RSA算法原理——（2）RSA简介及基础数论知识
上期為大家介紹了目前常見加密算法，相信閱讀過的同學(xué)們對(duì)目前的加密算法也算是有了一個(gè)大概的了解。如果你對(duì)這些解密算法概念及特點(diǎn)還不是很清晰的話，昌昌非常推薦大家可以看看HTTPS的加密通信原理，因?yàn)镠TTPS加密通信使用了目前主要的三種加密算法，大家可以從中體會(huì)到各種加密算法的優(yōu)缺點(diǎn)。
一、目前常見加密算法簡介
二、RSA算法介紹及數(shù)論知識(shí)介紹
三、RSA加解密過程及公式論證
二、RSA算法介紹及數(shù)論知識(shí)介紹
如果上期（目前常見加密算法簡介）算是天安門前的話，那今天的內(nèi)容就算是正式通過天安門進(jìn)入故宮了。
1.RSA算法介紹
對(duì)于大多數(shù)IT從業(yè)者來說RSA算法并不陌生，因?yàn)槲覀兌喽嗌偕俣际褂眠^。而對(duì)于非IT從業(yè)者來說或許你們知道有加密算法，但是具體的哪種算法可能并不了解，其實(shí)對(duì)所有人來說都接觸過RSA算法，只是你并不知道而已for example：你百度一下或者掃一掃、信用卡付款等這些過程都使用到了RSA加密算法。就目前安全通信來講，RSA無處不在。
那RSA加密算法究竟是怎么來的呢？
RSA加密算法是一種非對(duì)稱加密算法。在公開密鑰加密和電子商業(yè)中RSA被廣泛使用。RSA是1977年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。當(dāng)時(shí)他們?nèi)硕荚诼槭±砉W(xué)院工作。RSA就是他們?nèi)诵帐祥_頭字母拼在一起組成的?！S基百科
2.數(shù)論知識(shí)介紹
其實(shí)RSA算法加解密其實(shí)就是兩個(gè)公式，只是為了理解這兩個(gè)公式我們需要學(xué)習(xí)數(shù)論中的四個(gè)概念：互質(zhì)、歐拉函數(shù)、歐拉定理、模反元素，這四個(gè)概念都是非常好理解的，不需要有數(shù)論的基礎(chǔ)，只需要有初高中的數(shù)學(xué)就夠用就能理解，下面我們就來看看這四個(gè)概念是什么？
（1）互質(zhì)關(guān)系
如果兩個(gè)正整數(shù)，除了1以外沒有其他公因子，我們就稱這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)關(guān)系（coprime）。比如，6和21他們的公因子有：3和1，所以6和21就不是互質(zhì)；而10和21只有一個(gè)公因子1，所以它們是互質(zhì)關(guān)系。這說明，不是質(zhì)數(shù)也可以構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。
有以下幾點(diǎn)可構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系：
（2）歐拉函數(shù)
思考：請(qǐng)問10以內(nèi)的正整數(shù)有哪幾個(gè)與10互質(zhì)呢？
答案是：{1，3，7，9}，10以內(nèi)可能用手指就可以算過來，那100呢？1000呢？那是不是有什么公式可以計(jì)算？答案是有，這就是我們這里要講的的歐拉函數(shù)：
任意給定正整數(shù)n，請(qǐng)問在小于等于n的正整數(shù)之中，有多少個(gè)與n構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系？
計(jì)算這個(gè)值的方法就叫做歐拉函數(shù)，以φ(n)表示。在1到10之中，與10形成互質(zhì)關(guān)系的是1、3、7、9，所以 φ(10) = 4。
φ(n) 的計(jì)算方法并不復(fù)雜，但是為了得到最后那個(gè)公式，需要一步步討論。對(duì)于下面的公式大家稍微記住就行，沒必要理解通透，有時(shí)候適當(dāng)?shù)泥駠魍虠椖茏屇銓W(xué)習(xí)的更快！
第一種情況
如果n=1，則 φ(1) = 1 。因?yàn)?與任何數(shù)（包括自身）都構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系
第二種情況
如果n是質(zhì)數(shù)，則 φ(n)=n-1 。因?yàn)橘|(zhì)數(shù)與小于它的每一個(gè)數(shù)，都構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。比如5與1、2、3、4都構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。
第三種情況
如果n是質(zhì)數(shù)的某一個(gè)次方，即 n = p^k (p為質(zhì)數(shù)，k為大于等于1的整數(shù))，則
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 – 2^2 = 8 -4 = 4。
這是因?yàn)橹挥挟?dāng)一個(gè)數(shù)不包含質(zhì)數(shù)p，才可能與n互質(zhì)。而包含質(zhì)數(shù)p的數(shù)一共有p^(k-1)個(gè)，即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p，把它們?nèi)コ?#xff0c;剩下的就是與n互質(zhì)的數(shù)。
上面的式子還可以寫成下面的形式：
可以看出，上面的第二種情況是 k=1 時(shí)的特例。
第四種情況
如果n可以分解成兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù)之積，
n = p1 × p2
則
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即積的歐拉函數(shù)等于各個(gè)因子的歐拉函數(shù)之積。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24
第五種情況
因?yàn)槿我庖粋€(gè)大于1的正整數(shù)，都可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的積。
根據(jù)第4條的結(jié)論，得到
再根據(jù)第3條的結(jié)論，得到
也就等于
這就是歐拉函數(shù)的通用計(jì)算公式。比如，1323的歐拉函數(shù)，計(jì)算過程如下：
（3）歐拉定理
歐拉函數(shù)的用處，在于歐拉定理?！?strong>歐拉定理”指的是：
如果兩個(gè)正整數(shù)a和n互質(zhì)，則n的歐拉函數(shù) φ(n) 可以讓下面的等式成立：
也就是說，a的φ(n)次方被n除的余數(shù)為1?；蛘哒f，a的φ(n)次方減去1，可以被n整除。比如，3和7互質(zhì)，而7的歐拉函數(shù)φ(7)等于6，所以3的6次方（729）減去1，可以被7整除（728/7=104）。
科普：mod為取模，取模運(yùn)算與取余運(yùn)算還是有區(qū)別。取余的商是靠近0的，而取模的商是靠近負(fù)無窮的，看下面的例子：
7 mod 4 = 3（商 = 1 或 2，1<2，取商=1，與取余相同）
-7 mod 4 = 1（商 = -1 或 -2，-2<-1，取商=-2）
7 mod -4 = -1（商 = -1或-2，-2<-1，取商=-2）
-7 mod -4 = -3（商 = 1或2，1<2，取商=1，與取余相同）
歐拉定理的證明比較復(fù)雜，這里就省略了。我們只要記住它的結(jié)論就行了。
歐拉定理可以大大簡化某些運(yùn)算。比如，7和10互質(zhì)，根據(jù)歐拉定理，
這
因此，7的任意次方的個(gè)位數(shù)（例如7的222次方），心算就可以算出來。
歐拉定理是RSA算法的核心。理解了這個(gè)定理，就可以理解RSA。多看幾遍歐拉定理的定義，知道公式表達(dá)的意思就夠了。
（4）模反元素
還剩最后一個(gè)概念：
如果兩個(gè)正整數(shù)a和n互質(zhì)，那么一定可以找到整數(shù)b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的余數(shù)是1
這時(shí)，b就叫做a的“模反元素”。
比如，3和11互質(zhì)，那么3的模反元素就是4，因?yàn)?(3 × 4)-1 可以被11整除。顯然，模反元素不止一個(gè)， 4加減11的整數(shù)倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，則 b+kn 都是a的模反元素。
歐拉定理可以用來證明模反元素必然存在。
可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。
至此RSA算法的需要的數(shù)學(xué)知識(shí)就講完了，讓我們來總結(jié)一下吧：
歐拉定理：如果兩個(gè)正整數(shù)a和n互質(zhì)，則n的歐拉函數(shù) φ(n) 可以讓下面的等式成立：
如果兩個(gè)正整數(shù)a和n互質(zhì)，那么一定可以找到整數(shù)b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的余數(shù)是1，這時(shí)，b就叫做a的“模反元素”
是不是感覺也不是很難呀，下期我們將一起進(jìn)入RSA算法最核心的內(nèi)容：RSA加解密過程及公式論證，我會(huì)為大家一步一步的推論，絕對(duì)會(huì)是最詳細(xì)的一份RSA算法原理剖析，大家期待吧！
ps:有一份英文介紹RSA加密算法的文檔，感興趣的同學(xué)可以看看：The RSA Cryptosystem: History, Algorithm, Primes
附手稿：
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的RSA算法原理——（2）RSA简介及基础数论知识的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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