禮物包裹算法最早由Chand&Kapur (1970) [1]提出的，它不僅可以實現二維、三維凸包，還可以實現更高維的凸包，算法復雜度是

，表示輸出的面的數量，表示點集的個數，算法復雜度跟輸出面相關。直觀上，三維的禮物包裹算法，可以看做是在點集的外面包圍了一張紙，每次更新一個新的頂點，用紙覆蓋住它，就像包裹禮物一樣，直至覆蓋整個點集。本篇只考慮三維的凸包求解問題，對于更高維的情況，可以參考Chand&Kapur (1970) [1]以及Preparata&Shamos (1985) [2]的描述。

本篇文章主要介紹三維禮物包裹算法來求點集的三維凸包。

文章目錄

• 基本思想
• 退化情況
• 算法實現
• 源碼實現
• 參考

基本思想

禮物包裹算法基于一個簡單的理論：任意一個三維凸包的每一條邊有且只有兩個相鄰面。三維凸包上的每個面用三角形面片表示，若一個凸包有

個面，則凸包共有條邊，根據歐拉公式可知，頂點的個數是。 設三維凸包上的面用三角形面片表示，這里暫不考慮各種退化情況，三維凸包的禮物包裹算法的算法偽碼如下所示：三維空間下點集的凸包

面集合為Q，存儲邊的集合;

;

;

找到一個初始的凸包面;

;

面的每條邊信息和計數器;????//計數器初始值為1

while( 非空 )

????令;

????for 面的每一條邊, then

????????根據邊，從集合中檢索出相應的邊結構;

????????if , then

????????????以邊為邊界，找到新的面;

????????????令;

????????????更新邊集合;?// 若面的邊存儲在集合中，對應邊的計數器值加 1; 否則，創建新的邊結構，存入集合中，初始計 數器的值為1；

????????end if;

????end for;

end while;

實現禮物包裹算法時，必需解決算法中要處理的三個關鍵的子問題：

如何存儲邊結構的集合。

給定一個凸包上的面，如何確定與該面片上任意一條邊相鄰的三角形面片；

如何確定在凸包上的初始三角形面片；

子問題1

如何設計存儲邊的集合的

數據結構。

首先，確定兩點大小關系的對比規則，設兩點

和，若，當且僅當；若，當且僅當；否則，和，若，當且僅當；若，當且僅當；否則，

接著，考慮存儲邊的數據結構的設計，每個邊結構表示為

，其中表示邊的兩個端點，記錄與邊相鄰面的個數，通過計數器可以判定與該邊是否存在相鄰面，因為凸包上的每一條邊當且僅當有2個相鄰面。

把邊結構存儲在一個平衡二叉樹的數據結構中，邊結構的查詢、插入操作只需要

，其中表示邊的個數。

子問題2

給定一個凸包上的三角形面片，如何確定與該面片上任意一條邊相鄰的三角形面片。

圖1. 指定三角形是可以確定一個平面，不同的點與三角的某條邊有不同的夾角

設三個點

形成的三角形是凸包上的面片，三個點所在的平面是，從點集中到找一個點，使得由點,和形成的平面與平面的夾角最大，那么由點與邊生成的三角形面片即是凸包的面。以圖1所示為例，點,,,與邊分別可以確定四個平面，這四個平面與平面有一個夾角，選擇夾角最大的平面，即由點與邊確定的平面，因此生成的三角形面片是凸包上的面。

圖2. 計算由點pi，p0，p1確定的面，與另一個平面的夾角

在介紹了采用的策略后，接下來介紹如何實施策略，即如何判斷哪個點與三角形面片確定的平面

與平面之間的夾角最大。如圖2所示，設平面的法向量是，若三角形點的順序如該圖所示，則法向量為，即，方向為垂直于平面向上。因為在凸包上，所以對于任意一個點（），都在平面上（On the plane）或者平面的上方空間（Above the plane）。

圖3. 計算經過點pi和邊p0-p1面的法向量

指定一個方向向量

，令同時垂直于法向量和邊，則向量，即有。點在所在的方向上。連接點和點，得到向量，計算在法向量和向量方向上的投影，分別是和，則對于不在平面上的點的夾角可以用等式（1）表示：

遍歷點集上的每個點，選擇

值最大的點，就要所求的點，即：

由點

向點方向觀察圖2，可以得到橫截面如圖3所示，設是由點,,確定的平面的法向量，向量是向量在如圖3所示的橫截面上的投影，易知向量與法向量垂直。設在方向上的投影為，在方向上的投影為，由相似三角形的性質可得：

那么法向量

的方向可以表示為

可以注意到，我們只需要找到

值最大的點，并不關心具體的值是多少，因此在計算向量和，可以不對它們進行歸一化處理，即。未歸一化的向量和也不會對等式（4）中法向量的方向造成影響，讀者可以自行證明。確定值最大的點需要遍歷點集，算法的復雜度為。

子問題3

如何確定在凸包上的初始三角形面片。

算法的起始階段，先排除點集中重復的點，找到初始的凸包面

，如圖4所示，從點集中找到最小的點，即點的分量最小，若分量最小的點有多個，則取其中分量最小的點，若分量最小的點有多個，則取其中分量最小的點。最小的點是唯一的，經過點作一個平面，平面的法向量表示為，任取一個向量，遍歷點集上的點，使用等式（1）計算得到最大的點，設該點是。采用等式（4），計算出平面的法向量，其中，易知法向量是的形式，第3個分量為0。接著，指定一個與法向量和邊垂直的向量，可以采用等式來計算。遍歷點集上的點，使用等式（2）計算出最大的點，設該點是。至此，初始凸包上的三角形面片的三個點都計算出來了，算法需要三次遍歷點集，算法規模是。

圖4. 在凸包上的初始三角形面片p0-p1-p2

綜上，在禮物包裹算法中，確定初始的三角形面片，需要時間

；每確定一個新的凸包面，需要時間，其中表示邊，又，即時間復雜度為。因此，三維禮物包裹算法的時間復雜度為。

退化情況

多點共面

如果算法實現中，沒有考慮多點共面的情況，會引起錯誤。如圖5所示，求與平面

上邊相鄰在面，得到平面的夾角最大，但是在平面上，存在4個或者大于4個點，圖中有7個點在平面。若隨機地選擇一個點來更新平面F'，可能會選擇點，也可能是點，但是顯然點不是凸包的極點，就引發了錯誤。若選擇與邊距離最遠的點來更新平面F'，就會選擇點，它一定是凸包上的極點，但可能會引發生成的面的邊可能會發生交叉的情況。如圖9.15所示，考慮邊的相鄰面，最遠點是，連接3點得到凸包上的面；接著考慮邊的相鄰面，最遠點是，連接3點得到凸包上的另外一個三角形面片，這就造成了邊發生相交的情況。

圖5. 多個點共面的情況

這里介紹一種方法，設三維空間上的點集

在同一個平面上，把點集投影到二維空間上，得到新的點集。三維點投影到二維空間上，可以采用的方法是：設點集所在的平面的法向量為，移除法向量的絕對值最大的分量，即對于任意一個點，投影后的點如等式（9.11）所示。

使用二維凸包算法，求出點集

的凸包，設求出的二維凸包為，那么三維點構成的對應的凸多邊形為，其中，點是點在二維空間對應的投影點，。可以把劃分成,,...,共個三角形面片，這種方法生成的三角形面片不會發生相交的情況。以圖6為例，凸包為，就可以劃分為,,,共4個三角形面，如圖7所示。

圖6. 選擇與邊距離最遠點更新新面，可能產生的問題

圖7. 把凸包上的點，劃分為不相交的三角形面

在確定凸包上的初始三角形面片時，也可能有多個點在同一個面上，此時不需將共面點集投影到二維平面上求出子凸包，只需選擇與指定邊距離最遠的點即可，該點一定是凸包的極點，避免了不必要的算法操作。

分母為零的情況

若所求的點

在平面上，則在法向量方向上的投影，顯然，等式（1）的分母為零。此時，需要根據分子的符號判斷該點是否有效。若，說明該點是無效點，直接忽略；若，說明該點是有效的，則夾角最大的點在平面上。以圖8所示為例，點在平面上，在求與三角形面的邊相鄰的凸包面時，點是有效點，但是點都是無效點。

圖8. 分母為零的情況

算法實現

存儲點的數據結構可以表示為{x，y，z，IsOn}，其中，x，y，z分別表示點的X，Y，Z方向上的坐標，IsOn是標志位，是一個布爾數，表示指定點是否是凸包上的極點，這個數據在輸出結果時會起到作用，對于標志位為false的點可以刪除，保留下標志位為true的點。起始時，對于任意一個點

，p.IsOn的值都為false。

前面介紹了邊結構可以用{p，q，count}來表示，包括邊的兩個端點p，q和相鄰面個數的記數器count。可以采用點的索引來記錄邊，減少存儲空間，因此邊結構中的p，q表示點的索引，用V表示全局點集，那么邊結構e的端點信息就是V[e.p]和V[e.q]。使用平衡二叉樹來作為存儲邊結構的容器，用T表示，邊結構的查詢、插入操作只需要

的時間，其中,m表示邊的個數。對存儲邊結構的平衡二叉樹T的查詢和插入的表示方法如下所示：

• T.find({p，q})，從T中檢索出以V[p]，V[q]為端點的邊結構，并將它返回；
• T.insert({p, q})，若T中存在以V[p]，V[q]為端點的邊，則將相應的邊結構的count值加1；否則，創建一個邊結構{p，q，1}，并把它插入T中。

三維凸包上的面用三角形面片表示，存儲面的數據結構可以表示為{v0, v1, v2}，與邊結構類似，為了減少存儲內存，v0, v1, v2表示點的索引，如果給定一個三角形面片F，則它的3個頂點信息就是V[F.v0], V[F.v1], V[F.v2]。三角形面片的朝向是固定的，我們規定，通過等式cross(V[F.v1] - V[F.v0], V[F.v2] - V[F.v0])，計算出的面片的法向量指向凸包外。 算法中還需要設計一種存儲三角形面片的容器，由于我們只需要將三角形面片插入容器首部（尾部）元素、刪除容器首部（尾部）元素、遍歷操作，所以可以采用鏈表這種數據結構作為存儲三角形面片的容器。一方向可以用于存儲候選三角形面片；另一方面用于存儲求出的凸包面片，最終作為結果輸出。對鏈表數據結構List主要的操作的表示方法如下所示：

• List.push(O)，把元素O插入鏈表List內；
• List.pop()，從鏈表List中彈出一個元素，并將它返回；

下面給出算法的偽碼，考慮到了輸入的點集存在重合或在同一個平面上，以及上一節描述的多點共面、分母為零的情況。

采用禮物包裹算法求三維空間下點集的凸包
giftWrapping(S)

????對點集S中的點從小到大排序;

????移除點集S中重復的點，得到新的點集;

if || 點集共面, then

????return 空集;

end if;

Z = 空集;????????????????????????????????????// Z存儲用于輸出的面片，鏈表

Q = 空集;????????????????????????????????????// Q存儲候選面片，鏈表

T = 空集;????????????????????????????????????// T存儲邊結構，平衡二叉樹

F = initFirstFacet(V);

T.insert({F.v0, F.v1, 1});

T.insert({F.v1, F.v2, 1});

T.insert({F.v1, F.v0, 1});

Q.push(F);

Z.push(F);

while( Q非空 )

????F = Q.pop();

????n = -cross(V[F.v1] - V[F.v0], V[F.v2] – V[F.v0]);

????for ( i=0 ; i<3 ; i+=1 )

????????p = F.vi, q = F.v(i+1)%3;

????????E = T.find({p, q});

????????if E.count > 1, then

????????????continue;

????????end if;

????????a = cross(n, V[p] – V[q]);

????????{PS, km} = getExtremePoint(V, n, a, V[p]); // PS是一個鏈表

????????d = cross(V[p] – V[q], V[km] – V[q]);

????????if PS 集合數大于1, then

????????????CH = degenerate(d, E, PS);

????????else

????????????CH = PS;

????????????CH.push_front(q);

????????????CH.push_front(q);

????????end if;

????????for each k in CH

????????????V[k].IsOn = true;

????????end for;

????????m = CH集合個數;????????????????????????????????//凸包CH的頂點個數

????????h0 = CH[0], h1 = CH[1], h2 = CH[2], h = 2;

????????while(h < m)

????????????T.insert({h2, h1});

????????????F' = {h0, h2, h1};

????????????Z.push(F');

????????????Q.push(F');

????????????h += 1;

????????????if h == m - 1, then

????????????????T.insert({h0, h2});

????????????else

????????????????h1 = h2;

????????????????h2 = CH[h];

????????????end if;

????????end while;

????end for;

end while;

return Z;

算法第1 ~ 5步，排除點集S中重復的點、以及點集S在同一個平面上的情況。第6 ~ 17步，初始化必要的存儲結構，確定在凸包上的初始三角形面片。接著，進入while循環，從Q中取出一個候選面片F，分別處理面片F的3條邊，從T中查找到相應存儲有相應邊的邊結構E。如果E.count > 1，說明該邊已存在兩個相鄰面，不作任何處理，否則，計算出與其相鄰面的F’，將面F’的另外兩條邊插入到平衡二叉樹T中。

函數getExtremePoint ()實現的功能是：給定一個凸包上的面F，確定與面片F上的邊E相鄰的三角形面片，PS表示一個點的索引集合，因為有可能與E相鄰的三角形面片所在的平面上有多個點，即前面敘述的多點共面的情況，km表示PS中與邊E距離最遠的點的索引。

函數initFirstFacet()實現的功能是：確定在凸包上的初始三角形面片。

函數degenerate ()實現的功能是：解決多點共面這種退化情況，把三維的點

投影到二維空間上，再根據二維凸包算法計算出凸多邊形，最后把結果返回。可以確定，函數degenerate()需要確保凸多邊形CH是單一個方向。三維點投影到二維，以及求二維凸包算法，在前面都已詳細介紹，這里不再贅述算法。

圖9. 禮物包裹算法過程

最后，以圖9所示為例來演示禮物包裹算法giftWrapping(S)的流程，可以結合偽碼，模擬下算法的過程。圖中的點集為

，分布在一個2x2x2的矩形方塊上，點集的坐標如表1所示。禮物包裹算法會先確定一個初始的三角形面片，設為，把面片存入Q和Z。接著，進入while循環，從Q中取出第1個面片，先處理面片上的邊，產生新的面片；再處理邊，此時出現多點共面的情況，點與邊共面，且產生的夾角最大，隨機啟動“多點共面情況”的子算法，最終產生兩個面片和；最后處理邊，產生新的面片。在處理完第1個三角形面片后，候選面片集。由于Q非空，第2次進行while循環內的迭代操作，處理面片，先處理邊，生成新的面片；再處理邊，生成；最后處理邊，由于該邊的兩鄰面個數為2，已不存在其它相鄰面，不作處理，此時候選面片集。由于Q非空，從中取出一個平面，重復上述操作，直至Q為空，輸出三維凸多邊體的面片，算法結束。如表1所示，由于篇幅限制，只記錄了前4個面片的處理結果。

表1. 點集坐標和算法循環體內的處理結果

源碼實現

基礎庫源碼鏈接，參見這里，下面是前面所描述的算法的實現。

#define _CRTDBG_MAP_ALLOC

參考

[1] Donald R. Chand, and Sham S. Kapur. "An algorithm for convex polytopes."Journal of the ACM (JACM), vol.17, no.1, pp.78-86, 1970.

[2] Franco P. Preparata, and Michael Ian Shamos. Computational geometry. an introduction. Texts and Monographs in Computer Science, New York: Springer, 1

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法 判断多个点是否在同一圆周线上_凸包问题——礼物包裹算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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