動態規劃基本思想和學習目的

動態規劃算法與分治法類似，其基本思想也就是將待求解的問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后從這些子問題的解得到原問題的解，簡單概括為自頂向下分解，自底向上求解。動態規劃的基本思想：用一個表來記錄所有已經解決過的子問題的答案，不管該子問題在以后是否會被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中，以后碰到同樣的子問題，就可以從表中直接調用該子問題的答案，而不需要再計算一次。動態規劃的適用場合，一般適用于解最優化問題，例如矩陣連乘問題、最長公共子序列、背包問題等等。

學習目的

適合于用動態規劃法求解的問題，經分解得到的子問題往往不是相互獨立的，換句話說，就是前面解決過的子問題，在后面的子問題中又碰到了前面解決過的子問題，子問題之間是有聯系的。如果用分治法，有些同樣的子問題會被重復計算幾次，這樣就很浪費時間了。所以動態規劃是為了解決分治法的弊端而提出的。

矩陣連乘問題描述

給定n個矩陣：A1,A2,…,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。輸入數據為矩陣個數和每個矩陣規模，輸出結果為計算矩陣連乘積的計算次序和最少數乘次數。若A是一個p * q的矩陣，B是一個q * r的矩陣，則其乘積C=AB是一個p * r的矩陣。數乘次數是p * q * r.

疑問

A(3 * 5)A(5 * 7)A(7 * 2)的連乘次數和括號劃分有關系嗎？

(A(3 * 5)A(5 * 7))A(7 * 2) 相乘次數： (3 * 5 * 7)+(3 * 7 * 2) = 147
A(3 * 5)(A(5 * 7)A(7 * 2)) 相乘次數： (5 * 7 * 2)+(3 * 5 * 2) = 100

答案很明顯是有關系的。

分析

求 A1A2A3…An 定義 AiAi+1…Ak…Aj-1Aj 子列， 可看成是Ai…Ak，Ak…Aj
確定k的位置，然后按照遞歸的思想來逐步解決 求得結果后，使i=1，j=n原問題即可求解。

建立遞歸關系（狀態轉移方程）

m[i][j]：存儲Ai…Aj相乘 的最小數乘次數
S[i][j]：存儲最佳斷開位置。
A1：P0 * P1（長寬）
A2：P1 * P2
A3：P2 * P3
…
Ai：Pi-1 * Pi
Ai+1：Pi * Pi+1
…
An：Pn-1 * Pn
P0 * P1 * P2 … * Pn——n+1個

當i=j時，m[i][j] = 0;
當i<j時，m[i][j] = m[i][k]+m[k+1][j]+Pi-1PkPj
k在i，j之間取值，取值范圍為i<=k<j
有遞推關系如下：

動態規劃的最優子結構性質是：

問題的最優解包含了其子問題的最優解。
最優子結構性質是問題可用動態規劃法求解的顯著特征。
Ai…Ak，Ak+1…Aj的最優劃分也包含在Ai…Aj的最優劃分中

在計算出最優值m[i][j]后，可遞歸地由s[i][j]構造出相應的最優解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划矩阵连乘问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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