pca 和lda区别
http://blog.csdn.net/scyscyao/article/details/5987581
這學期選了門模式識別的課。發現最常見的一種情況就是，書上寫的老師ppt上寫的都看不懂，然后繞了一大圈去自己查資料理解，回頭看看發現，Ah-ha，原來本質的原理那么簡單，自己一開始只不過被那些看似formidable的細節嚇到了。所以在這里把自己所學的一些點記錄下來，供備忘，也供參考。
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1. K-Nearest Neighbor
K-NN可以說是一種最直接的用來分類未知數據的方法。基本通過下面這張圖跟文字說明就可以明白K-NN是干什么的
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簡單來說，K-NN可以看成：有那么一堆你已經知道分類的數據，然后當一個新數據進入的時候，就開始跟訓練數據里的每個點求距離，然后挑離這個訓練數據最近的K個點看看這幾個點屬于什么類型，然后用少數服從多數的原則，給新數據歸類。一個比較好的介紹k-NN的課件可以見下面鏈接，圖文并茂，我當時一看就懂了
http://courses.cs.tamu.edu/rgutier/cs790_w02/l8.pdf
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實際上K-NN本身的運算量是相當大的，因為數據的維數往往不止2維，而且訓練數據庫越大，所求的樣本間距離就越多。就拿我們course project的人臉檢測來說，輸入向量的維數是1024維(32x32的圖，當然我覺得這種方法比較silly)，訓練數據有上千個，所以每次求距離(這里用的是歐式距離，就是我們最常用的平方和開根號求距法) 這樣每個點的歸類都要花上上百萬次的計算。所以現在比較常用的一種方法就是kd-tree。也就是把整個輸入空間劃分成很多很多小子區域，然后根據臨近的原則把它們組織為樹形結構。然后搜索最近K個點的時候就不用全盤比較而只要比較臨近幾個子區域的訓練數據就行了。kd-tree的一個比較好的課件可以見下面鏈接：
http://www.inf.ed.ac.uk/teaching/courses/inf2b/learnnotes/inf2b-learn06-lec.pdf
當然，kd-tree有一個問題就是當輸入維數跟訓練數據數量很接近時就很難優化了。所以用PCA(稍后會介紹)降維大多數情況下是很有必要的?
2. Bayes Classifier 貝葉斯方法一篇比較科普的中文介紹可以見pongba的平凡而神奇的貝葉斯方法:?http://mindhacks.cn/2008/09/21/the-magical-bayesian-method/，實際實現一個貝葉斯分類器之后再回頭看這篇文章，感覺就很不一樣。 在模式識別的實際應用中，貝葉斯方法絕非就是post正比于prior*likelihood這個公式這么簡單，一般而言我們都會用正態分布擬合likelihood來實現。 用正態分布擬合是什么意思呢？貝葉斯方法式子的右邊有兩個量，一個是prior先驗概率，這個求起來很簡單，就是一大堆數據中求某一類數據占的百分比就可以了，比如300個一堆的數據中A類數據占100個，那么A的先驗概率就是1/3。第二個就是likelihood，likelihood可以這么理解：對于每一類的訓練數據，我們都用一個multivariate正態分布來擬合它們(即通過求得某一分類訓練數據的平均值和協方差矩陣來擬合出一個正態分布)，然后當進入一個新的測試數據之后，就分別求取這個數據點在每個類別的正態分布中的大小，然后用這個值乘以原先的prior便是所要求得的后驗概率post了。 貝葉斯公式中還有一個evidence，對于初學者來說，可能會一下沒法理解為什么在實際運算中它不見了。實則上，evidence只是一個讓最后post歸一化的東西，而在模式分類中，我們只需要比較不同類別間post的大小，歸一化反而增加了它的運算量。當然，在有的地方，這個evidence絕對不能省，比如后文提到的GMM中，需要用到EM迭代，這時候如果不用evidence將post歸一化，后果就會很可怕。 Bayes方法一個不錯的參考網頁可見下面鏈接： http://www.cs.mcgill.ca/~mcleish/644/main.html3. Principle Component Analysis PCA，譯為主元分析或者主成份分析，是一種很好的簡化數據的方法，也是PR中常見到不能再常見的算法之一。CSDN上有一篇很不錯的中文博客介紹PCA，《主元分析(PCA)理論分析及應用》，可以見下面鏈接： http://blog.csdn.net/ayw_hehe/archive/2010/07/16/5736659.aspx 對于我而言，主元分析最大的意義就是讓我明白了線性代數中特征值跟特征向量究竟代表什么，從而讓我進一步感受到了線性代數的博大精深魅力無窮。- -|||
PCA簡而言之就是根據輸入數據的分布給輸入數據重新找到更能描述這組數據的正交的坐標軸，比如下面一幅圖，對于那個橢圓狀的分布，最方便表示這個分布的坐標軸肯定是橢圓的長軸短軸而不是原來的x y。 那么如何求出這個長軸和短軸呢？于是線性代數就來了：我們求出這堆數據的協方差矩陣(關于什么是協方差矩陣，詳見本節最后附的鏈接)，然后再求出這個協方差矩陣的特征值和特征向量，對應最大特征值的那個特征向量的方向就是長軸(也就是主元)的方向，次大特征值的就是第二主元的方向，以此類推。
關于PCA，推薦兩個不錯的tutorial: (1) A tutorial on Principle Component Analysis從最基本的數學原理到應用都有，讓我在被老師的講課弄暈之后瞬間開悟的tutorial: ?http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf (2) 里面有一個很生動的實現PCA的例子，還有告訴你PCA跟SVD是什么關系的，對編程實現的幫助很大(當然大多數情況下都不用自己編了):
?http://www.math.ucsd.edu/~gptesler/283/pca_07-handout.pdf
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4. Linear Discriminant Analysis
LDA，基本和PCA是一對雙生子，它們之間的區別就是PCA是一種unsupervised的映射方法而LDA是一種supervised映射方法，這一點可以從下圖中一個2D的例子簡單看出
圖的左邊是PCA，它所作的只是將整組數據整體映射到最方便表示這組數據的坐標軸上，映射時沒有利用任何數據內部的分類信息。因此，雖然做了PCA后，整組數據在表示上更加方便(降低了維數并將信息損失降到最低)，但在分類上也許會變得更加困難；圖的右邊是LDA，可以明顯看出，在增加了分類信息之后，兩組輸入映射到了另外一個坐標軸上，有了這樣一個映射，兩組數據之間的就變得更易區分了(在低維上就可以區分，減少了很大的運算量)。
PCA 是無監督的，它所作的只是將整組數據整體映射到最方便表示這組數據的坐標軸上，映射時沒有利用任何數據內部的分類信息
用主要的特征代替其他相關的非主要的特征，所有特征之間的相關度越高越好
但是分類任務的特征可能是相互獨立的
LDA是有監督的，使得類別內的點距離越近越好（集中），類別間的點越遠越好。
在實際應用中，最常用的一種LDA方法叫作Fisher?Linear?Discriminant，其簡要原理就是求取一個線性變換，是的樣本數據中“between?classes?scatter?matrix”(不同類數據間的協方差矩陣)和“within?classes?scatter?matrix”(同一類數據內部的各個數據間協方差矩陣)之比的達到最大。關于Fisher LDA更具體的內容可以見下面課件，寫的很不錯~
http://www.csd.uwo.ca/~olga/Courses//CS434a_541a//Lecture8.pdf?
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5. Non-negative Matrix Factorization
NMF，中文譯為非負矩陣分解。一篇比較不錯的NMF中文介紹文可以見下面一篇博文的鏈接，《非負矩陣分解：數學的奇妙力量》
http://chnfyn.blog.163.com/blog/static/26954632200751625243295/
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這篇博文很大概地介紹了一下NMF的來龍去脈(當然里面那幅圖是錯的。。。)，當然如果你想更深入地了解NMF的話，可以參考Lee和Seung當年發表在Nature上面的NMF原文，"Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization"
http://www.seas.upenn.edu/~ddlee/Papers/nmf.pdf
讀了這篇論文，基本其他任何介紹NMF基本方法的材料都是浮云了。
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NMF，簡而言之，就是給定一個非負矩陣V，我們尋找另外兩個非負矩陣W和H來分解它，使得后W和H的乘積是V。論文中所提到的最簡單的方法，就是根據最小化||V-WH||的要求，通過Gradient Discent推導出一個update rule，然后再對其中的每個元素進行迭代，最后得到最小值，具體的update rule見下圖，注意其中Wia等帶下標的符號表示的是矩陣里的元素，而非代表整個矩陣，當年在這個上面繞了好久。。
當然上面所提的方法只是其中一種而已，在http://spinner.cofc.edu/~langvillea/NISS-NMF.pdf中有更多詳細方法的介紹。
相比于PCA、LDA，NMF有個明顯的好處就是它的非負，因為為在很多情況下帶有負號的運算算起來都不這么方便，但是它也有一個問題就是NMF分解出來的結果不像PCA和LDA一樣是恒定的。
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6.?Gaussian?Mixture?Model
GMM高斯混合模型粗看上去跟上文所提的貝葉斯分類器有點類似，但兩者的方法有很大的不同。在貝葉斯分類器中，我們已經事先知道了訓練數據(training?set)的分類信息，因此只要根據對應的均值和協方差矩陣擬合一個高斯分布即可。而在GMM中，我們除了數據的信息，對數據的分類一無所知，因此，在運算時我們不僅需要估算每個數據的分類，還要估算這些估算后數據分類的均值和協方差矩陣。。。也就是說如果有1000個訓練數據10租分類的話，需要求的未知數是1000+10+10(用未知數表示未必確切，確切的說是1000個1x10標志向量,10個與訓練數據同維的平均向量，10個與訓練數據同維的方陣)。。。反正想想都是很頭大的事情。。。那么這個問題是怎么解決的呢？
這里用的是一種叫EM迭代的方法。
具體使用方法可以參考http://neural.cs.nthu.edu.tw/jang/books/dcpr/doc/08gmm.pdf?這份臺灣清華大學的課件，寫的真是相當的贊，實現代碼的話可以參考：
1. 倩倩的博客http://www.cnblogs.com/jill_new/archive/2010/12/01/1893851.html?和
2.?http://www.cs.ru.nl/~ali/EM.m
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當然 Matlab里一般也會自帶GMM工具箱，其用法可以參考下面鏈接：
http://www.mathworks.com/help/toolbox/stats/gmdistribution.fit.html
http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/08/lda-and-pca-machine-learning.html
LDA：
??? LDA的全稱是Linear Discriminant Analysis（線性判別分析），是一種supervised learning。有些資料上也稱為是Fisher’s Linear Discriminant，因為它被Ronald Fisher發明自1936年，Discriminant這次詞我個人的理解是，一個模型，不需要去通過概率的方法來訓練、預測數據，比如說各種貝葉斯方法，就需要獲取數據的先驗、后驗概率等等。LDA是在目前機器學習、數據挖掘領域經典且熱門的一個算法，據我所知，百度的商務搜索部里面就用了不少這方面的算法。
??? LDA的原理是，將帶上標簽的數據（點），通過投影的方法，投影到維度更低的空間中，使得投影后的點，會形成按類別區分，一簇一簇的情況，相同類別的點，將會在投影后的空間中更接近。要說明白LDA，首先得弄明白線性分類器(Linear Classifier)：因為LDA是一種線性分類器。對于K-分類的一個分類問題，會有K個線性函數：
???? 當滿足條件：對于所有的j，都有Yk > Yj,的時候，我們就說x屬于類別k。對于每一個分類，都有一個公式去算一個分值，在所有的公式得到的分值中，找一個最大的，就是所屬的分類了。
??? 上式實際上就是一種投影，是將一個高維的點投影到一條高維的直線上，LDA最求的目標是，給出一個標注了類別的數據集，投影到了一條直線之后，能夠使得點盡量的按類別區分開，當k=2即二分類問題的時候，如下圖所示：
???? 紅色的方形的點為0類的原始點、藍色的方形點為1類的原始點，經過原點的那條線就是投影的直線，從圖上可以清楚的看到，紅色的點和藍色的點被原點明顯的分開了，這個數據只是隨便畫的，如果在高維的情況下，看起來會更好一點。下面我來推導一下二分類LDA問題的公式：
???? 假設用來區分二分類的直線（投影函數)為：
??? LDA分類的一個目標是使得不同類別之間的距離越遠越好，同一類別之中的距離越近越好，所以我們需要定義幾個關鍵的值。
??? 類別i的原始中心點為：（Di表示屬于類別i的點)
??? 類別i投影后的中心點為：
??? 衡量類別i投影后，類別點之間的分散程度（方差）為：
??? 最終我們可以得到一個下面的公式，表示LDA投影到w后的損失函數：
?? 我們分類的目標是，使得類別內的點距離越近越好（集中），類別間的點越遠越好。分母表示每一個類別內的方差之和，方差越大表示一個類別內的點越分散，分子為兩個類別各自的中心點的距離的平方，我們最大化J(w)就可以求出最優的w了。想要求出最優的w，可以使用拉格朗日乘子法，但是現在我們得到的J(w)里面，w是不能被單獨提出來的，我們就得想辦法將w單獨提出來。
?? 我們定義一個投影前的各類別分散程度的矩陣，這個矩陣看起來有一點麻煩，其實意思是，如果某一個分類的輸入點集Di里面的點距離這個分類的中心店mi越近，則Si里面元素的值就越小，如果分類的點都緊緊地圍繞著mi，則Si里面的元素值越更接近0.
?? 帶入Si，將J(w)分母化為：
?? 同樣的將J(w)分子化為：
?? 這樣損失函數可以化成下面的形式：
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?? 這樣就可以用最喜歡的拉格朗日乘子法了，但是還有一個問題，如果分子、分母是都可以取任意值的，那就會使得有無窮解，我們將分母限制為長度為1（這是用拉格朗日乘子法一個很重要的技巧，在下面將說的PCA里面也會用到，如果忘記了，請復習一下高數），并作為拉格朗日乘子法的限制條件，帶入得到：
?? 這樣的式子就是一個求特征值的問題了。
?? 對于N(N>2)分類的問題，我就直接寫出下面的結論了：
?? 這同樣是一個求特征值的問題，我們求出的第i大的特征向量，就是對應的Wi了。
?? 這里想多談談特征值，特征值在純數學、量子力學、固體力學、計算機等等領域都有廣泛的應用，特征值表示的是矩陣的性質，當我們取到矩陣的前N個最大的特征值的時候，我們可以說提取到的矩陣主要的成分（這個和之后的PCA相關，但是不是完全一樣的概念）。在機器學習領域，不少的地方都要用到特征值的計算，比如說圖像識別、pagerank、LDA、還有之后將會提到的PCA等等。
?? 下圖是圖像識別中廣泛用到的特征臉（eigen face），提取出特征臉有兩個目的，首先是為了壓縮數據，對于一張圖片，只需要保存其最重要的部分就是了，然后是為了使得程序更容易處理，在提取主要特征的時候，很多的噪聲都被過濾掉了。跟下面將談到的PCA的作用非常相關。
??? 特征值的求法有很多，求一個D * D的矩陣的時間復雜度是O(D^3), 也有一些求Top M的方法，比如說power method，它的時間復雜度是O(D^2 * M), 總體來說，求特征值是一個很費時間的操作，如果是單機環境下，是很局限的。
PCA：
??? 主成分分析（PCA）與LDA有著非常近似的意思，LDA的輸入數據是帶標簽的，而PCA的輸入數據是不帶標簽的，所以PCA是一種unsupervised learning。LDA通常來說是作為一個獨立的算法存在，給定了訓練數據后，將會得到一系列的判別函數（discriminate function），之后對于新的輸入，就可以進行預測了。而PCA更像是一個預處理的方法，它可以將原本的數據降低維度，而使得降低了維度的數據之間的方差最大（也可以說投影誤差最小，具體在之后的推導里面會談到）。
??? 方差這個東西是個很有趣的，有些時候我們會考慮減少方差（比如說訓練模型的時候，我們會考慮到方差-偏差的均衡），有的時候我們會盡量的增大方差。方差就像是一種信仰（強哥的話），不一定會有很嚴密的證明，從實踐來說，通過盡量增大投影方差的PCA算法，確實可以提高我們的算法質量。
??? 說了這么多，推推公式可以幫助我們理解。我下面將用兩種思路來推導出一個同樣的表達式。首先是最大化投影后的方差，其次是最小化投影后的損失（投影產生的損失最小）。
??? 最大化方差法：
??? 假設我們還是將一個空間中的點投影到一個向量中去。首先，給出原空間的中心點：
??? 假設u1為投影向量，投影之后的方差為：
??? 上面這個式子如果看懂了之前推導LDA的過程，應該比較容易理解，如果線性代數里面的內容忘記了，可以再溫習一下，優化上式等號右邊的內容，還是用拉格朗日乘子法：
??? 將上式求導，使之為0，得到：
??? 這是一個標準的特征值表達式了，λ對應的特征值，u對應的特征向量。上式的左邊取得最大值的條件就是λ1最大，也就是取得最大的特征值的時候。假設我們是要將一個D維的數據空間投影到M維的數據空間中（M < D)， 那我們取前M個特征向量構成的投影矩陣就是能夠使得方差最大的矩陣了。
??? 最小化損失法：
??? 假設輸入數據x是在D維空間中的點，那么，我們可以用D個正交的D維向量去完全的表示這個空間（這個空間中所有的向量都可以用這D個向量的線性組合得到）。在D維空間中，有無窮多種可能找這D個正交的D維向量，哪個組合是最合適的呢？
??? 假設我們已經找到了這D個向量，可以得到：
??? 我們可以用近似法來表示投影后的點：
??? 上式表示，得到的新的x是由前M 個基的線性組合加上后D - M個基的線性組合，注意這里的z是對于每個x都不同的，而b對于每個x是相同的，這樣我們就可以用M個數來表示空間中的一個點，也就是使得數據降維了。但是這樣降維后的數據，必然會產生一些扭曲，我們用J描述這種扭曲，我們的目標是，使得J最小：
??? 上式的意思很直觀，就是對于每一個點，將降維后的點與原始的點之間的距離的平方和加起來，求平均值，我們就要使得這個平均值最小。我們令：
??? 將上面得到的z與b帶入降維的表達式：
??? 將上式帶入J的表達式得到：
???? 再用上拉普拉斯乘子法（此處略），可以得到，取得我們想要的投影基的表達式為：
??? 這里又是一個特征值的表達式，我們想要的前M個向量其實就是這里最大的M個特征值所對應的特征向量。證明這個還可以看看，我們J可以化為：
??? 也就是當誤差J是由最小的D - M個特征值組成的時候，J取得最小值。跟上面的意思相同。
??? 下圖是PCA的投影的一個表示，黑色的點是原始的點，帶箭頭的虛線是投影的向量，Pc1表示特征值最大的特征向量，pc2表示特征值次大的特征向量，兩者是彼此正交的，因為這原本是一個2維的空間，所以最多有兩個投影的向量，如果空間維度更高，則投影的向量會更多。
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總結：
??? 本次主要講了兩種方法，PCA與LDA，兩者的思想和計算方法非常類似，但是一個是作為獨立的算法存在，另一個更多的用于數據的預處理的工作。另外對于PCA和LDA還有核方法，本次的篇幅比較大了，先不說了，以后有時間再談：
總結
以上是生活随笔為你收集整理的pca 和lda区别的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
