一、集合的概念

所謂集合，是指具有某種確定性質的“事物”的全體，可簡稱為集。將構成集合的一個個“事物”稱為“元素”，也可簡稱為“元”。
有限集：一個集合含有有限多個元素。
單元素集：只含一個元素的集合。
空集：不含任何元素的集合。
無限集：不是有限集的集合稱為無線集。
在理解集合概念時，要注意如下三點：
（1）一個集合的元素所具有的性質或滿足的條件必須是明確的。
（2）集合中的各元的必須是彼此能夠分辨的、互異的，因此，在用列舉法表示集合時，其中的元素不能重復出現。
（3）集合中的元的沒有先后次序之分。

二、集合的包含關系與子集

設A、B是任意集合
（1）若$?$x$\in$A$?$$?$x$\in$B，則稱A含于B（或B包含A），記為A$?$B（或B$?$A）,并稱A是B的子集。
（2）若A$?$B，且B$?$A，則稱A與B相等，記為A=B，否則則記為A$=$B。
（3）若A$?$B，但A$=$B，則稱A是B的真子集，記為A$?$B。
由定義可知，空集$?$是任何集合A的子集，即總有
$??$A，此外，不難得出集合之間的包含關系“$?$”具有以下性質：
（1）自反性：A$?$A；
（2）傳遞性：若A$?$B，B$?$C，則A$?$C。
注意：并不是任何集合之間都具有包含關系。

三、集合的交、并、差運算

在研究某個問題時，所涉及的所有集合都是某個集合X的子集，于是我們將X稱為基本集合，也可稱為全集。

1、定義

定義1.2 設X是基本集合，A,B$?$X，
（1）A與B的交：A$\cap$B$\equiv${x|x$\in$A且x$\in$B}，即由A與B的公共元素構成的集合。
（2）A與B的并：A$\cup$B$\equiv${x|x$\in$A或x$\in$B}，即由A與B的所有元素構成的集合。
（3）A與B的差：A\B$\equiv${x|x$\in$A且x$\in /$B}，即由屬于A而不屬于B的元素構成的集合，也可記為A-B；稱差X\A為集合A的余集或補集，記為A${}^c$。

2、性質

（1）A$\cap$B$?$A，A$\cap$B$?$B，A$?$A$\cup$B，B$?$A$\cup$B，A\B$?$A，A\B$\in /$B;
（2）A$\cap ?$=$?$，A$\cup ?$=A，A$\cap$X=A，A$\cup$X=X；
（3）A$\cap$A${}^c$=$?$，A$\cup$A${}^c$=X,，（A${}^C$）${}^C$=A，X${}^c$=$?$，${?}^c$=X；
（4）A$?$B<=>A${}^C?$B${}^C$;
（5）A\B=A$\cap$B${}^C$;
（6）當A$\cap$B=$?$（即A與B不相交）時，A$?$B${}^C$，B$?$A${}^C$。

3、定理

設X是基本集合，A,B,C$?$X,則有
（1）冪等律：A$\cap$A=A，A$\cup$A=A；
（2）交換律：A$\cap$B=B$\cap$A，A$\cup$B=B$\cup$A；
（3）結合律：（A$\cap$B）$\cap$C=A$\cap$（B$\cap$C），（A$\cup$B）$\cup$C=A$\cup$（B$\cup$C）；
（4）分配律：A$\cap$（B$\cup$C）=（A$\cap$B）$\cup$（A$\cap$C），A$\cup$（B$\cap$C）=（A$\cup$B）$\cap$（A$\cup$C）;
（5）對偶律：（A$\cap$B）${}^c$=A${}^c\cup$B${}^c$，（A$\cup$B）${}^c$=A${}^c\cap$B${}^c$;

四、集合的直積

1、定義

設A,B是任意集合，由所有有序對（a，b）構成的集合{（a，b）|a$\in$A,b$\in$B}稱為A與B的直積，或笛卡爾乘積，記為A$\times$B，并將A與B分別稱為A$\times$B的第一坐標集和第二坐標集。

2、性質

值積有如下性質：
（1）不滿足交換律，即一般地A$\times$B$=$B$\times$A；
（2）滿足結合律，即A$\times$（B$\times$C）= （A$\times$B）$\times$C
（3）A$\times ?$=$?$，$?\times$A=$?$.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的集合及其运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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