims=True)

替換為

x_square = np.expand_dims(np.einsum('ij,ij->i', x, x), axis=1)

以及將

y_square = np.sum(y*y, axis=1, keepdims=True).T

替換為

y_square = np.expand_dims(np.einsum('ij,ij->i', y, y), axis=0)

使用 np.einsum 的好處是不會產生一個和 x 或 y 同樣形狀的臨時數組 (x*x 或 y*y 會產生一個和 x 或 y 同樣形狀的臨時數組).

PyTorch 中也包含了計算 "兩個矩陣的成對平方歐氏距離" 的函數

另外上述的轉化公式也可以用在其他 Python 框架 (如 TensorFlow) 或其他語言中, 這里就不展開敘述了.

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參考

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python矩阵的平方_NumPy之计算两个矩阵的成对平方欧氏距离的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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