一、高階度分布的引入

平均度< k >=2M/N可以視為網絡的0階度分布特性，它除了告訴我們網絡中有多少條邊之外，并沒有給出這些邊是如何安置在網絡中的任何信息。給定一個網絡的節點數N和邊數M，那么任一與該網絡具有相同節點數和邊數的網絡模型也具有相同的平均度。
網絡的度分布P(k) =n(k)/N可以視為網絡的1階度分布特性，它刻畫了網絡中不同度的節點各自所占的比例，這里n(k)是網絡中度為k的節點數。如果隨機地從網絡中選取一個節點，那么該節點度為k的概率即為P(k)。顯然，度分布中已經包含了平均度的信息:

具有相同度分布的兩個網絡可能具有非常不同的其它性質或行為，例如上圖上圖是具有兩個完全相同度序列的網絡，但結構卻不同，為了進一步刻畫網絡的拓撲結構，需要考慮包含更多結構信息的高階拓撲特性。

二、聯合概率分布

1、聯合概率分布定義

聯合概率P(j,k)定義為網絡中隨機選取的一條邊的兩個端點的度分別為j和k的概率，即為網絡中度為j的節點和度為k的節點之間存在的邊數占網絡總邊數的比例：

其中，m(j,k)是度為j的節點和度為k的節點之間的連邊數；如果j=k，那么$\mu$(j,k) =2，否則$\mu$(j,k) =1。

2、聯合概率分布性質

（1）對稱性：

（2）歸一化：

（3）余度分布：

其中k${}_{min}$和k${}_{max}$分別為網絡中節點的度的最小值和最大值。P${}_n$(k)表示網絡中隨機選取的一個節點隨機選取的一個鄰居節點度為k的概率。
這里要注意的是，P${}_n$(k)與度分布P(k)是不同的。例如，我們無法從一個節點出發到達網絡中的孤立節點。因此，在網絡中存在孤立節點的情形：P${}_n$(0)$\equiv$ 0<P(0)。
我們記

下式表明網絡的二階度分布特性包含了一階度分布特性：

若網絡中兩個節點是否有邊相連與這兩個節點的度值無關，即網絡中隨機選擇的一條邊的兩個端點的度是完全隨機的，既有

那么就稱網絡不具有度相關性，或者稱網絡是中性的，否則，就稱網絡具有度相關性。
對于度相關的網絡，如果總體上度大的節點傾向于連接度大的節點，那么就稱網絡是度正相關的，或者稱網絡是同配的；如果總體上度大的節點傾向于連接度小的節點，那么就稱網絡是度負相關的，或者稱網絡是異配的。 下圖表明，具有相同度序列(從而也具有相同度分布)的網絡可以具有完全不同的度相關性。

三、余平均度

1、定義

另一種更為簡潔的判斷度相關性的方法是計算度為k的節點的鄰居節點的平均度，也稱度為k節點的余平均度。記為<k${}_{nn}$>(k)。

2、計算

2.1 計算方式1

假設節點i的k${}_i$個鄰居節點的度為k${}_{i_j}$，j=1，2，3，，，k${}_i$。我們可以計算節點i的余平均度<k${}_{nn}$>(i)如下：

例如上圖的余平均度為：

2.2 計算方式2

假設網絡中度為k的節點為v${}_1$,v${}_2$，，，v${}_i$，那么度為k的節點的余平均度可計算如下：

3、余平均度與與條件概率和聯合概率的關系

<k${}_{nn}$>(k)與田間概率和聯合概率的關系如下：

如果<k${}_{nn}$>(k)是k的增函數，那么就意味著平均而言，度大的節點傾向于與度大的節點連接，從而表明網絡是同配的；反之，如果<k${}_{nn}$>(k)是k的減函數，那么就意味著平均而言，度大的節點傾向于與度小的節點連接，從而表明網絡是異配的；如果網絡不具有度相關性，那么<k${}_{nn}$>(k)是一個與k無關的常數：

四、同配系數

我們介紹如何用一個指標來刻畫網絡同配還是異配，由前面的式子我們知道網絡是度相關就意味著e${}_{jk}$與q${}_j$q${}_k$之間不恒等。可以考慮用兩者之間的差的大小刻畫網絡的同配或異配程度，即如下定義的度相關函數：

一般來說，規模大的網絡根據上式計算的到的值的絕對值也越大，但可以通過歸一化處理消除這一影響，從而可以比較不同規模網絡同配或異配程度。當網絡為完全同配時，e${}_{jk}$=q${}_k$${\delta }_{jk}$，上式定義的度相關函數達到最大值，即為余度分布q${}_k$的方差：

于是得到歸一化的相關系數，也稱同配系數如下：

其中r$\in$[-1,1]，r>0時網絡同配，r<0時網絡異配。|r|的大小反應了網絡中同配或異配的強弱程度。

五、實際網絡中的同配性質

蛋白質交互網絡和神經網絡等生物網絡以及互聯網和www等技術網絡都是異配的，包括科研人員合作和電影演員合作在內的許多現實社會網絡往往呈現較為明顯的同配性特征，而不同的在線社會網絡卻可能呈現不同的同配、異配或接近中性的特征。

六、同配概念的一般化

從更為一般的角度看，同配就是指屬性相近的節點傾向于互相連接。這里的屬性可以是節點的度值，但也可以是我們感興趣的其他特性，例如,社會網絡中個體的職業、年齡種族、信仰等等。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的度相关性与同配性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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