? ? 我們在閱讀paper時，經常會看到NP-hard，NP-complete等問題。我也是慢慢學習發現到這些問題的趣味，下面我們一起來探討一下P，NP，NP-hard，NP-complete這些問題吧！在正式進入之前，先簡單列出一波常見的概念。

1.時間復雜度

? ? 在遇到算法問題時，就不可避免的需要討論算法的時間復雜度。算法的時間復雜度可以用來度量算法的運行時間。算法的時間復雜度反映了程序執行時間隨輸入規模增長而增長的量級，在很大程度上能很好反映出算法的優劣程度。說白了，時間復雜度也就可以表示為對于高速處理數據的計算機來說，處理某一個特定數據的效率不能衡量一個程序的好壞，而應該看當這個數據的規模變大到數百（或萬）倍后，程序運行時間是否還是一樣，或者也跟著慢了數百（或萬）倍。

? ? 每個問題有自己的規模，假設n為問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。一般情況下，算法中基本操作重復執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n),使得當n趨近于無窮大時，T(n)/f(n)的極限值為不等于零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=Ｏ(f(n)),稱Ｏ(f(n))?為算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。

? ? 通常復雜度被分為兩種級別，一種是多項式級復雜度（形如O(1)，O(log(n))，O(n^a)），另一種是非多項式級復雜度（形如O(a^n)，O(n!)）。一般來說我們選擇的算法通常都需要是多項式級的復雜度，非多項式級的復雜度需要的時間太多，往往會超時，除非是數據規模非常小。

2.什么是P問題、NP問題？

? ? 首先，簡單直觀的說什么是P問題？如果一個問題可以找到一個能在多項式的時間里解決它的算法，那么這個問題就屬于P問題。P問題也叫做多項式問題。

? ?NP問題是指可以在多項式的時間里驗證一個解的問題。注意NP問題不是非P問題！有一個著名的NP問題：旅行家推銷問題(TSP)。簡述如下：

? ?即有一個推銷員，要到n個城市推銷商品，他要找出一個包含所有n個城市的環路，這個環路路徑小于a。我們知道這個問題如果單純的用枚舉法來列舉的話會有種，這已經不是多項式時間的算法了。那怎么辦呢？我們可以用猜的，假設人品爆炸猜幾次就猜中了一條小于長度a的路徑，TSP問題解決了。但是實際上，我們不可能每次都猜的準，或許我們猜幾次能猜出來，或許我們把所有路徑都猜一遍也猜不出來？所以我們說，這是一個NP類問題。也就是，我們能在多項式的時間內驗證并得出問題的正確解，可是我們卻不知道該問題是否存在一個多項式時間的算法，每次都能解決它(注意，這里是不知道，不是不存在！)。

? 那么由此可以引出一個疑問至今的問題：NP問題=？P問題（NP類問題是否等于P類問題？）。也就是說是否我們能在多項式時間內得到的解能夠用計算機上的多項式算法解決呢？那么這樣的話，所有問題都能用計算機上的算法解決咯?在講清這個問題前，我們需要了解規約（或約化）的概念。

3.什么是規約（或約化）？

? ? 科學家在解決上述問題時，首先引入約化的概念。一個問題A可以約化為問題B的含義即是，可以用問題B的解法解決問題A，或者說，問題A可以“變成”問題B。也就是說B的解法能同時解決問題A和問題B，問題A可以約化為問題B。這個示例說明什么呢？A的時間復雜度是≥B的時間復雜度。這樣的話，相當于我們用問題B簡化了問題A。

? ?除了約化的概念反應的物理意義外，約化還有一個重要的性質：傳遞性！如果A問題可以約化為B，B問題可以約化為C問題，那么可以得出結論，A問題一定可以約化為問題C。但是注意，約化的過程只能在多項式的時間內完成才有意義，如果不是“多項式”約化，而是非多項式的約化，這個約化過程就完全沒有意義。所以要注意約化的范圍！

? ?參考前面時間復雜度的概念，我們也可以直接觀察到，約化所帶來的時間復雜度的增加，能處理的范圍也變大。所以我們可以通過對某些問題的不斷約化，通過增加算法的時間復雜度，增大適用范圍，來取代一些適用范圍小，沒有什么實際適用績效的算法。

4.什么是NPC問題、NP-hard問題？

? ?在了解了約化的概念后，一個很不可思議的概念出現了，那就是NPC問題。到底什么是NPC問題呢？我們有NP問題，那么我們? 能不能通過一步步約化NP問題，讓它變成一個能解決掉所有NP問題的“主”NP問題呢？答案是：這個“主”NP問題是存在的。這個“主”NP問題=NPC問題（NP-Complete問題），注意NPC問題指的是一大類的問題，而不是一個問題！

? ? 前面已經講了NP問題滿足的兩點條件，這里NPC問題滿足的條件是：（1）該問題必須是一個NP問題；（2）所有的NP問題都可以約化到該問題。

? ??那么事實上，我們對于問題的解決方法已經大致明了，NPC問題是由所有的NP問題約化得到的，那么我們只要找到NPC的一個“解”（也就是一個多項式算法），那么所有的NP問題就能解決！這個時候P=NP，但正是因為給NPC找一個多項式算法太難太難（這里是指想要一個時間復雜度為多項式級的算法是很難很難的），所以人們相信P≠NP。

? ?那什么是NP-hard問題呢？NP-hard問題滿足NPC問題定義的第二條但不一定要滿足第一條，即NP-hard問題可以通過所有的NP問題都可以約化，但它不一定是NP問題（就是說，NP-Hard問題要比 NPC問題的范圍廣）。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的到底什么是P问题，NP问题，NPC问题，NP-hard问题？什么是规约（或约化）？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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