数学建模【统计模型及应用(单-双因素方差分析、一-多元线性回归分析、牙膏价格问题、方差分析与回归分析的SPSS实现)】
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- 【第1、2章】【概述、軟件介紹】
- 【第3章】【數據處理方法】
- 【第4章】【規劃模型】
- 【第5章】【圖與網絡模型】
- 【第6章】【微分方程模型】
- 【第7章】【統計模型】
- 【第8章】【系統評價決策模型】
- 【各個章節---作業題解析】
目? ?錄
7.1 單因素方差分析
7.1.1 方差分析概念
7.1.2 單因素方差分析的數據結構
例7.1.1??三種治療方案對降血糖的療效比較
7.1.3 單因素方差分析模型
定理7.1.1 總變異 = 組間變異 + 組內變異
例7.1.1 Matlab求解
7.2 雙因素方差分析
7.2.1 問題引入
7.2.2 雙因素方差分析的數據結構
7.2.3 因素方差分析模型
1. 無交互作用的雙因素方差分析模型
2. 有交互作用的雙因素方差分析模型
7.3 一元線性回歸分析
7.3.1 回歸分析的概念
相關關系的類型
7.3.2 一元線性回歸模型
1.回歸參數的估計
2.回歸模型的顯著性檢驗
3.回歸參數的顯著性檢驗
7.3.3 一元線性回歸分析應用
7.4 多元線性回歸分析
7.4.1 多元線性回歸模型
多元線性回歸分析內容
7.4.2 回歸參數的估計
7.4.3 回歸方程的擬合優度
7.4.4 顯著性檢驗
1.模型的顯著性檢驗
2. 偏回歸系數的顯著性檢驗
7.4.5 共線性診斷
7.5 牙膏價格問題
7.5.1 問題描述
7.5.2 問題分析
7.5.3 模型假設與符號
7.5.4 模型建立與求解
1.牙膏價格差對銷售量影響模型
2.廣告費用對銷售量影響模型
3.牙膏價格差與廣告費用對銷售量影響模型
4.模型改進
7.5.5 結果分析
7.6 方差分析與回歸分析的SPSS實現
7.6.1 SPSS軟件概述
1 SPSS版本與安裝
2 SPSS界面
3 SPSS特點
4 SPSS數據
7.6.2 SPSS與方差分析
1 單因素方差分析
2 雙因素方差分析
7.6.3 SPSS與回歸分析?
SPSS回歸分析過程
牙膏價格問題的回歸分析
數學方法解決實際問題，應用數學方法、概念：應用 -> 理論 -> 研究
常用數據分析統計方法：方差分析、回歸分析、主成分分析、因子分析、聚類分析、判別分析...
歷年賽題方法（全國賽）：
- 2010B 上海世博會影響力的定量評估
- 2012A 葡萄酒的評價（回歸分析、關聯性分析）
- 2013A 車道被占用對城市道路通行能力的影響（回歸分析）
- 2017B “拍照賺錢”的任務定價（回歸分析、聚類分析）
主要內容：方差分析、回歸分析
7.1 單因素方差分析
數據分析? ?統計模型：方差分析模型、回歸分析模型、主成分分析模型、聚類分析模型、因子分析模型
7.1.1 方差分析概念
- 在工農業生產和科學研究中，經常遇到這樣的問題：影響產品產量、質量的因素很多，我們需要了解在這眾多的因素中，哪些因素對影響產品產量、質量有顯著影響。為此，要先做試驗，然后對測試的結果進行分析。方差分析（Analysis of Variance，簡稱ANOVA）就是分析測試結果的一種方法。? ? ? ? ? ? ? ??主要是多組實驗數據比較所采用的方法
- 方差分析是檢驗多組樣本均值間的差異是否具有統計意義的一種方法。
例如，醫學界研究幾種藥物對某種疾病的療效；農業研究土壤、肥料、日照時間等因素對某種農作物產量的影響；不同飼料對牲畜體重增長的效果等都可以使用方差分析方法去解決。
7.1.2 單因素方差分析的數據結構
- 若指標觀測值X只受一個因素A的影響，檢驗A在取不同的狀態或水平時，對指標值X的影響稱為單因素試驗。
- 觀測值X稱為因變量(響應變量)，是連續型的數值變量。
- 因素(Factor)A是影響因變量變化的客觀條件。
設因素A有r個水平，每個水平下重復觀測n次（n：重復數），則觀測數據為如下形式
? ?：第i行的平均值；：整個實驗數據的算數平均值（總均值）
例7.1.1??三種治療方案對降血糖的療效比較
例7.1.1 某醫生研究一種四類降糖新藥的療效，按完全隨機設計方案治療糖尿病患者，治療一月后，記錄下每名受試者血糖下降值，資料見下表，問三種治療方案對降血糖的療效是否相同？【No，第1組療效顯著高于另外兩組！】
每一組，18名受試驗者。3個劑量水平，每個劑量水平 重復觀測 18次（n=18）。比較均值！
7.1.3 單因素方差分析模型
- 方差分析是從總體上判斷多組數據平均數（r≥3）之間的差異是否顯著。
- 方差分析將全部數據看成是一個整體，分析構成變量的變異原因，進而計算不同變異來源的總體方差的估值。然后進行F檢驗，判斷各樣本的總體平均數是否有顯著差異。若差異顯著，再對平均數進行兩兩之間的比較。
假設檢驗：分析數據之間差異是否顯著。
? ?i：代表水平；j：代表重復數
?：?觀測值 = 治療方案 + 隨機因素
?：反映第x種(x = 1\2\3)治療方案的平均治療水平。
?H0：原假設；各個水平下的均值相同
H0：先假定不同水平下的均值是相等的；三種治療方案之間是沒有差異的。-> 利用 數據分析 進行檢驗（類似于 反證法）
單因素方差分析法是將樣本總偏差的平方和分解成兩個平方和（因子平方和和誤差平方和），通過這兩個平方和之間的比較，導出假設檢驗的統計量和拒絕域。
總偏差平方和：所有數據的偏差平方和。（求和：每個觀測值與總均值之間的差的平方。）
因子平方和：比較各個水平(行)下，數據之間的差異。xi：第i個水平下的樣本均值。每個水平下的均值與總均值的偏差平方和。
誤差平方和：各個組內的偏差平方和。每一行數據內部的偏差平方和。主要與 隨機誤差 有關。
自由度：自由取值的變量個數。
定理7.1.1 總變異 = 組間變異 + 組內變異
ST：所有數據之間的差異（xij之間的差異越大，ST就越大）。
?：?(組間變異\不同治療方案) + (組內變異)
H0：原假設（）
用“均方和”進行比較：消除自由度的影響。MSA、MSE進行比較：觀察SA、SE哪個引起的誤差偏大。
如果，因子平方和 所占的比例較大：各個因子之間的差異較大；
如果，誤差平方和 所占的比例較大：數據之間的差異，主要由隨機誤差引起。
數據量越多，隨機因素多占的比例越大，ST越大，∴ 用均方和進行比較。
?：F分布(第一自由度, 第二自由度)
第一自由度：(r-1)、(水平數-1)? ? ? ? ? 第二自由度：(n-r)、(樣本觀測值的個數-水平數)
H0不合理：SA占的比例越大，F越大，越拒絕原假設。
一般，r ≥ 3? ?《概率論與數理統計》
拒絕原假設（各個水平下的均值相等）：各個水平下的均值 有 顯著差異。P值越小（小于α）（α一般為0.05）
例7.1.1 Matlab求解
% 例7.1.1 x = xlsread('C:\Users\lwx\Desktop\chapter7.xlsx','Sheet1','A1:C18') % 讀取數據 % 每個水平（列）下 觀測值、重復數都是一樣的 單因素誤差分析：重復數一樣的數據容易分析處理 [p,table,stats] = anova1(x)圖1：方差分析表? ? ? ? 圖2：均值盒形圖? ? 箱形圖? ? 紅線：反映平均血糖下降值(第1個下降值最高)? ? ?
? ??
n:[18 18 18]：樣本量? ? ? ? ? s：殘差均方? ? ? ? ? ?殘差自由度：51? ? ? ?means：均值比較
三列數據：三組治療方案的治療效果；18個測試者；行數：重復數。
7.2 雙因素方差分析
7.2.1 問題引入
在實際應用中，指標值（因變量）往往受多個不同因素的影響。不僅這些因素會影響指標值，而且這些因素的不同水平交叉也會影響指標值。統計學中把多個因素不同水平交叉對指標值的影響稱為交互作用。在多因素方差分析中，交互作用作為一個新因素來處理。 這里介紹兩個因素的方差分析，亦稱為雙因素方差分析。
7.2.2 雙因素方差分析的數據結構
- 假設在觀測指標X的試驗中，有兩個變化因素A和B。因素A有r個水平，記作A1 ,A2 ,…,Ar；因素B有k個水平，記作B1 ,B2 ,…,Bk；則A 與B的不同水平組合（i=1,2,…,r；j=1,2,…,k）共有rk個，每個 水平組合稱為一個處理，每個處理作m次試驗（亦可1次試驗），得rkm個觀測值，雙因素的有重復（無重復）觀測數據表7.2.2。
? ?交叉項：重復觀測數
A1、B1水平下，有m個觀測值。
7.2.3 因素方差分析模型
1. 無交互作用的雙因素方差分析模型
在雙因素方差分析中，若不考慮兩因素的交互作用效應，數據可采用無重復觀測。
? ?類似于 單因素方差分析
x11...xrk：交叉水平下的觀測值。
：第i行的算數平均（代表因素A的各個水平下的樣本平均值）；
：第j列的算數平均（代表因素B的各個水平下的樣本平均值，因素B的第j個水平下 數據的算數平均）；
：所有數據的算數平均（總算數平均值）。
?：第i個水平下
在無交互作用下，分析因素A，B的不同水平對試驗結果是否有顯著影響，即為檢驗如下假設是否成立：
?檢驗兩組假設：假設因素A下，不同水平下的均值沒有差異；假設因素B...
類似單因素方差分析數據的處理，在上述定義下，無交互作用雙因素方差分析模型中的平方和分解如下。
?m=1的情況。
SA：不同行數據之間的差異，因素A的不同水平之間的差異；SB：不同列數據之間的差異。SE：隨機誤差平方和。
檢驗兩組假設：假設因素A下，不同水平下的均值沒有差異；假設因素B...? ?-->? ?構造兩個檢驗統計量。
無交互作用的雙因素方差分析在Matlab中進行雙因素方差分析，采用命令
[p, table, stats] = anova2(x，reps)
reps：試驗數據（每個交叉水平下）重復次數，缺省時為1。
% 例7.2.1 x = [365,350,343,340,323;345,368,363,330,333;358,232,353,343,308;288,280,298,260,298]'; % 不轉置 也行 [p,table,stats] = anova2(x)? 此圖，表格數據有誤。看matlab運行圖，即可。
P值越大，越不拒絕原假設。
2. 有交互作用的雙因素方差分析模型
在數據分析種，不一定存在交互作用，但是可以通過數據處理來識別有沒有交互作用。
交叉水平下的重復數 m。l：交叉水平下的重復數。
：第i行的算數平均（代表因素A的各個水平下的樣本平均值）；
：第j列的算數平均（代表因素B的各個水平下的樣本平均值，因素B的第j個水平下 數據的算數平均）；
：因素A、B交叉水平下的平均值。
存在交互作用的情況下，雙因素方差分析需要檢驗如下假設
原假設 H03：假設不存在交互作用。
有交互作用的雙因素方差分析?重復觀測、交互作用影響
拒絕原假設（各個水平下的均值相等）：各個水平下的均值 有 顯著差異。P值越小（小于α）（α一般為0.05）
P值大，不拒絕 原假設。
% 例7.2.2 x = [26,19;24,20;27,23;25,22;25,21;20,18;17,17;22,13;21,16;17,12]; [p,table,stats] = anova2(x,5) % 5:每個交叉水平下的重復數7.3 一元線性回歸分析
?在應用問題研究當中，如果涉及到變量與變量之間的分析，可以借助回歸分析來進行研究。
7.3.1 回歸分析的概念
研究變量間的關系常有兩種。
- 確定性關系（函數關系）
如圓面積與圓半徑的關系；價格一定時，商品銷售額與銷售量的關系等。
- 相關關系
如父親與子女身高的關系；收入水平與受教育程度間的關系等。
變量間的相關關系不能用完全確切的函數形式表示，但在平均意義下 有一定的定量關系表達式。研究總體（總體規律）
相關關系的類型
? ?不相關：無明顯相關關系
回歸分析（Regression Analysis）就是研究變量間的相關關系的統計方法，是英國生物學家兼統計學家高爾頓在研究父代與子代身高關系時得到的分析方法。
通過對客觀事物中變量的大量觀察或試驗獲得的數據，尋找隱藏在數據背后的相關關系，并給出它們的表達形式——回歸函數的估計。
回歸分析主要用于研究指標的估計和預測。
通過數據分析，得到 回歸表達式（回歸函數），對變量進行估計、預測。
設變量y與x（一維或多維）間有相關關系，稱x為自變量(解釋變量)，y為因變量(被解釋變量)。
若x為一般變量，在獲得x取值后，設y 的取值為一隨機變量，可表示為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? y = f(x) + ε
上式稱為一般回歸模型，其中ε稱為隨機誤差項，一般假設 ε~N(0, )。正態分布
7.3.2 一元線性回歸模型
?：反映 x組數據與y組數據的線性相關程度。
?越大，線性相關程度越強。? ? ? ? ? ? || ≤ 1? ? ? ? ? ? ??
一元線性回歸分析內容
（1）回歸參數的估計
（2）回歸模型的顯著性檢驗
（3）回歸參數的顯著性檢驗
1.回歸參數的估計
yi：觀測值? ? ? ? ? 最小二乘法（參數估計、數據擬合）? ? ? ? ? ? ??：yi的回歸值
?(7.3.3) 求導式
?：x、y數據的樣本均值
2.回歸模型的顯著性檢驗
在模型假定下，可以證明
對模型（7.3.2）的顯著性提出假設
? ? ? H0 : 回歸方程不顯著，H1 : 回歸方程顯著
如果回歸方程顯著，意味著SSE應該比較小，F值應該比較大，所以在顯著水平α下，當 (1,n-2)時，拒絕原假設，認為回歸方程顯著。
3.回歸參數的顯著性檢驗
?t^2 = F
MATLAB進行回歸分析的命令為 regress，其調用方式為?[b,bint,r,rint,stats] = regress(y, x) ，其輸出結果為
- b ：回歸方程的系數
- bint：回歸方程系數的95%置信區間
- r: 回歸方程的殘差
- rint：殘差的95%置信區間
- stats: 可決系數、模型檢驗F值、模型檢驗P值
7.3.3 一元線性回歸分析應用
例7.3.1 為研究銷售收入與廣告費用支出之間的關系，某醫藥管理部門隨機抽取20家藥品生產企業，得到它們的年銷售收入和廣告費用支出(萬元)的數據如下表。分析銷售收入與廣告費用之間的關系。
分析 由表（1）可得模型檢驗F值為116.3958，P值非常小，即模型是顯著的；由表（2）可得模型的決定系數?= 0.866067，接近于1，說明模型擬合效果較好；由表（3）可得回歸方程的系數 = 274.5502， = 5.1308，且參數檢驗的P值較小，顯著非零，則回歸方程為
根據得到的回歸方程可進行因變量y的估計和預測。
7.4 多元線性回歸分析
研究多個變量之間相關性的常用統計方法：多元線性回歸分析。
7.4.1 多元線性回歸模型
實際應用中影響因變量變化的因素往往有多個，例如產出受各種投入要素（資本、勞動力、技術等）的影響；銷售額受價格和廣告費投入等的影響。? ? ??研究 多個變量 影響 因變量的情況。
回歸模型中自變量（解釋變量）個數為兩個及兩個以上時，即為多元回歸模型。
多元線性回歸模型的一般形式為
?（p=1：一元線性回歸模型）
- ，，...，?稱為 偏回歸系數? ? ? ? ? ? ???：輔助作用，根據實際問題分析，選擇是否保留。
- ?表示假定其他變量不變，當 xi 每變動一個單位時，y 的平均變動值。?
多元線性回歸分析內容
7.4.2 回歸參數的估計
?：第p個自變量的觀測值。
yi的值 由 自變量xi的線性回歸值、隨機誤差??的值 所構成。
Y：因變量構成的列向量；：回歸參數向量；：隨機誤差項構成的向量。
?偏導數 = 0
7.4.3 回歸方程的擬合優度
7.4.4 顯著性檢驗
多元線性回歸分析的顯著性檢驗包括模型的顯著性檢驗和各偏回歸系數的顯著性檢驗。
1.模型的顯著性檢驗
2. 偏回歸系數的顯著性檢驗
關于模型的顯著性檢驗 不拒絕 原假設 時，模型是不顯著的，此時 不必做?偏回歸系數的顯著性檢驗。
7.4.5 共線性診斷
多元線性回歸分析中，要求回歸模型（7.4.1）中自變量之間線性無關。若有兩個或兩個以上的自變量彼此相關，稱模型存在多重共線性。
多重共線性產生的問題
（1）可能會使回歸的結果造成混亂，甚至會把分析引入歧途；
（2）可能對參數估計值的正負號產生影響，特別是各回歸系數的正負號有可能同預期的正負號相反 。
檢測多重共線性的最簡單的一種辦法是計算模型中各對自變量之間的相關系數，并對各相關系數進行顯著性檢驗。若有一個或多個相關系數顯著，就表示模型中所用的自變量之間相關，存在著多重共線性。
如果出現下列情況，暗示存在多重共線性。（存在多重共線性，需要對模型進行修正）
- 模型中各對自變量之間顯著相關；
- 當模型的線性關系檢驗(F檢驗)顯著時，幾乎所有回歸系數的t檢驗卻不顯著；
- 回歸系數的正負號與預期的相反。
7.5 牙膏價格問題
7.5.1 問題描述
某大型牙膏制造企業為了更好地拓展產品市場，有效地管理庫存，公司董事會要求銷售部門根據市場調查，找出公司生產的牙膏銷 售量與銷售價格、廣告投入等因素之間的關系，從而預測出在不同價格和廣告費用下的銷售量。表7.5.1是30個銷售周期(4周為1銷售周期)中收集到的資料。試根據這些數據建立一個數學模型，分析牙膏的銷售量與其它因素的關系，為制定價格策略和廣告投入提供決策依據。
7.5.2 問題分析
1.牙膏價格與銷售量
由于牙膏是小件生活必需品，對大多數顧客來說，在購買同類產品的牙膏時更多地會在意不同品牌中間的價格差異，而不是他們的 價格本身。因此在研究各個因素對銷售量的影響時，用價格差代替公司銷售價格更為合適。
通過分析其他廠家牙膏價格與本公司牙膏價格差對銷售量的影響關系，建立價格差與銷售量的相關模型。
2.廣告費用與銷售量
通過分析廣告費用對銷售量的影響關系，建立廣告費用與銷售 量的相關模型。
7.5.3 模型假設與符號
實際中，由于影響牙膏銷售量的因素有很多，根據問題分析和相關數據，提出假設：
(1)假設牙膏銷售量主要受價格差和廣告費用影響，即其它因素對銷售量的影響歸入隨機誤差。
(2)令 y~本公司牙膏銷售量；~其它廠家牙膏價格與本公司牙膏價格差；~本公司廣告費用。、對y的影響、建立模型。
7.5.4 模型建立與求解
1.牙膏價格差對銷售量影響模型
?正相關的線性關系
2.廣告費用對銷售量影響模型
? ?勉強接受：線性關系
建立模型：多嘗試，以合理性為前提，越簡單越好。
3.牙膏價格差與廣告費用對銷售量影響模型
由(7.5.1)和(7.5.2)，將常數項合并，隨機誤差項合并，且不考慮牙膏價格差與廣告費用對銷售量的交叉影響。可得牙膏價格差與廣告 費用對銷售量影響模型
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
由數據進行回歸分析，見表7.5.2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
4.模型改進
?只考慮 線性關系
由表7.5.3回歸結果可得，修正可決系數為0.874，模型顯著性檢驗的p值為0，模型是顯著的。并且各回歸參數均顯著非0，說明模型 有效，得到牙膏價格差與廣告費用對銷售量影響模型為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7.5.5 結果分析
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
由模型(7.5.5)可知，提高本公司牙膏價格，將會減少本公司牙膏銷售量，例如，廣告費不變時，本公司牙膏價格比其它廠家平均價格 提高1元，估計銷售量將會減少約1.468百萬支。
另一方面，一定程度上，增加廣告費用將會提高銷售量，但過 度增加廣告費用就會增加成本。
根據模型(7.5.5)，只要給定了，，代入就可以對銷售量進行估計和預測，還可以進行一定的置信度下的區間預測。如當=0.2，=6.5時，可以計算得到銷售量的預測值約為8.379（百萬支），其95%的預測區間為[7.874, 8.863]。
在公司管理中，這個預測上限可以用來作為公司的生產和庫存數量；而這個預測下限可以用來較好地把握公司的現金流，因為到時至少有7.874百萬支牙膏可以有把握的賣出去，可以回來相應的銷售款。
若考慮牙膏價格差與廣告費用兩個因素間可能會有交互作用，可以將二者的乘積來表示這個作用對銷售量的影響，對原來的模型進行改進，
? ?
同理，可對模型7.5.6進行回歸分析，研究模型的有效性和顯著性（略）。
7.6 方差分析與回歸分析的SPSS實現
數據統計分析：Matlab、R、SPSS
7.6.1 SPSS軟件概述
1 SPSS版本與安裝
SPSS的版本每年更新，當前最新為SPSS26.0，較新版本都有中文版，這里以2013年的SPSS22.0中文版為例介紹其安裝及應用。
?數學建模【SPSS 下載、安裝】
2 SPSS界面
SPSS的主要界面 有 數據編輯窗口 和 結果輸出窗口。
SPSS軟件在其基本界面上集成了數據錄入、轉換、檢索、統計分析、作圖、制表及編輯等功能；采用類似EXCEL表格的方式輸入與管理數據，數據接口較為通用，能方便的從其他數據庫中讀入數據。
數據編輯窗口：標題欄、菜單欄、工具欄、狀態欄、數據視圖、變量視圖
控制菜單圖標、窗口名稱、窗口控制圖標、窗口控制按鈕
變量視圖
3 SPSS特點
- （1）囊括了各種成熟的統計方法與模型，為統計分析用戶提供了全方位的統計學算法，為各種研究提供了相應的統計學方法。
- （2）提供了各種數據準備與數據整理技術。
- （3）自由靈活的表格功能。
- （4）各種常用的統計學圖形。
SPSS最突出的特點就是操作界面極為友好，輸出結果美觀漂亮。SPSS是第一個采用人機交互界面的統計軟件，非常容易學習和使用。
SPSS軟件基本操作可通過點擊鼠標來完成，有一定統計基礎且熟悉Windows一般操作的應用者參考它的幫助系統 基本上 可以自學使用；除了數據錄入及部分命令程序等少數輸入工作需要使用鍵盤鍵入外，對于常見的統計分析方法完全可以通過對“菜單”、“對話框”的操作完成，無需編程。
4 SPSS數據
SPSS能夠與常用的數據文件格式互交。? ? ? ? ? ? ? ? ??Excel文件
SPSS數據文件中，變量有三種的基本類型：數值型、字符型和日期型。
SPSS的文件類型：
（1）數據文件：拓展名為.sav
（2）結果文件：拓展名為.spv
（3）圖形文件：拓展名為.cht
（4）語法文件：拓展名為.sps
7.6.2 SPSS與方差分析
【例7.1.1、例7.2.2 Excel文件：鏈接：https://pan.baidu.com/s/1PLXyYCelCfOGgMPbl7T2AA? ?提取碼：zjxs】
1 單因素方差分析
生成數據：1、導入數據；2、手工錄入
54條數據：因變量（血糖下降值）記為A，分組變量（3個組別）記為g。Excel表中，第一行為變量名。
???
數據視圖變量視圖單因素方差分析
??
???
多重比較：將 各個水平下的均值 進行比較。Tukey：針對重復次數一樣的多重比較。顯著性水平 默認 0.05。
左邊：輸出列表；右邊：輸出結果（概括性描述）。
表2：方差極性檢驗（顯著性-P值：0.871）? ?表3：方差分析表（因子平方和、誤差平方和；總平方和）
?只要P值小于0.05，就認為 是有 顯著差異的。
根據多重比較的結果，進行分類得到的分類表。
??
均值圖? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、2之間，有顯著差異；2、3無顯著差異。
2 雙因素方差分析
【例7.1.1、例7.2.2 Excel文件：鏈接：https://pan.baidu.com/s/1PLXyYCelCfOGgMPbl7T2AA? ?提取碼：zjxs】?
雙因素并且考慮交互作用的方差分析：將分析數據作為因變量指標；將時段、路段兩個因素 建立 兩個分組變量。
將Excel表中的數據，導入SPSS。
? ?
選擇 “模型”：
? ??
? ?
繪圖
? ->?點擊“添加”? ->? ?
事后多重比較
選項
????
??
? ??
? ??
7.6.3 SPSS與回歸分析?
SPSS回歸分析過程
牙膏價格問題的回歸分析
???
? ?
? ?? ?
? ?
表1：自變量、因變量、標準差...描述結果；表2：相關系數矩陣表---研究共線性；
模型匯總統計量計算 Model Summary；ANOVA：回歸分析的方差分析表；
coefficients：回歸系數估計
不考慮x2（將x2從模型中去除！）
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的数学建模【统计模型及应用(单-双因素方差分析、一-多元线性回归分析、牙膏价格问题、方差分析与回归分析的SPSS实现)】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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