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2.4.1 矩陣的秩

1）定義?

??? 在m×n矩陣中，任選r個行和r個列，將位于這r個行和r個行的交叉點上的個元素所構成的一個r階行列式?

????????????????????????????????????（2-38）?

叫做A的一個r階子式，顯然。?

??? 如果在m×n矩陣A中，有一個k階子式不為零，而所有的（k＋1）階子式都為零，則說A的秩等于k，記為。?

??? 當A的秩等于m時，則稱A為行滿秩陣，顯然有：；當A的秩等于n時，則稱A為列滿秩陣，顯然有：。特別地，當A是n階方陣時，如果，則稱A為滿秩方陣。?

【例2-10】? 證明的秩。?

【證】首先，在A中有一個二階子式：；其次，經計算，A的任一個三階子式皆為零，例如：。因此，根據定義得：。證畢。?
2）性質?
??? 矩陣的秩有以下幾個性質：?
??? （1）設A為n×n矩陣，則的充要條件是：矩陣A的行列式不為零；?
??? （2）對任意矩陣A，其轉置矩陣與A有相同的秩，即：＝；?
??? （3）矩陣B、C的秩，均不小于它們相乘所得的矩陣A＝BC的秩，即：，；?
??? （4）設A為m×n陣，如果P、Q分別為m階、n階的滿秩方陣，則：，，這個性質表明，任何矩陣，經與一個滿秩方陣相乘后，其秩不變。?

2.4.2?廣義逆矩陣?
??? 如果矩陣不是方陣或方陣是奇異方陣，則對A的求逆就稱為廣義逆，通常稱為g逆。為區別起見，我們稱非奇異矩陣的逆陣為凱利逆。下面介紹廣義逆矩陣的概念。?
1）左逆（列滿秩陣的逆）
????設誤差方程為：?????????????????????????????（2-39）?
??? 上式為矛盾方程組。當A的秩時，A為列滿秩陣。令：?
???????????????????????????????????????????????????（2-40）?
??? 式中稱為列滿秩陣A的左逆，它滿足：?
???????????????????????????????????????????（2-41）?
??? 但是，，且?為奇異陣，其行列式的值。?
【例2-11】已知??， 求矩陣A的逆。?
【解】因為R（A）＝2，故A為列滿秩陣，由公式（2-40）得：?
????
利用公式（2-41）進行驗算：?
??? 注意：，經計算，。?
??? 左逆的一般表達式為：????????????????????（2-42）?
??? 其中，M為一個任意t階滿秩方陣。?
??? 因此，列滿秩陣A的逆不是唯一的。?
??? 設：，接公式（2-42）計算例2-11中的A的左逆：?
??????
驗算：???
2）右逆（行滿秩陣的逆）?
??? 設條件方程為：?

?????????? （?r<n）????????????????????????????????? （ 2-43）????????????????? 上式為相容方程組，當系數陣A的秩R（A）＝?時，A為行滿秩陣。?
??? 行滿秩陣A的右逆為：??????????????????????????（2-44）?
??? 它滿足：?
???????????????????????????????????????? （2-45）?
??? 右逆的一般表達式為：?????????????????（2-46）?
??? 其中U為一個任意n階方陣U，且?
??? 因此，行滿秩陣A的右逆也不是唯一的。?
【例2-12】? 求矩陣??的逆陣。?
【解】因為R（A）＝2，則A為行滿秩矩陣。由（2-44）式得：?
?????? ???
驗算：?
設：，由（2-46）式得：????
驗算：?
3）廣義逆?
??? 設矩陣的秩R（A）≤min（m，n），則A的逆為廣義逆，通常稱為g逆。它滿足下列等式：?
????????????????????????????????????????????????????? （2-47）?
??? 凱利逆、左逆和右逆都能滿足（2-47）式，因此，它們都是A的廣義逆。A的廣義逆不唯一，設是A的一個g逆，則A的g逆的一般表達式為：?
??????????????????????????????????（2-48）?
??? 式中U和V為任意n×m階矩陣，矩陣G滿足g逆的條件：?
?????? ??
???????????????
??? g逆具有下列性質：?
????????????????????????????????????????????????? （2-49）?
??? 當矩陣的秩R（A）<min（m，n）時，A為降秩矩陣。可用秩分解法，或降階法求A的廣義逆。?
（1）秩分解法?
??? 當矩陣的秩R（A）<min（m，n）時，可分解為一個列滿秩矩陣B，與一個行滿秩矩陣C的乘積，即：?
????????????????????????? t<min（m，n）???????????????????? （2-50）?
??? 各矩陣的秩為：R（A）＝R（B）＝R（C）＝t。由（2-50）式可得A的逆為：?
?????????????????????????????????????????????????????????（2-51）?
??? 按（2-47）式檢驗：??
?????????????
??? 按秩分解法求廣義逆，先要將A分解成B和C。一般先選取列滿秩矩陣B，設其逆為，則矩陣C可按照下式求得：?
????????????????????????????????????????? （2-52）?
【例2-13】? 應用秩分解法求矩陣的逆陣。?
【解】經計算 R（A）＝2，取：?，R（B）＝2，由（2-52）式得：?
??????????????
按（2-50）式進行驗算：?
???????
由公式（2-51）得A的廣義逆為：?
??????
驗算：?
?????
（2）降階法?
??? 當為奇異方陣，秩虧數d＝t－R（A），例如：，R（A）＝2，則d＝1。秩虧d＝1，說明方陣A有一個行（或列）向量與其它兩個行（或列）向量線性相關。因此可將方陣A刪去某一行和相應的某一列降階求逆，然后將刪去的行和列以“0”補之，即得矩陣A的廣義逆。如對矩陣A，如果刪去第一行和第一列，則有：?
??????????????，???
??? 矩陣A的逆為：?
驗算：?
??? 如果刪去第二行第二列，或者刪去第三行第三列，所得的各不相同，但都能滿足公式（2-47），因此說明具有多個解，而不是唯一的。?
4）廣義逆?
??? 前面所述的是一個重要的廣義逆矩陣，它是存在的，但不是唯一的。如果作某些限制，可得到唯一的廣義逆，通常稱為偽逆。設有矩陣，如矩陣能滿足下列四個條件，則稱矩陣G為矩陣A的廣義逆，即：?
??????? ??????????????????????????????????????????? （2-53）?
??? 當A為非奇異的方陣時，其逆能滿足（2-53）式中的四個條件，故是A的廣義逆。?
??? 當A為列滿秩陣時，其逆也能滿足公式（2-53）中的四個條件，故是A的廣義逆。?
??? 當A為行滿秩陣時，其逆也能滿足（2-53）式中的四個條件，故是A的廣義逆。?
??? 當矩陣的秩R（A）<min（m，n）時，秩分解A＝BC，，而A的逆也能滿足公式（2-53）中的四個條件，因此，也是A的廣義逆。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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