一、高階度分布的引入

平均度< k >=2M/N可以視為網(wǎng)絡(luò)的0階度分布特性，它除了告訴我們網(wǎng)絡(luò)中有多少條邊之外，并沒有給出這些邊是如何安置在網(wǎng)絡(luò)中的任何信息。給定一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)N和邊數(shù)M，那么任一與該網(wǎng)絡(luò)具有相同節(jié)點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)的網(wǎng)絡(luò)模型也具有相同的平均度。
網(wǎng)絡(luò)的度分布P(k) =n(k)/N可以視為網(wǎng)絡(luò)的1階度分布特性，它刻畫了網(wǎng)絡(luò)中不同度的節(jié)點(diǎn)各自所占的比例，這里n(k)是網(wǎng)絡(luò)中度為k的節(jié)點(diǎn)數(shù)。如果隨機(jī)地從網(wǎng)絡(luò)中選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)，那么該節(jié)點(diǎn)度為k的概率即為P(k)。顯然，度分布中已經(jīng)包含了平均度的信息:

具有相同度分布的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)可能具有非常不同的其它性質(zhì)或行為，例如上圖上圖是具有兩個(gè)完全相同度序列的網(wǎng)絡(luò)，但結(jié)構(gòu)卻不同，為了進(jìn)一步刻畫網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，需要考慮包含更多結(jié)構(gòu)信息的高階拓?fù)涮匦浴?/p>

二、聯(lián)合概率分布

1、聯(lián)合概率分布定義

聯(lián)合概率P(j,k)定義為網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選取的一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)的度分別為j和k的概率，即為網(wǎng)絡(luò)中度為j的節(jié)點(diǎn)和度為k的節(jié)點(diǎn)之間存在的邊數(shù)占網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)的比例：

其中，m(j,k)是度為j的節(jié)點(diǎn)和度為k的節(jié)點(diǎn)之間的連邊數(shù)；如果j=k，那么$\mu$(j,k) =2，否則$\mu$(j,k) =1。

2、聯(lián)合概率分布性質(zhì)

（1）對(duì)稱性：

（2）歸一化：

（3）余度分布：

其中k${}_{min}$和k${}_{max}$分別為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度的最小值和最大值。P${}_n$(k)表示網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選取的一個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)選取的一個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)度為k的概率。
這里要注意的是，P${}_n$(k)與度分布P(k)是不同的。例如，我們無法從一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)到達(dá)網(wǎng)絡(luò)中的孤立節(jié)點(diǎn)。因此，在網(wǎng)絡(luò)中存在孤立節(jié)點(diǎn)的情形：P${}_n$(0)$\equiv$ 0<P(0)。
我們記

下式表明網(wǎng)絡(luò)的二階度分布特性包含了一階度分布特性：

若網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否有邊相連與這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的度值無關(guān)，即網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇的一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)的度是完全隨機(jī)的，既有

那么就稱網(wǎng)絡(luò)不具有度相關(guān)性，或者稱網(wǎng)絡(luò)是中性的，否則，就稱網(wǎng)絡(luò)具有度相關(guān)性。
對(duì)于度相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)，如果總體上度大的節(jié)點(diǎn)傾向于連接度大的節(jié)點(diǎn)，那么就稱網(wǎng)絡(luò)是度正相關(guān)的，或者稱網(wǎng)絡(luò)是同配的；如果總體上度大的節(jié)點(diǎn)傾向于連接度小的節(jié)點(diǎn)，那么就稱網(wǎng)絡(luò)是度負(fù)相關(guān)的，或者稱網(wǎng)絡(luò)是異配的。 下圖表明，具有相同度序列(從而也具有相同度分布)的網(wǎng)絡(luò)可以具有完全不同的度相關(guān)性。

三、余平均度

1、定義

另一種更為簡(jiǎn)潔的判斷度相關(guān)性的方法是計(jì)算度為k的節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)的平均度，也稱度為k節(jié)點(diǎn)的余平均度。記為<k${}_{nn}$>(k)。

2、計(jì)算

2.1 計(jì)算方式1

假設(shè)節(jié)點(diǎn)i的k${}_i$個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)的度為k${}_{i_j}$，j=1，2，3，，，k${}_i$。我們可以計(jì)算節(jié)點(diǎn)i的余平均度<k${}_{nn}$>(i)如下：

例如上圖的余平均度為：

2.2 計(jì)算方式2

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中度為k的節(jié)點(diǎn)為v${}_1$,v${}_2$，，，v${}_i$，那么度為k的節(jié)點(diǎn)的余平均度可計(jì)算如下：

3、余平均度與與條件概率和聯(lián)合概率的關(guān)系

<k${}_{nn}$>(k)與田間概率和聯(lián)合概率的關(guān)系如下：

如果<k${}_{nn}$>(k)是k的增函數(shù)，那么就意味著平均而言，度大的節(jié)點(diǎn)傾向于與度大的節(jié)點(diǎn)連接，從而表明網(wǎng)絡(luò)是同配的；反之，如果<k${}_{nn}$>(k)是k的減函數(shù)，那么就意味著平均而言，度大的節(jié)點(diǎn)傾向于與度小的節(jié)點(diǎn)連接，從而表明網(wǎng)絡(luò)是異配的；如果網(wǎng)絡(luò)不具有度相關(guān)性，那么<k${}_{nn}$>(k)是一個(gè)與k無關(guān)的常數(shù)：

四、同配系數(shù)

我們介紹如何用一個(gè)指標(biāo)來刻畫網(wǎng)絡(luò)同配還是異配，由前面的式子我們知道網(wǎng)絡(luò)是度相關(guān)就意味著e${}_{jk}$與q${}_j$q${}_k$之間不恒等。可以考慮用兩者之間的差的大小刻畫網(wǎng)絡(luò)的同配或異配程度，即如下定義的度相關(guān)函數(shù)：

一般來說，規(guī)模大的網(wǎng)絡(luò)根據(jù)上式計(jì)算的到的值的絕對(duì)值也越大，但可以通過歸一化處理消除這一影響，從而可以比較不同規(guī)模網(wǎng)絡(luò)同配或異配程度。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)為完全同配時(shí)，e${}_{jk}$=q${}_k$${\delta }_{jk}$，上式定義的度相關(guān)函數(shù)達(dá)到最大值，即為余度分布q${}_k$的方差：

于是得到歸一化的相關(guān)系數(shù)，也稱同配系數(shù)如下：

其中r$\in$[-1,1]，r>0時(shí)網(wǎng)絡(luò)同配，r<0時(shí)網(wǎng)絡(luò)異配。|r|的大小反應(yīng)了網(wǎng)絡(luò)中同配或異配的強(qiáng)弱程度。

五、實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的同配性質(zhì)

蛋白質(zhì)交互網(wǎng)絡(luò)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等生物網(wǎng)絡(luò)以及互聯(lián)網(wǎng)和www等技術(shù)網(wǎng)絡(luò)都是異配的，包括科研人員合作和電影演員合作在內(nèi)的許多現(xiàn)實(shí)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)往往呈現(xiàn)較為明顯的同配性特征，而不同的在線社會(huì)網(wǎng)絡(luò)卻可能呈現(xiàn)不同的同配、異配或接近中性的特征。

六、同配概念的一般化

從更為一般的角度看，同配就是指屬性相近的節(jié)點(diǎn)傾向于互相連接。這里的屬性可以是節(jié)點(diǎn)的度值，但也可以是我們感興趣的其他特性，例如,社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體的職業(yè)、年齡種族、信仰等等。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的度相关性与同配性的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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