【数理统计】概率论基础回顾
零、概率論基礎回顧
1、 求離散型的期望 𝐄(𝐗)
例1：已知一個工廠一周獲利10萬元的概率為0.2，獲利5萬元的概率為0.3，￣虧損2萬元的概率為0.5，該工廠一周內利潤的期望是多少？￣\underline { 例 1：已知一個工廠一周獲利10萬元的概率為0.2，獲利5萬元的概率為0.3，}\\ \underline { 虧損 2 萬元的概率為 0.5，該工廠一周內利潤的期望是多少？ }\\ 例1：已知一個工廠一周獲利10萬元的概率為0.2，獲利5萬元的概率為0.3，?虧損2萬元的概率為0.5，該工廠一周內利潤的期望是多少？?
| P | 0.2 | 0.3 | 0.5 |
E(X)=∑xipi=10×0.2+5×0.3+(?2)×0.5=2.5（萬元?）\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{p}_{\mathrm{i}}=10 \times 0.2+5 \times 0.3+(-2) \times 0.5=2.5 \text { （萬元 } ） E(X)=∑xi?pi?=10×0.2+5×0.3+(?2)×0.5=2.5?（萬元?）
2、 求連續型的期望 𝐄(𝐗)
例1:設隨機變量X的密度函數為￣f(x)={0,x<04x3,0≤x≤1,求￣E(X)0,x>1\underline { 例 1: 設隨機變量 X 的密度函數為 } \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l} \mathbf{0}, \mathrm{x}<\mathbf{0} \\ 4 \mathrm{x}^{3}, 0 \leq \mathrm{x} \leq \mathbf{1}, \underline { 求 } \mathrm{E}(\mathrm{X}) \\ \mathbf{0}, \mathrm{x}>\mathbf{1} \end{array}\right. 例1:設隨機變量X的密度函數為?f(x)=????0,x<04x3,0≤x≤1,求?E(X)0,x>1?
E(X)=∫?∞+∞xf(x)dx=∫?∞0x?0dx+∫01x?4x3dx+∫1+∞x?0dx=0+45+0=45\begin{aligned} \mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{xf}(\mathrm{x}) \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x} &=\int_{-\infty}^{0} \mathrm{x} \cdot 0 \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x}+\int_{0}^{1} \mathrm{x} \cdot 4 \mathrm{x}^{3} \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x}+\int_{1}^{+\infty} \mathrm{x} \cdot 0 \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x} \\ &= 0 + \frac{4}{5}+ 0 \\ &=\frac{4}{5} \end{aligned} E(X)=∫?∞+∞?xf(x)dx?=∫?∞0?x?0dx+∫01?x?4x3dx+∫1+∞?x?0dx=0+54?+0=54??
3、 已知 𝐘 = 𝐠(𝐱)，求 𝐄(𝐘)
例 1：已知隨機變量 X 的分布列為： 下表，求 𝐘 = 𝟐𝐗 ? 𝟏 的期望。
| P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
E(Y)=∑g(xi)pi=∑(2xi?1)pi=(2×0?1)×0.1+(2×1?1)×0.2+(2×2?1)×0.3+(2×3?1)×0.4=3\begin{aligned} \mathrm{E}(\mathrm{Y}) &=\sum \mathrm{g}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right) \mathrm{p}_{\mathrm{i}} \\ &=\sum\left(2 \mathrm{x}_{\mathrm{i}}-1\right) \mathrm{p}_{\mathrm{i}} \\ &=(2 \times 0-1) \times 0.1+(2 \times 1-1) \times 0.2+(2 \times 2-1) \times 0.3+(2 \times 3-1) \times 0.4 \\ &=3 \end{aligned} E(Y)?=∑g(xi?)pi?=∑(2xi??1)pi?=(2×0?1)×0.1+(2×1?1)×0.2+(2×2?1)×0.3+(2×3?1)×0.4=3?
4、 求方差 𝐃(𝐗)
例1:已知隨機變量X的分布列為下圖，求D(X)￣\underline { 例1:已知隨機變量X的分布列為下圖，求D(X) } 例1:已知隨機變量X的分布列為下圖，求D(X)?
| P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
方法一:?\text { 方法一: } \\ ?方法一:?
E(X)=∑xipi=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2D(X)=∑[xi?E(X)]2?pi=(0?2)2?0.1+(1?2)2?0.2+(2?2)2?0.3+(3?2)2?0.4=1\begin{array}{l} \mathrm{E}(\mathrm{X}) &=\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{p}_{\mathrm{i}}=0 \times 0.1+1 \times 0.2+2 \times 0.3+3 \times 0.4=2 \\ \mathrm{D}(\mathrm{X}) &=\sum\left[\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right]^{2} \cdot \mathrm{p}_{\mathrm{i}} \\ &=(0-2)^{2} \cdot 0.1+(1-2)^{2} \cdot 0.2+(2-2)^{2} \cdot 0.3+(3-2)^{2} \cdot 0.4=1 \end{array} E(X)D(X)?=∑xi?pi?=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2=∑[xi??E(X)]2?pi?=(0?2)2?0.1+(1?2)2?0.2+(2?2)2?0.3+(3?2)2?0.4=1?
方法二:?\begin{aligned} \text { 方法二: } \end{aligned} ?方法二:??
| P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
E(X2)=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4=5E(X)=∑xipi=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2D(X)=E(X2)?E2(X)=5?22=1\begin{array}{l} \mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)=0 \times 0.1+1 \times 0.2+4 \times 0.3+9 \times 0.4=5 \\ \mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{p}_{\mathrm{i}}=0 \times 0.1+1 \times 0.2+2 \times 0.3+3 \times 0.4=2 \\ \mathrm{D}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)-\mathrm{E}^{2}(\mathrm{X})=5-2^{2}=1 \end{array} E(X2)=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4=5E(X)=∑xi?pi?=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2D(X)=E(X2)?E2(X)=5?22=1?
例￣2:設隨機變量￣X的密度函數為￣f(x)={0,x<04x3,0≤x≤1,0,x>1求￣D(X)\begin{aligned} &\underline { 例 } 2: \underline { 設隨機變量 } \mathrm{X} \underline { 的密度函數為 } \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l} 0, \mathrm{x}<0 \\ 4 \mathrm{x}^{3}, 0 \leq \mathrm{x} \leq 1, \\ 0, \mathrm{x}>1 \end{array}\right.\\ &\underline { 求 } \mathrm{D}(\mathrm{X}) \end{aligned} ?例?2:設隨機變量?X的密度函數為?f(x)=????0,x<04x3,0≤x≤1,0,x>1?求?D(X)?
E(x2)=∫?∞+∞g(x)?f(x)dx=∫?∞+∞x2?f(x)dx=∫?∞0x2?0dx+∫01x2?4x3dx+∫1+∞x2?0dx=0+23+0=23E(X)=∫?∞+∞xf(x)dx=∫?∞0x?0dx+∫01x?4x3dx+∫1+∞x?0dx=0+45+0=45D(X)=E(X2)?E2(X)=23?(45)2=275\begin{aligned} \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^{2}\right) &=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{g}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x} \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{x}^{2} \cdot \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x} \\ &=\int_{-\infty}^{0} \mathrm{x}^{2} \cdot 0 \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x}+\int_{0}^{1} \mathrm{x}^{2} \cdot 4 \mathrm{x}^{3} \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x}+\int_{1}^{+\infty} \mathrm{x}^{2} \cdot 0 \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x} \\ &=\quad 0 \quad+\quad \frac{2}{3} \quad+\quad 0 \\ &=\frac{2}{3} \\ \mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{xf}(\mathrm{x}) \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x} &=\int_{-\infty}^{0} \mathrm{x} \cdot 0 \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x}+\int_{0}^{1} \mathrm{x} \cdot 4 \mathrm{x}^{3} \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x}+\int_{1}^{+\infty} \mathrm{x} \cdot 0 \mathrmozvdkddzhkzd \mathrm{x} \\ &=\quad 0 \quad+\quad \frac{4}{5} \quad+\quad 0 \\ &=\frac{4}{5} \\ \mathrm{D}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)-\mathrm{E}^{2}(\mathrm{X})=\frac{2}{3}-\left(\frac{4}{5}\right)^{2} &=\frac{2}{75} \end{aligned} E(x2)E(X)=∫?∞+∞?xf(x)dxD(X)=E(X2)?E2(X)=32??(54?)2?=∫?∞+∞?g(x)?f(x)dx=∫?∞+∞?x2?f(x)dx=∫?∞0?x2?0dx+∫01?x2?4x3dx+∫1+∞?x2?0dx=0+32?+0=32?=∫?∞0?x?0dx+∫01?x?4x3dx+∫1+∞?x?0dx=0+54?+0=54?=752??
5、 根據 𝐄(𝐗)、𝐃(𝐗) 的性質運算
| 性質 | E(C)=C\mathrm{E}\left(C\right)=CE(C)=C | D(C)=0\mathrm{D}\left(C\right)=0D(C)=0 |
| 性質 | E(CX)=CE(X)\mathrm{E}\left(CX\right)=\mathrm{CE}\left(X\right)E(CX)=CE(X) | D(CX)=C2D(X)\mathrm{D}\left(CX\right)=\mathrm{C^2D}\left(X\right)D(CX)=C2D(X) |
| 性質 | E(X±Y)=E(X)±E(Y)\mathrm{E}\left(X\pm Y\right)=\mathrm{E}\left(X\right) \pm \mathrm{E}\left(Y\right)E(X±Y)=E(X)±E(Y) | $\mathrm{D}\left(X\pm Y\right)=\mathrm{D}\left(X\right) \pm \mathrm{D}\left(Y\right) \tiny{(X、Y相互獨立時)} $ |
| 性質 | E(XY)=E(X)E(Y)(X、Y相互獨立時)\mathrm{E}\left(XY\right)=\mathrm{E}\left(X\right) \mathrm{E}\left(Y\right) \tiny{(X、Y相互獨立時)}E(XY)=E(X)E(Y)(X、Y相互獨立時) | D(X)=E(X2)?E2(X)\mathrm{D}\left(X\right)=\mathrm{E}\left(X^2\right)-\mathrm{E^2}\left(X\right)D(X)=E(X2)?E2(X) |
例1:已知如圖￣求￣E(2X2?5),D(7X?5)\underline { 例 1: 已知如圖} \underline { 求 } \mathrm{E}\left(2 \mathrm{X}^{2}-5\right), \mathrm{D}(\sqrt{7} \mathrm{X}-5) 例1:已知如圖?求?E(2X2?5),D(7?X?5)
| P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
E(X)=∑xipi=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2D(X)=(0?2)2?0.1+(1?2)2?0.2+(2?2)2?0.3+(3?2)2?0.4=1E(2X2?5)=E(2X2)?E(5)=2E(X2)?5=2×[E2(X)+D(X)]?5=2×(22+1)?5=5D(7X?5)=D(7X)+D(5)=7D(X)+0=7×1+0=7\begin{array}{l} \mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{p}_{\mathrm{i}}=0 \times 0.1+1 \times 0.2+2 \times 0.3+3 \times 0.4=2 \\ \mathrm{D}(\mathrm{X})=(0-2)^{2} \cdot 0.1+(1-2)^{2} \cdot 0.2+(2-2)^{2} \cdot 0.3+(3-2)^{2} \cdot 0.4=1 \\ \mathrm{E}\left(2 \mathrm{X}^{2}-5\right)=\mathrm{E}\left(2 \mathrm{X}^{2}\right)-\mathrm{E}(5)=2 \mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)-5=2 \times\left[\mathrm{E}^{2}(\mathrm{X})+\mathrm{D}(\mathrm{X})\right]-5=2 \times\left(2^{2}+1\right)-5=5 \\ \mathrm{D}(\sqrt{7} \mathrm{X}-5)=\mathrm{D}(\sqrt{7} \mathrm{X})+\mathrm{D}(5)=7 \mathrm{D}(\mathrm{X})+0=7 \times 1+0=7 \end{array} E(X)=∑xi?pi?=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2D(X)=(0?2)2?0.1+(1?2)2?0.2+(2?2)2?0.3+(3?2)2?0.4=1E(2X2?5)=E(2X2)?E(5)=2E(X2)?5=2×[E2(X)+D(X)]?5=2×(22+1)?5=5D(7?X?5)=D(7?X)+D(5)=7D(X)+0=7×1+0=7?
6、 𝐄(𝐗)、𝐃(𝐗) 與各種分布的綜合題
| - | P(X=c)=1P(X=c)=1P(X=c)=1 | ccc | 000 | |
| 兩點分布（01分布） | X～B(1,p)X\sim B(1,p)X～B(1,p) | ppp | p(1?p)p(1-p)p(1?p) | P(X=k)=pk(1?p)1?k,k=0,1P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} , k=0,1P(X=k)=pk(1?p)1?k,k=0,1 |
| 二項分布 | X～B(n,p)X\sim B(n,p)X～B(n,p) | npnpnp | np(1?p)np(1-p)np(1?p) | $P(X = k) =C_n^k pk(1-p){n-k} $ |
| 泊松分布 | X～P(λ)X\sim P(\lambda)X～P(λ) | λ\lambdaλ | λ\lambdaλ | P(X=k)=λkk!e?λP(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}P(X=k)=k!λk?e?λ |
| 均勻分布 | X～U[a,b]X\sim U[a,b]X～U[a,b] | (a+b)/2(a+b)/2(a+b)/2 | (b?a2)/12(b-a^2)/12(b?a2)/12 | P(c≤X≤d)=d?cb?aP(c \leq X \leq d)=\frac{d-c}{b-a}P(c≤X≤d)=b?ad?c? |
| 指數分布 | X～E(λ)X\sim E(\lambda)X～E(λ) | 1/λ1/ \lambda1/λ | 1/λ21/ \lambda^21/λ2 | P(c≤X≤d)=1ecλ?1edλ\mathrm{P}(\mathrm{c} \leq \mathrm{X} \leq \mathrmozvdkddzhkzd)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{c} \lambda}}-\frac{1}{\mathrm{e}^{\mathrmozvdkddzhkzd \lambda}}P(c≤X≤d)=ecλ1??edλ1? |
| 正態分布 | X～N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X～N(μ,σ2) | μ\muμ | σ2\sigma^2σ2 | P(c≤X≤d)=Φ(d?μσ)?Φ(c?μσ)\mathrm{P}(\mathrm{c} \leq \mathrm{X} \leq \mathrmozvdkddzhkzd)=\Phi\left(\frac{\mathrmozvdkddzhkzd-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{\mathrm{c}-\mu}{\sigma}\right)P(c≤X≤d)=Φ(σd?μ?)?Φ(σc?μ?) |
例￣1:隨機變量X服從二項分布,且￣E(X)=6,D(X)=3,求?P(X=1){E(X)=6=npD(X)=3=np(1?p)?n=12p=0.5P(X=d)=Cndpd(1?p)n?dP(X=1)=C121(0.5)1(1?0.5)12?1=3×2?10\begin{aligned} &\underline { 例 } 1 \underline { : 隨機變量 X 服從二項分布, 且 } \mathbf{E}(\mathbf{X})=\mathbf{6}, \mathbf{D}(\mathbf{X})=\mathbf{3}, \text { 求 } \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)\\ &\left\{\begin{array}{l} \mathrm{E}(\mathrm{X})=6=\mathrm{np} \\ \mathrm{D}(\mathrm{X})=3=\mathrm{n} \mathrm{p}(1-\mathrm{p}) \end{array} \Rightarrow \mathrm{n}=12 \quad \mathrm{p}=0.5\right.\\ &\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrmozvdkddzhkzd)=\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrmozvdkddzhkzd} \mathrm{p}^{\mathrmozvdkddzhkzd}(1-\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrmozvdkddzhkzd}\\ &\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=\mathrm{C}_{12}^{1}(0.5)^{1}(1-0.5)^{12-1}=3 \times 2^{-10} \end{aligned} ?例?1:隨機變量X服從二項分布,且?E(X)=6,D(X)=3,?求?P(X=1){E(X)=6=npD(X)=3=np(1?p)??n=12p=0.5P(X=d)=Cnd?pd(1?p)n?dP(X=1)=C121?(0.5)1(1?0.5)12?1=3×2?10?
例2:已知X服從λ=1的泊松分布，求P[X=E(X2)]￣\underline{例 2: 已知 \mathrm{X} 服從 \lambda=1 的泊松分布，求\mathrm{P}\left[\mathrm{X}=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)\right]} 例2:已知X服從λ=1的泊松分布，求P[X=E(X2)]?
E(X)=1D(X)=1E(X2)=E2(X)+D(X)=12+1=2P[X=E(X2)]=P(X=2)=122!e?1=12eP(X=d)=λdd!e?λ\begin{array}{l} \mathrm{E}(\mathrm{X})=1 \quad \mathrm{D}(\mathrm{X})=1 \\ \mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)=\mathrm{E}^{2}(\mathrm{X})+\mathrm{D}(\mathrm{X})=1^{2}+1=2 \\ \mathrm{P}\left[\mathrm{X}=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)\right]=\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=\frac{1^{2}}{2 !} \mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{2 \mathrm{e}} \\ \mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrmozvdkddzhkzd)=\frac{\lambda^{\mathrmozvdkddzhkzd}}{\mathrmozvdkddzhkzd !} \mathrm{e}^{-\lambda} \end{array} E(X)=1D(X)=1E(X2)=E2(X)+D(X)=12+1=2P[X=E(X2)]=P(X=2)=2!12?e?1=2e1?P(X=d)=d!λd?e?λ?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的【数理统计】概率论基础回顾的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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