1. 概率密度函數

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假如我們要預測明天的下雨量，x表示下雨的量，f(x)就表示為概率密度，我們隨便畫一個概率密度，他們的關系如下：

其中概率密度函數f(x)并不代表概率，只是代表當前x點的概率密度，類似于速度不代表位移一樣，我們把所有可能發生事件概率相加應該為1(上圖面積)：

∫+∞?∞f(x)dx=1

其中f(x)>=0，也可以計算下雨量在某個范圍內的概率：

P(a<x<b)=∫abf(x)dx=1

積分后的概率即成為概率分布。

2. 二項分布

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拋硬幣是典型的二線分布，假設我們拋了5次硬幣，設定P(x)表示有x次硬幣正面朝上的話，我們可以得到一個類似如下的概率分布：

其中x為正面朝上的次數，離散變量和連續變量的差別可以看下面的泊松分布。

3. 泊松分布

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泊松分布是二項分布的極限情況。

假設我們現在要估計某個路口一小時經過k輛車的概率，第一步我們需要先大量的觀察一段時間，獲得一個一小時內通過汽車數量的期望λ。

然后我們把一小時分為60分鐘，同時假設每一分鐘要么經過一輛車，要么沒有車，那么按照二項分布的式子：

P(k)=Ck60(λ60)k(1?λ60)60?k

也就是說，期望除以60分鐘（把一小時分成60份）獲得每一分鐘有一輛車經過的概率。

但是很明顯我們不能確保每分鐘真的只過一輛，為了更加精確，我們可以把一小時繼續分為3600秒或72000個半秒，也就是說分的越多份，越精確。如果我們這么一直分下去，我們就獲得了泊松分布，也就是二項分布的極限情況。

如果引入極限和e，泊松分布可以表達為(參考這里)：

P(X=k)=e?λλkk!

泊松分布的概率密度和累計概率圖像如下：?

4. 正態分布

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跟泊松分布一樣，正態分布其實也是在大量觀察現實世界的接觸上總結推理出來的，它的概率密度函數為：

f(x)=12π??√σe?(x?μ)22σ2

圖像類似：

其中μ為觀察到的數據的均值，是期望的一種估計方式，類似上面泊松分布估計用的期望,在圖上表示為中心點的位置。

σ是樣本的標準差，在圖上可以表現為向中央的緊縮程度。

正態分布的特點是大自然中很多事件都符合它的描述，比如20歲男子的身高、同一個學校里學生的成績分布等等。

正態分布還有一個有趣的特點是：

橫軸區間（μ-σ，μ+σ）內的面積(即概率)為68.268949%

橫軸區間（μ-1.96σ，μ+1.96σ）內的面積為95.449974%

橫軸區間（μ-2.58σ，μ+2.58σ）內的面積為99.730020%

正態分布可以通過調整其兩個參數能夠擬合很多自然界的情況，也可以和其他分布在某些情況下互相轉換。

5. Gamma分布

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正態分布的特點是左右對稱，這個世界也有很多不符合這種分布的情況，比如某個事件的熱度，可能會先迅速上升，然后緩慢降低熱度，還有發射火箭的速度等等。

Gamma分布的概率密度函數為：

其中α為形狀參數，表示分布的形狀，β為尺度參數，表示左右兩邊的對稱情況，數值越大越對稱，無限大時區域正態分布。

下圖中k=α,θ=β:

數據的期望可以表示為:E(X)=α/β,?D(X)=β/(α2)

從物理意義上說，Gamma分布表示第α件事情發生時所需等待的時間. b表示某事件發生需要的時間

Gamma(a,b)表示第α件事情發生時所需等待的時間

讓我們先通過一個例子，了解什么是"泊松分布"。

已知某家小雜貨店，平均每周售出2個水果罐頭。請問該店水果罐頭的最佳庫存量是多少？

假定不存在季節因素，可以近似認為，這個問題滿足以下三個條件：

（1）顧客購買水果罐頭是小概率事件。

（2）購買水果罐頭的顧客是獨立的，不會互相影響。

（3）顧客購買水果罐頭的概率是穩定的。

在統計學上，只要某類事件滿足上面三個條件，它就服從"泊松分布"。

泊松分布的公式如下：

各個參數的含義：

　　P：每周銷售k個罐頭的概率。

　　X：水果罐頭的銷售變量。

　　k：X的取值（0，1，2，3...）。

　　λ：每周水果罐頭的平均銷售量，是一個常數，本題為2。

根據公式，計算得到每周銷量的分布：

從上表可見，如果存貨4個罐頭，95%的概率不會缺貨（平均每19周發生一次）；如果存貨5個罐頭，98%的概率不會缺貨（平均59周發生一次）。

http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/01/poisson_distribution.html

http://sobuhu.com/math/2013/06/17/distributions.html

需要注意的是概率密度函數和概率的關系

密度這個概念的理解的確不那么簡單 事實上，對于連續型隨機變量，例如X服從正態分布， 那么X在每一點的概率都是0，但是X在一個區間內的概率卻不是0 這不難理解，就像一根質量分布不均勻的鋼筆，鋼筆在每個點上的質量都是0， 但是鋼筆在一個小塊兒內的質量卻不是0對于這種隨機變量X怎么研究呢？很簡單！ 設dx是一個非常小的正數，因為任何函數在一個很小的區間上都可以近似看成線性的，那 么X處于(x,x+dx)內的概率一定可以近似表示成f(x)dx的形式 這里的f(x)就叫做X的概率密度不止是概率密度，物理上的各種密度的原理都是這樣的你可能會問，為什么X在每一點的概率都是0，但是X在一個區間內的概率卻不是0？ 這是因為概率論的公理體系只能保證可列個概率為0的事件的并還是概率為0的 然而一個區間包含不可列個點！因此盡管這些點的概率都是0， 它們的并，也就是這個區間的概率卻可以不是0 對于離散型的概率密度函數，取一個x值，獲得的就是取x時的概率

對于連續性的，必須是要取一個區間的，概率才有意義

3. 伯努利、二項分布、多項分布

伯努利分布就是對單次拋硬幣的建模，X~Bernoulli(p)的PDF為f(x)=px(1?p)1?x，隨機變量X只能取{0, 1}。對于所有的pdf，都要歸一化！而這里對于伯努利分布，已經天然歸一化了，因此歸一化參數就是1。

很多次拋硬幣的建模就是二項分布了。注意二項分布有兩個參數，n和p，要考慮拋的次數。

二項分布的取值X一般是出現正面的次數，其PDF為：

Cxn就是二項分布pdf的歸一化參數。如果是beta分布，把Cxn換成beta函數分之一即可，這樣可以從整數情況推廣為實數情況。所以beta分布是二項分布的實數推廣！

多項分布則更進一層，拋硬幣時X只能有兩種取值，當X有多種取值時，就應該用多項分布建模。

這時參數p變成了一個向量p??=(p1,…,pk)表示每一個取值被選中的概率，那么X~Multinomial(n,p)的PDF為：

伯努利分布最簡單，就是拋一次硬幣

二項式分布是拋多次硬幣，出現n次正面的概率，其概率密度函數圖，就是直方圖

多項式分布就是拋一個多面體，每個面朝上的概率為pi, 所以p1+p2+...+pk=1, 拋一次的結果是(x11,x12,x13,...,x1k)注意只有一個x1i=1，其他都為0

那么拋n次多面體，就是多項式分布，其中xi表示i面朝上一共出現了xi次

總結

以上是生活随笔為你收集整理的几个简单数学分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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