這個小系列的文章是筆者在學習微分方程的級數解的時候的（丟人）筆記。作為一名“優秀”的工科生，那些復雜而又看上去沒什么用的定理證明過程就自然而然的被忽略掉了…

幾乎每本書上都會說類似“能有初等解法的微分方程是很有限的^[1]”的話。如此說來，微分方程的級數解應該是比較重要的內容。但是在（我所見過的）國內出的教材里面，在微分方程的級數解這部分內容寫得的確是難以下咽。

這個小系列的文章筆者筆記大多數內容來自《微分方程與邊界值問題》（Differential Equations with Boundary-Value Problem. Dennnis G.Zill & Michael R. Cullen）還有部分內容來自《常微分方程學習輔導與習題解答》（朱思銘 編）以作為一點補充。

需要說明一下的是，這里的微分方程指的是常微分方程而非偏微分方程。級數自然指的是冪級數。并且本文講述的都是二階微分方程的級數解。

（并且我認為這個小系列里面我想寫的重點是貝塞爾方程，其他的…都不是最重要）

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正文

在正式求級數解之前，還是先簡潔地回顧一下比較重要的級數知識。

冪級數

這是相當于在點

“展開”的冪級數。

收斂性

比值檢驗法：

當

時，級數收斂。

當對冪級數用比值檢驗法時，可以求出冪級數的收斂區間，但不包括端點。端點需要單獨代入冪級數內再用比值檢驗法檢驗是否收斂。

積分和求導

冪級數在收斂區間內可以逐次積分和求導。

積分和求導不包括端點處。端點處的收斂性可能會由于求導而發散或者由于積分而收斂。積分和求導之后的冪級數應當再次單獨判斷收斂性。

由于是關于微分方程的冪級數解法，那么只考慮冪級數求導的情況，而由于是二階微分方程，則只考慮到二階導數的情況。（而且是在

處的冪級數）

在

的一階導數和二階導數里面，分別第一項和第二項化為 。因此級數的下標可以改成 與 。這是冪級數從 開始的情況。而：

當冪級數不是從

開始的時候，就不能再改寫求和的下標了。

合并冪級數

以例子說明：

例：

第一項級數從

開始，第二項級數從 開始。合并的時候統一到最高次項：

由于

是“虛變量”，因此可以代換。若想從 開始，左邊的級數做代換： ；右邊的級數做代換： ：

（之后的求導、合并冪級數等之類的簡單操作將逐漸不會再寫出來。具體的計算還請讀者心算或者自己在草稿本上自己寫一下。）

關于冪級數回顧的知識點就到這里。接下來是關于微分方程的級數解的一些基本的理論知識。（還沒到求解…）

微分方程的平凡點與奇點

當然，還是關于二階方程的。

對于：

方程兩邊除以

，并重新標記，有：

若

與 都可以在 處泰勒展開，那么就說是這個微分方程的平凡點。反之， 與 任意一者在 處不能泰勒展開，那么這個點就是奇點。

例：

與 在 處都可以泰勒展開，所以微分方程在整個實數域上都是平凡點。

例：

顯然

在 處不能泰勒展開， 是一個奇點。（不過這個函數的定義域就是 啊，本來就不在定義域內嘛。為什么書上會是這個例子？）

冪級數解的存在性

又到了理論的地方了，但是這個倒是很簡單，和泰勒展開的收斂半徑別無二致。

若

是微分方程 的一個平凡點，那么總可以求得兩個以 為展開中心的線性無關的級數解 。且其至少在 (即 )上收斂。其中 是 到最近奇點 的距離。

自己畫的…順便做題圖了

可見，這個奇點是復平面的奇點。（很來就和泰勒級數是一樣的嘛）

需要注意的是，這個定義域是“至少”。也就是說，定義域或許會超過這個范圍。在后面可以看到，即使有奇點，但在一個平凡點展開的兩個線性無關的解中，會出現有一其中個解的定義域是全體實數域的情況。（而另一個解在

的區域外會發散）

求解微分方程

為簡便起見，后面的求冪級數解都是在

處展開的冪級數。實際上若想求 處的冪級數解，可先做代換 ，將要求的微分方程化成以 為自變量。求出結果后再代換回去即可。

求一個齊次線性二階常微分方程的冪級數解的方法稱為“待定級數系數法”。實際上就是將

代入微分方程中，然后對比系數得到 的各個值。再將 代入冪級數中，就可以得到兩個線性無關的解 。最后有:

實際上可以證明：

; 即： 。

但是始終要注意，不要過分的追求冪級數里面的

與 有什么對應關系（在下一篇文章中就會出現不一樣的情況）。因為這只是微分方程通解里面的任意常數。真正需要求出來的是那兩個不含任意常數的線性無關解 。需要關注的原因只是為了區分“這一堆含有的是 ,這一堆含有的是 ”而已。

例：

顯然這個方程是無奇點的。那么可以在

處的冪級數。

令

則 代入則有：

左邊=右邊，且恒等于0，那么就一定得有各項都等于0。則有：

那根據這個遞推公式列幾項：

代回冪級數，則有：

合并

, 項，提取出無任意常數的冪級數則有：

則有：

這就是微分方程關于平凡點的冪級數求解了。就這樣看上去還是很簡單的，無非就是：

代入化簡

對比遞推 合并得通解

但在某些操作上還需要一點技巧。以一個例子來說明：

例：

一樣的， 令

則 代入則有：

對比系數就有：

從前面可以知道，

, 相當于是已知的（也就是任意常數）。而 由大括號第一項也可得知。那么剩下的就是代入這三項便可求出所有的 。

但是與前面不一樣的是，這是三項遞推關系。這就導致了每一項遞推都會非常困難（讀者不妨嘗試去感受一下困難程度）。但是有如下技巧：

不妨先令

，同樣地代入遞推公式：

再令

代入遞推公式：

這樣就得到了兩組“不一樣的”

.可以如此考慮：實際上“真實的”每一個 都是上面兩組 的和。只不過這樣令或 代為零的操作，將中的與 自動分離了開來。

那么這樣就先得到了兩個解

與 ：

（配 ）

（配 ）

看上去顯然沒有一個函數是另一個函數的常數倍，那么這兩個函數是線性無關的。這樣就可以得到：

這就是這一篇，關于平凡點的解，的全部內容了。若要回顧總結一下的話：

求解方法：

代入化簡

對比遞推合并得通解

遞推上的差別：

二項遞推：直接代入遞推，得到全部的

，放回級數中就是通解，分開 , 得到 , 。

三項遞推：假設某一項為零后代入，得到兩組不同的

，放回級數中分別得到 , ，合并在一起是通解。

（不過可以猜想一下，若是n項遞推是不是可以分別假設（n-1）項為零再代入呢？不過二階微分方程看上去應該是不會有這種情況的了）

參考

^王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M]北京：高等教育出版社，2006.07:72

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的交错级数如何判断收敛_从微分方程的级数解到两个特殊方程（1）：关于平凡点的解...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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