一、路徑

相鄰頂點(diǎn)之間的邊稱(chēng)為路徑。
回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的路徑稱(chēng)為回路。
簡(jiǎn)單路徑：各個(gè)頂點(diǎn)都互不相同的路徑稱(chēng)為簡(jiǎn)單路徑。
圈：從一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)互不相同的頂點(diǎn)后，然后再回到起點(diǎn)的一條路徑成為圈。

二、連通性

如果一個(gè)無(wú)向圖每一對(duì)頂點(diǎn)之間都至少存在一條路徑，則稱(chēng)為是連通的，否則就稱(chēng)該圖是不連通的。一個(gè)不連通圖是由多個(gè)連通片組成。連通片是滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件的子圖：
（1）連通性：子圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑。
（2）孤立性：不屬于該子圖的任意頂點(diǎn)與子圖中的任意頂點(diǎn)之間都不存在路徑。
包含頂點(diǎn)數(shù)最多的連通片稱(chēng)為最大連通片。下圖為包含兩個(gè)連通片的一個(gè)不連通圖。

不連通網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣可以通過(guò)對(duì)節(jié)點(diǎn)適當(dāng)編號(hào)寫(xiě)為如下的塊對(duì)角的形式。

三、路徑與連通性的鄰接矩陣表示

1、用鄰接矩陣表示兩點(diǎn)之間的路徑數(shù)量

我們用鄰接矩陣A=（a${}_{ij}$）${}_{N?N}$來(lái)表示一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的路徑數(shù)量。
如果節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j之間有1條邊，那么就存在一條長(zhǎng)度為1的路徑。若存在長(zhǎng)度為2的路徑，意味著中間還有一個(gè)節(jié)點(diǎn)k，k到i和j的路徑都為1。所以，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間長(zhǎng)度為2的不同路徑數(shù)量為：

當(dāng)且僅當(dāng)(A${}^2$)${}_{ij}$>0時(shí)存在長(zhǎng)度為2的路徑。
同理，可以推得兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j之間長(zhǎng)度r>=1的不同路徑數(shù)量為：

我們定義兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的距離為這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑長(zhǎng)度。節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j之間的距離不超過(guò)r>=1當(dāng)且僅當(dāng)
從而得到如下判據(jù)：
一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是連通的當(dāng)且僅當(dāng)I+A+A${}^2$+…+A${}^{N?1}$是正矩陣，即所有元素都為正數(shù)。

2、可約與不可約

若存在順列矩陣(即每行只有一個(gè)元素為1,其他元素均為0的正交矩陣)U,使得以下等式成立

則稱(chēng)矩陣A可約；若不存在這樣的矩陣U，則稱(chēng)矩陣A不可約。
因?yàn)楣?jié)點(diǎn)i到j(luò)之間存在路徑等價(jià)于鄰接矩陣的元素不為0，由此可推得如下結(jié)論：一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是連通的當(dāng)且僅當(dāng)其鄰接矩陣不可約。

四、割集與Menger定理

1、Menger定理

（1）點(diǎn)形式：設(shè)頂點(diǎn)s和頂點(diǎn)t為圖G中兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn),則使頂點(diǎn)s和頂點(diǎn)t分別屬于不同的連通片所需去除的頂點(diǎn)的最少數(shù)目等于連接頂點(diǎn)s和頂點(diǎn)t的獨(dú)立的簡(jiǎn)單路徑的最大數(shù)目。
（2）邊形式：設(shè)頂點(diǎn)s和頂點(diǎn)t為圖G中兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，則使頂點(diǎn)s和頂點(diǎn)t分別屬于不同的連通片所需去除的邊的最少數(shù)目等于連接頂點(diǎn)s和頂點(diǎn)t的不相交的簡(jiǎn)單路徑的最大數(shù)目。
注意：連接頂點(diǎn)s和頂點(diǎn)t的兩條簡(jiǎn)單路徑是獨(dú)立的，是指這兩條路徑的公共頂點(diǎn)只有頂點(diǎn)s和頂點(diǎn)t。連接兩個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單路徑稱(chēng)為是不相交的是指這兩條路徑?jīng)]有經(jīng)過(guò)一條相同的邊。

2、割集

（1）點(diǎn)割集：使得一對(duì)頂點(diǎn)分屬于不同的連通片所需去除的一組頂點(diǎn)稱(chēng)為這對(duì)頂點(diǎn)的點(diǎn)割集。
（2）邊割集：使得一對(duì)頂點(diǎn)分屬于不同的連通片所需取出的一組邊稱(chēng)為這對(duì)頂點(diǎn)的邊割集。
（3）極小割集：包含頂點(diǎn)數(shù)或邊數(shù)最少的割集稱(chēng)為極小割集。

五、有向圖的連通性

在一個(gè)有向圖中采取如下操作:如果兩個(gè)頂點(diǎn)之間只有一條單向邊，那么就忝加一條反方向的邊。如果經(jīng)過(guò)這樣添加邊的操作之后所得到的新的有向圖是強(qiáng)連通的，那么就稱(chēng)原來(lái)的有向圖是弱連通的。
給定一個(gè)有向圖的一對(duì)頂點(diǎn)A和B,我們可以按以下方法確定是否存在從節(jié)點(diǎn)A到節(jié)點(diǎn)B的路徑：首先確定節(jié)點(diǎn)A和節(jié)點(diǎn)B所在的強(qiáng)連通片。如果節(jié)點(diǎn)A和B屬于同一強(qiáng)連通片，那么從節(jié)點(diǎn)A到B和從節(jié)點(diǎn)B到A的路徑都是存在的;否則的話(huà),我們就看是否存在從節(jié)點(diǎn)A所在的強(qiáng)連通片指向節(jié)點(diǎn)B所在的強(qiáng)連通片的邊：如果存在,那么就存在從節(jié)點(diǎn)A到節(jié)點(diǎn)B的路徑；否則就肯定不存在這樣的路徑。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的路径与连通性的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。