http://www.cnblogs.com/liliu/archive/2010/11/22/1883702.html

1. 最大似然估計提供了一種給定觀察數據來評估模型參數的方法，即：“模型已定，參數未知”。簡單而言，假設我們要統計全國人口的身高，首先假設這個身高服從服從正態分布，但是該分布的均值與方差未知。我們沒有人力與物力去統計全國每個人的身高，但是可以通過采樣，獲取部分人的身高，然后通過最大似然估計來獲取上述假設中的正態分布的均值與方差。最大似然就是尋找最可能的參數，使得這些采樣樣本出現的概率最大。

????最大似然估計中采樣需滿足一個很重要的假設，就是所有的采樣都是獨立同分布的。下面我們具體描述一下最大似然估計：

????首先，假設為獨立同分布的采樣，θ為模型參數,f為我們所使用的模型，遵循我們上述的獨立同分布假設。參數為θ的模型f產生上述采樣可表示為

???????

回到上面的“模型已定，參數未知”的說法，此時，我們已知的為，未知為θ，故似然定義為:

　　?

　　在實際應用中常用的是兩邊取對數，得到公式如下：

?????

　　其中稱為對數似然，而稱為平均對數似然。而我們平時所稱的最大似然為最大的對數平均似然，即：

?　　

?????舉個別人博客中的例子，假如有一個罐子，里面有黑白兩種顏色的球，數目多少不知，兩種顏色的比例也不知。我 們想知道罐中白球和黑球的比例，但我們不能把罐中的球全部拿出來數。現在我們可以每次任意從已經搖勻的罐中拿一個球出來，記錄球的顏色，然后把拿出來的球 再放回罐中。這個過程可以重復，我們可以用記錄的球的顏色來估計罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重復記錄中，有七十次是白球，請問罐中白球所占的比例最有可能是多少？很多人馬上就有答案了：70%。而其后的理論支撐是什么呢？

??? 我們假設罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因為每抽一個球出來，在記錄顏色之后，我們把抽出的球放回了罐中并搖勻，所以每次抽出來的球的顏 色服從同一獨立分布。這里我們把一次抽出來球的顏色稱為一次抽樣。題目中在一百次抽樣中，七十次是白球的概率是P(Data | M)，這里Data是所有的數據，M是所給出的模型，表示每次抽出來的球是白色的概率為p。如果第一抽樣的結果記為x1，第二抽樣的結果記為x2...?那么Data = (x1,x2,…,x100)。這樣，

　　　　P(Data | M)

　　　　　= P(x1,x2,…,x100|M)

　　　　　= P(x1|M)P(x2|M)…P(x100|M)

　　　　　= p^70(1-p)^30.

那么p在取什么值的時候，P(Data |M)的值最大呢？將p^70(1-p)^30對p求導，并其等于零。

　　　　70p^69(1-p)^30-p^70*30(1-p)^29=0。

　　　　解方程可以得到p=0.7。

在邊界點p=0,1，P(Data|M)=0。所以當p=0.7時，P(Data|M)的值最大。這和我們常識中按抽樣中的比例來計算的結果是一樣的。

假如我們有一組連續變量的采樣值（x1,x2,…,xn），我們知道這組數據服從正態分布，標準差已知。請問這個正態分布的期望值為多少時，產生這個已有數據的概率最大？

　　　　P(Data | M) = ？

根據公式

?　　?

　　可得:

?

　　對μ求導可得?,則最大似然估計的結果為μ=(x1+x2+…+xn)/n

?

????? 由上可知最大似然估計的一般求解過程：

　　（1） 寫出似然函數；

　　（2） 對似然函數取對數，并整理；

　　（3） 求導數 ；

　　（4） 解似然方程

?

注意：最大似然估計只考慮某個模型能產生某個給定觀察序列的概率。而未考慮該模型本身的概率。這點與貝葉斯估計區別。貝葉斯估計方法將在以后的博文中描述

2. 貝葉斯估計

從公式可以看出貝葉斯的優勢在于引入了參數的先驗概率

3. 那么最大后驗概率就是在貝葉斯的基礎上，找到一組參數，使得后驗概率最大。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最大似然估计和最大后验概率的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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