海盗分金
海盜，大家聽(tīng)說(shuō)過(guò)吧。這是一幫亡命之徒，在海上搶人錢財(cái)，奪人性
命，干的是刀頭上舔血的營(yíng)生。在我們的印象中，他們一般都瞎一只
眼，用條黑布或者講究點(diǎn)的用個(gè)黑皮眼罩把壞眼遮上。他們還有在地
下埋寶的好習(xí)慣，而且總要畫上一張藏寶圖，以方便后人掘取。不過(guò)
大家是否知道，他們是世界上最民主的團(tuán)體。參加海盜的都是桀驁不
馴的漢子，是不愿聽(tīng)人命令的，船上平時(shí)一切事都由投票解決。船長(zhǎng)
的唯一特權(quán)，是有自己的一套餐具--可是在他不用時(shí)，其他海盜是
可以借來(lái)用的。船上的唯一懲罰，就是被丟到海里去喂魚(yú)。 現(xiàn)在船上有若干個(gè)海盜，要分搶來(lái)的若干枚金幣。自然，這樣的問(wèn)題
他們是由投票來(lái)解決的。投票的規(guī)則如下：先由最兇猛的海盜來(lái)提出
分配方案，然后大家一人一票表決，如果有50%或以上的海盜同意這個(gè)
方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盜同意，那么這個(gè)提出
方案的海盜就將被丟到海里去喂魚(yú)，然后由剩下的海盜中最兇猛的那
個(gè)海盜提出方案，依此類推。 我們先要對(duì)海盜們作一些假設(shè)。
1)每個(gè)海盜的兇猛性都不同，而且所有海盜都知道別人的兇猛性，也
就是說(shuō)，每個(gè)海盜都知道自己和別人在這個(gè)提出方案的序列中的位置。
另外，每個(gè)海盜的數(shù)學(xué)和邏輯都很好，而且很理智。最后，海盜間私
底下的交易是不存在的，因?yàn)楹１I除了自己誰(shuí)都不相信。
2)一枚金幣是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。
3)每個(gè)海盜當(dāng)然不愿意自己被丟到海里去喂魚(yú)，這是最重要的。
4)每個(gè)海盜當(dāng)然希望自己能得到盡可能多的金幣。
5)每個(gè)海盜都是現(xiàn)實(shí)主義者，如果在一個(gè)方案中他得到了1枚金幣，而
下一個(gè)方案中，他有兩種可能，一種得到許多金幣，一種得不到金幣，
他會(huì)同意目前這個(gè)方案，而不會(huì)有僥幸心理。總而言之，他們相信二
鳥(niǎo)在林，不如一鳥(niǎo)在手。
6)最后，每個(gè)海盜都很喜歡其他海盜被丟到海里去喂魚(yú)。在不損害自
己利益的前提下，他會(huì)盡可能投票讓自己的同伴喂魚(yú)。 現(xiàn)在，如果有10個(gè)海盜要分100枚金幣，將會(huì)怎樣？ 要解決這類問(wèn)題，我們總是從最后的情形向后推，這樣我們就知道在
最后這一步中什么是好的和壞的決定。然后運(yùn)用這個(gè)知識(shí)，我們就可
以得到最后第二步應(yīng)該作怎樣的決定，等等等等。要是直接就從開(kāi)始
入手解決問(wèn)題，我們就很容易被這樣的問(wèn)題擋住去路：'要是我作這
樣的決定，下面一個(gè)海盜會(huì)怎么做？' 以這個(gè)思路，先考慮只有2個(gè)海盜的情況（所有其他的海盜都已經(jīng)被丟
到海里去喂魚(yú)了）。記他們?yōu)镻1和P2，其中P2比較兇猛。P2的最佳方
案當(dāng)然是：他自己得100枚金幣，P1得0枚。投票時(shí)他自己的一票就足
夠50%了。 往前推一步。現(xiàn)在加一個(gè)更兇猛的海盜P3。P1知道--P3知道他知道
--如果P3的方案被否決了，游戲就會(huì)只由P1和P2來(lái)繼續(xù)，而P1就一
枚金幣也得不到。所以P3知道，只要給P1一點(diǎn)點(diǎn)甜頭，P1就會(huì)同意他
的方案（當(dāng)然，如果不給P1一點(diǎn)甜頭，反正什么也得不到，P1寧可投
票讓P3去喂魚(yú)）。所以P3的最佳方案是：P1得1枚，P2什么也得不到，
P3得99枚。 P4的情況差不多。他只要得兩票就可以了，給P2一枚金幣就可以讓他
投票贊同這個(gè)方案，因?yàn)樵诮酉聛?lái)P3的方案中P2什么也得不到。P5也
是相同的推理方法只不過(guò)他要說(shuō)服他的兩個(gè)同伴，于是他給每一個(gè)在
P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金幣，自己留下98枚。 依此類推，P10的最佳方案是：他自己得96枚，給每一個(gè)在P9方案中什
么也得不到的P2，P4，P6和P8一枚金幣。 下面是以上推理的一個(gè)表（Y表示同意，N表示反對(duì)）： P1 P2
0 100
N Y P1 P2 P3
1 0 99
Y N Y P1 P2 P3 P4
0 1 0 99
N Y N Y P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 98
Y N Y N Y …… P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
0 1 0 1 0 1 0 1 0 96
N Y N Y N Y N Y N Y ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 現(xiàn)在我們將海盜分金問(wèn)題推廣：
1)改變一下規(guī)則，投票中方案必須得到超過(guò)50%的票數(shù)（只得到50%票
數(shù)的方案的提出者也會(huì)被丟到海里去喂魚(yú)），那么如何解決10個(gè)海盜
分100枚金幣的問(wèn)題？
2)不改變規(guī)則，如果讓500個(gè)海盜分100枚金幣，會(huì)發(fā)生什么？
3)如果每個(gè)海盜都有1枚金幣的儲(chǔ)蓄，他可以把這枚金幣用在分配方案
中，如果他被丟到海里去喂魚(yú)，那么他的儲(chǔ)蓄將被并在要分配的金幣
堆中，這時(shí)候又怎樣？ 通過(guò)對(duì)規(guī)則的細(xì)小改變，海盜分金問(wèn)題可以有許多變化，但是最有趣
的大概是1)和2)（規(guī)則仍為50%票數(shù)即可）的情況，本帖只對(duì)這兩種情
況進(jìn)行討論。 首先考慮1)。現(xiàn)在只有P1和P2的情形變得對(duì)P2其糟無(wú)比：1票是不夠的，
可是就算他把100枚金幣都給P1，P1也照樣會(huì)把他丟到海里去。可是P2
很關(guān)鍵，因?yàn)槿绻鸓3進(jìn)行分配方案的話，即使他一枚金幣也不給P2，
P2也會(huì)同意，這樣一來(lái)P3就有P2這張鐵票！P3的最佳方案就是：獨(dú)吞
100枚金幣。 P4要3張票，而P3是一定反對(duì)他的，而如果不給P2一點(diǎn)甜頭，P2也會(huì)反
對(duì)，因?yàn)镻2可以在P3的方案中得救，目前為什么不把P4丟到海里呢？
所以要分別給P1和P2一枚金幣，這樣P4就有包括他自己1票的3票。P4
的方案為：P1，P2每人1枚金幣，他自己98枚。 P5的情況要復(fù)雜點(diǎn)，他也要3票。P4是會(huì)反對(duì)他的，所以不用給，給
P3一枚金幣就能使他支持自己的方案，因?yàn)樵诮酉聛?lái)的P4方案中他什
么也得不到。問(wèn)題是P1和P2：只要其中有一個(gè)支持就可以了。可是只
給1枚金幣是不行的，P4方案中他們一定有1枚金幣可得，所以只要在
他們中隨便選一個(gè)，給2枚金幣，另一個(gè)就對(duì)不起了，不給。這樣P5
的方案是：自己97枚，P3得1枚，P1或P2得2枚。 P6的方案建立在P5的上面，只要給每個(gè)P5方案中不得益的海盜1枚金幣。
要注意的是，P1和P2都應(yīng)該看作在P5方案中不得益的：他們可能得2枚，
可是也可能1枚不得，所以只要P6給他們1枚金幣，根據(jù)'二鳥(niǎo)在林，
不如一鳥(niǎo)在手'的原則，就可以讓他們支持P6的方案。所以P6的方案
是唯一的：P1，P2，P4每人1枚金幣，P6自己拿97枚。 這樣繼續(xù)下去，P9的方案是：P3，P5，P7每人1枚金幣，然后在P1，
P2，P4，P6中任選一人給2枚金幣，P9自己得95枚。最后，P10的方案
是唯一的：P1，P2，P4，P6，P8每人1枚金幣，P10自己得95枚。 2)是最有趣的（提醒：我們回到50%票即可的規(guī)則）。原題解中的推理
過(guò)程直到200個(gè)海盜都是成立的：P200給每個(gè)偶數(shù)號(hào)的海盜1枚金幣，
包括他自己，其他海盜什么也得不到。從P201開(kāi)始，繼續(xù)推理就變得
有點(diǎn)困難了：P201為了不被丟到海里去，必須什么也不留給自己，而
給從P1到P199中所有奇數(shù)號(hào)海盜每人1枚金幣，從而爭(zhēng)取到100票，加
上他自己1票，逃過(guò)一劫。P202也什么都得不到，他必須用這100枚金
幣買通100個(gè)從P201的方案中什么也得不到的海盜，要注意到現(xiàn)在這個(gè)
方案不是唯一的：P201的方案中得不到金幣的海盜是所有奇數(shù)號(hào)的海
盜，有101個(gè)（包括P201），所以有101種方案。 P203必須得到102票，除了自己的1票外，他只有100枚金幣，所以只能
買到100票，所以可憐的家伙就被丟到海里喂魚(yú)了。但是，P203是個(gè)很
重要的角色，因?yàn)镻204知道如果自己的方案不被通過(guò)，P203也一樣會(huì)
完蛋，所以他有P203的一張鐵票。所以P204可以大出一口氣：他自己
一票，加上P203一票，然后加上用100枚金幣買的確100票，他就得救
了！100個(gè)有幸得到1枚金幣的海盜，可以是P1到P202中任何100個(gè)：因
為其中的偶數(shù)號(hào)的從P202的方案中什么也得不到，如果P204給他們中
某個(gè)海盜1枚金幣，這個(gè)海盜一定會(huì)贊同這個(gè)方案；而編號(hào)為奇數(shù)的海
盜呢，只是有可能從P202的方案中得益罷了（可能性為100/101），所
以根據(jù)'二鳥(niǎo)在林，不如一鳥(niǎo)在手'的原則，如果能得到1枚金幣，他
也會(huì)贊同這個(gè)方案。 接下去P205是不能把希望放在P203和P204這兩張票上的，因?yàn)榫退闼?
被丟到海里去，P203和P204還可以通過(guò)P204的方案機(jī)會(huì)活下來(lái)。P206
雖然可以靠P205的鐵票，加上自己1票和100枚金幣搞到的100票，只有
102票，所以他也被丟到海里喂魚(yú)。P207好不了多少，他需要104票，
而他自己以及P205和P206的鐵票加上100枚金幣搞到的100票只有103票
--只好下海。 P208運(yùn)氣比較好，他同樣也要104票，可是P205，P206，P207都會(huì)投票
贊成他的方案！加上他自己的1票和買來(lái)的100票，他終于逃脫了做魚(yú)
食的命運(yùn)。 這樣我們就有了一種可以一直推下去的新邏輯。海盜可以什么也不留
給自己，買上100票，然后依靠一部分一定會(huì)被丟下海的海盜的鐵票，
從而讓自己的方案通過(guò)。有這樣運(yùn)氣的海盜分別是P201，P202，P204，
P208，P216，P232，P264，P328和P456……我們看到這樣的號(hào)碼是200
加上一個(gè)2的次冪。 哪些海盜是受益者呢，顯然鐵票是不用（不能）給金幣的。所以只有
上一個(gè)幸運(yùn)號(hào)碼及他以前的那些海盜才有可能得到1枚金幣。于是我們
得到500海盜分100枚金幣的結(jié)論是：前44個(gè)最兇猛的海盜被丟進(jìn)海里，
然后P456給P1到P328中的100個(gè)海盜每人1枚金幣。 就這樣，最兇猛的海盜被丟進(jìn)海里，而比較兇猛的什么也得不到，而
只有最溫柔的那些海盜，才有可能得到1枚金幣。正如《馬太福音》所
說(shuō)：'溫柔的人有福了，因?yàn)樗麄儽爻惺艿赝?#xff01;'
上面的500海盜分100金幣的過(guò)程推導(dǎo)有些問(wèn)題：
1. 當(dāng)n<=200,n為偶數(shù)，給所有偶數(shù)編號(hào)的海盜一個(gè)金幣；n為奇數(shù)，給所有奇數(shù)編號(hào)的一個(gè)金幣。
2. n = 201,給1-199所有奇數(shù)一個(gè)金幣，自己什么沒(méi)有
202,從2-200所有偶數(shù)以及201，從這101個(gè)海盜中選取100個(gè)海盜給金幣，自己也什么沒(méi)有
203，投海
204, 203必支持，這100個(gè)金幣給1-202中的任意100即可，因?yàn)?#xff0c;2-200的奇數(shù)在202方案中得不到金幣，而偶數(shù)的海盜只是有可能獲得金幣，所以金幣不管給誰(shuí)一定會(huì)支持；
205,206,207，投海
208， 其中205,206,207必然支持，
現(xiàn)在可以看出一條新的、此后將一直有效的規(guī)律：那些方案能過(guò)關(guān)的海盜（他們的分配方案全都是把金子用來(lái)收買100名同伙而自己一點(diǎn)都得不到）相隔的距離越來(lái)越遠(yuǎn)，而在他們之間的海盜則無(wú)論提什么樣的方案都會(huì)被扔進(jìn)海里——因此為了保命，他們必會(huì)投票支持比他們厲害的海盜提出的任何分配方案。得以避免葬身魚(yú)腹的海盜包括201、202、204、208、216、232、2****、328、456號(hào)，即其號(hào)碼等于200加2的某一方冪的海盜。
現(xiàn)在我們來(lái)看看哪些海盜是獲得賄賂的幸運(yùn)兒。分配賄賂的方法是不唯一的，其中一種方法是讓201號(hào)海盜把賄賂分給1到199號(hào)的所有奇數(shù)編號(hào)的海盜，讓202號(hào)分給2到200號(hào)的所有偶數(shù)編號(hào)的海盜，然后是讓204號(hào)賄賂奇數(shù)編號(hào)的海盜，208號(hào)賄賂偶數(shù)編號(hào)的海盜，如此類推，也就是輪流賄賂奇數(shù)編號(hào)和偶數(shù)編號(hào)的海盜（這個(gè)不一定）。
結(jié)論是：當(dāng)500名海盜運(yùn)用最優(yōu)策略來(lái)瓜分金子時(shí)，頭44名海盜必死無(wú)疑，而456號(hào)海盜則給從1到199號(hào)中所有奇數(shù)編號(hào)的海盜每人分1塊金子，問(wèn)題就解決了。由于這些海盜所實(shí)行的那種民主制度，他們的事情就搞成了最厲害的一批海盜多半都是下海喂魚(yú)，不過(guò)有時(shí)他們也會(huì)覺(jué)得自己很幸運(yùn)——雖然分不到搶來(lái)的金子，但總可以免于一死。只有最怯懦的200名海盜有可能分得一份臟物，而他們之中又只有一半的人能真正得到一塊金子，的確是怯懦者繼承財(cái)富。
總結(jié)
