🚀【MOOC數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)---學(xué)習(xí)筆記---整理匯總表】🚀

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• 【第1、2章】【概述、軟件介紹】
• 【第3章】【數(shù)據(jù)處理方法】
• 【第4章】【規(guī)劃模型】
• 【第5章】【圖與網(wǎng)絡(luò)模型】
• 【第6章】【微分方程模型】
• 【第7章】【統(tǒng)計(jì)模型】
• 【第8章】【系統(tǒng)評(píng)價(jià)決策模型】
• 【各個(gè)章節(jié)---作業(yè)題解析】

目? ?錄

7.1 單因素方差分析

7.1.1 方差分析概念

7.1.2 單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

例7.1.1??三種治療方案對(duì)降血糖的療效比較

7.1.3 單因素方差分析模型

定理7.1.1 總變異 = 組間變異 + 組內(nèi)變異

例7.1.1 Matlab求解

7.2 雙因素方差分析

7.2.1 問(wèn)題引入

7.2.2 雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

7.2.3 因素方差分析模型

1. 無(wú)交互作用的雙因素方差分析模型

2. 有交互作用的雙因素方差分析模型

7.3 一元線性回歸分析

7.3.1 回歸分析的概念

相關(guān)關(guān)系的類型

7.3.2 一元線性回歸模型

1.回歸參數(shù)的估計(jì)

2.回歸模型的顯著性檢驗(yàn)

3.回歸參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

7.3.3 一元線性回歸分析應(yīng)用

7.4 多元線性回歸分析

7.4.1 多元線性回歸模型

多元線性回歸分析內(nèi)容

7.4.2 回歸參數(shù)的估計(jì)

7.4.3 回歸方程的擬合優(yōu)度

7.4.4 顯著性檢驗(yàn)

1.模型的顯著性檢驗(yàn)

2. 偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

7.4.5 共線性診斷

7.5 牙膏價(jià)格問(wèn)題

7.5.1 問(wèn)題描述

7.5.2 問(wèn)題分析

7.5.3 模型假設(shè)與符號(hào)

7.5.4 模型建立與求解

1.牙膏價(jià)格差對(duì)銷售量影響模型

2.廣告費(fèi)用對(duì)銷售量影響模型

3.牙膏價(jià)格差與廣告費(fèi)用對(duì)銷售量影響模型

4.模型改進(jìn)

7.5.5 結(jié)果分析

7.6 方差分析與回歸分析的SPSS實(shí)現(xiàn)

7.6.1 SPSS軟件概述

1 SPSS版本與安裝

2 SPSS界面

3 SPSS特點(diǎn)

4 SPSS數(shù)據(jù)

7.6.2 SPSS與方差分析

1 單因素方差分析

2 雙因素方差分析

7.6.3 SPSS與回歸分析?

SPSS回歸分析過(guò)程

牙膏價(jià)格問(wèn)題的回歸分析

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數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法、概念：應(yīng)用 -> 理論 -> 研究

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常用數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計(jì)方法：方差分析、回歸分析、主成分分析、因子分析、聚類分析、判別分析...

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歷年賽題方法（全國(guó)賽）：

• 2010B 上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估
• 2012A 葡萄酒的評(píng)價(jià)（回歸分析、關(guān)聯(lián)性分析）
• 2013A 車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響（回歸分析）
• 2017B “拍照賺錢”的任務(wù)定價(jià)（回歸分析、聚類分析）

---

主要內(nèi)容：方差分析、回歸分析

單因素方差分析

多因素方差分析

一元回歸分析

多元回歸分析

7.1 單因素方差分析

數(shù)據(jù)分析? ?統(tǒng)計(jì)模型：方差分析模型、回歸分析模型、主成分分析模型、聚類分析模型、因子分析模型

7.1.1 方差分析概念

• 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中，經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多，我們需要了解在這眾多的因素中，哪些因素對(duì)影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量有顯著影響。為此，要先做試驗(yàn)，然后對(duì)測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行分析。方差分析（Analysis of Variance，簡(jiǎn)稱ANOVA）就是分析測(cè)試結(jié)果的一種方法。? ? ? ? ? ? ? ??主要是多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較所采用的方法

• 方差分析是檢驗(yàn)多組樣本均值間的差異是否具有統(tǒng)計(jì)意義的一種方法。

例如，醫(yī)學(xué)界研究幾種藥物對(duì)某種疾病的療效；農(nóng)業(yè)研究土壤、肥料、日照時(shí)間等因素對(duì)某種農(nóng)作物產(chǎn)量的影響；不同飼料對(duì)牲畜體重增長(zhǎng)的效果等都可以使用方差分析方法去解決。

7.1.2 單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

• 若指標(biāo)觀測(cè)值X只受一個(gè)因素A的影響，檢驗(yàn)A在取不同的狀態(tài)或水平時(shí)，對(duì)指標(biāo)值X的影響稱為單因素試驗(yàn)。
• 觀測(cè)值X稱為因變量(響應(yīng)變量)，是連續(xù)型的數(shù)值變量。
• 因素(Factor)A是影響因變量變化的客觀條件。

設(shè)因素A有r個(gè)水平，每個(gè)水平下重復(fù)觀測(cè)n次（n：重復(fù)數(shù)），則觀測(cè)數(shù)據(jù)為如下形式

? ?：第i行的平均值；：整個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的算數(shù)平均值（總均值）

例7.1.1??三種治療方案對(duì)降血糖的療效比較

例7.1.1 某醫(yī)生研究一種四類降糖新藥的療效，按完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方案治療糖尿病患者，治療一月后，記錄下每名受試者血糖下降值，資料見下表，問(wèn)三種治療方案對(duì)降血糖的療效是否相同？【No，第1組療效顯著高于另外兩組！】

每一組，18名受試驗(yàn)者。3個(gè)劑量水平，每個(gè)劑量水平 重復(fù)觀測(cè) 18次（n=18）。比較均值！

7.1.3 單因素方差分析模型

• 方差分析是從總體上判斷多組數(shù)據(jù)平均數(shù)（r≥3）之間的差異是否顯著。
• 方差分析將全部數(shù)據(jù)看成是一個(gè)整體，分析構(gòu)成變量的變異原因，進(jìn)而計(jì)算不同變異來(lái)源的總體方差的估值。然后進(jìn)行F檢驗(yàn)，判斷各樣本的總體平均數(shù)是否有顯著差異。若差異顯著，再對(duì)平均數(shù)進(jìn)行兩兩之間的比較。

假設(shè)檢驗(yàn)：分析數(shù)據(jù)之間差異是否顯著。

? ?i：代表水平；j：代表重復(fù)數(shù)

?：?觀測(cè)值 = 治療方案 + 隨機(jī)因素

?：反映第x種(x = 1\2\3)治療方案的平均治療水平。

?H0：原假設(shè)；各個(gè)水平下的均值相同

H0：先假定不同水平下的均值是相等的；三種治療方案之間是沒有差異的。-> 利用 數(shù)據(jù)分析 進(jìn)行檢驗(yàn)（類似于 反證法）

單因素方差分析法是將樣本總偏差的平方和分解成兩個(gè)平方和（因子平方和和誤差平方和），通過(guò)這兩個(gè)平方和之間的比較，導(dǎo)出假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量和拒絕域。

總偏差平方和：所有數(shù)據(jù)的偏差平方和。（求和：每個(gè)觀測(cè)值與總均值之間的差的平方。）

因子平方和：比較各個(gè)水平(行)下，數(shù)據(jù)之間的差異。xi：第i個(gè)水平下的樣本均值。每個(gè)水平下的均值與總均值的偏差平方和。

誤差平方和：各個(gè)組內(nèi)的偏差平方和。每一行數(shù)據(jù)內(nèi)部的偏差平方和。主要與 隨機(jī)誤差 有關(guān)。

自由度：自由取值的變量個(gè)數(shù)。

定理7.1.1 總變異 = 組間變異 + 組內(nèi)變異

ST：所有數(shù)據(jù)之間的差異（xij之間的差異越大，ST就越大）。

?：?(組間變異\不同治療方案) + (組內(nèi)變異)

H0：原假設(shè)（）

用“均方和”進(jìn)行比較：消除自由度的影響。MSA、MSE進(jìn)行比較：觀察SA、SE哪個(gè)引起的誤差偏大。

如果，因子平方和 所占的比例較大：各個(gè)因子之間的差異較大；

如果，誤差平方和 所占的比例較大：數(shù)據(jù)之間的差異，主要由隨機(jī)誤差引起。

數(shù)據(jù)量越多，隨機(jī)因素多占的比例越大，ST越大，∴ 用均方和進(jìn)行比較。

?：F分布(第一自由度, 第二自由度)

第一自由度：(r-1)、(水平數(shù)-1)? ? ? ? ? 第二自由度：(n-r)、(樣本觀測(cè)值的個(gè)數(shù)-水平數(shù))

H0不合理：SA占的比例越大，F越大，越拒絕原假設(shè)。

一般，r ≥ 3? ?《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

拒絕原假設(shè)（各個(gè)水平下的均值相等）：各個(gè)水平下的均值 有 顯著差異。P值越小（小于α）（α一般為0.05）

例7.1.1 Matlab求解

% 例7.1.1 x = xlsread('C:\Users\lwx\Desktop\chapter7.xlsx','Sheet1','A1:C18') % 讀取數(shù)據(jù) % 每個(gè)水平（列）下 觀測(cè)值、重復(fù)數(shù)都是一樣的 單因素誤差分析：重復(fù)數(shù)一樣的數(shù)據(jù)容易分析處理 [p,table,stats] = anova1(x)

圖1：方差分析表? ? ? ? 圖2：均值盒形圖? ? 箱形圖? ? 紅線：反映平均血糖下降值(第1個(gè)下降值最高)? ? ?

? ??

n:[18 18 18]：樣本量? ? ? ? ? s：殘差均方? ? ? ? ? ?殘差自由度：51? ? ? ?means：均值比較

三列數(shù)據(jù)：三組治療方案的治療效果；18個(gè)測(cè)試者；行數(shù)：重復(fù)數(shù)。

7.2 雙因素方差分析

7.2.1 問(wèn)題引入

在實(shí)際應(yīng)用中，指標(biāo)值（因變量）往往受多個(gè)不同因素的影響。不僅這些因素會(huì)影響指標(biāo)值，而且這些因素的不同水平交叉也會(huì)影響指標(biāo)值。統(tǒng)計(jì)學(xué)中把多個(gè)因素不同水平交叉對(duì)指標(biāo)值的影響稱為交互作用。在多因素方差分析中，交互作用作為一個(gè)新因素來(lái)處理。 這里介紹兩個(gè)因素的方差分析，亦稱為雙因素方差分析。

7.2.2 雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

• 假設(shè)在觀測(cè)指標(biāo)X的試驗(yàn)中，有兩個(gè)變化因素A和B。因素A有r個(gè)水平，記作A1 ,A2 ,…,Ar；因素B有k個(gè)水平，記作B1 ,B2 ,…,Bk；則A 與B的不同水平組合（i=1,2,…,r；j=1,2,…,k）共有rk個(gè)，每個(gè) 水平組合稱為一個(gè)處理，每個(gè)處理作m次試驗(yàn)（亦可1次試驗(yàn)），得rkm個(gè)觀測(cè)值，雙因素的有重復(fù)（無(wú)重復(fù)）觀測(cè)數(shù)據(jù)表7.2.2。

? ?交叉項(xiàng)：重復(fù)觀測(cè)數(shù)

A1、B1水平下，有m個(gè)觀測(cè)值。

7.2.3 因素方差分析模型

1. 無(wú)交互作用的雙因素方差分析模型

在雙因素方差分析中，若不考慮兩因素的交互作用效應(yīng)，數(shù)據(jù)可采用無(wú)重復(fù)觀測(cè)。

? ?類似于 單因素方差分析

x11...xrk：交叉水平下的觀測(cè)值。

：第i行的算數(shù)平均（代表因素A的各個(gè)水平下的樣本平均值）；

：第j列的算數(shù)平均（代表因素B的各個(gè)水平下的樣本平均值，因素B的第j個(gè)水平下 數(shù)據(jù)的算數(shù)平均）；

：所有數(shù)據(jù)的算數(shù)平均（總算數(shù)平均值）。

?：第i個(gè)水平下

在無(wú)交互作用下，分析因素A，B的不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響，即為檢驗(yàn)如下假設(shè)是否成立：

?檢驗(yàn)兩組假設(shè)：假設(shè)因素A下，不同水平下的均值沒有差異；假設(shè)因素B...

類似單因素方差分析數(shù)據(jù)的處理，在上述定義下，無(wú)交互作用雙因素方差分析模型中的平方和分解如下。

?m=1的情況。

SA：不同行數(shù)據(jù)之間的差異，因素A的不同水平之間的差異；SB：不同列數(shù)據(jù)之間的差異。SE：隨機(jī)誤差平方和。

檢驗(yàn)兩組假設(shè)：假設(shè)因素A下，不同水平下的均值沒有差異；假設(shè)因素B...? ?-->? ?構(gòu)造兩個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

無(wú)交互作用的雙因素方差分析

在Matlab中進(jìn)行雙因素方差分析，采用命令

[p, table, stats] = anova2(x，reps)

reps：試驗(yàn)數(shù)據(jù)（每個(gè)交叉水平下）重復(fù)次數(shù)，缺省時(shí)為1。

% 例7.2.1 x = [365,350,343,340,323;345,368,363,330,333;358,232,353,343,308;288,280,298,260,298]'; % 不轉(zhuǎn)置 也行 [p,table,stats] = anova2(x)

? 此圖，表格數(shù)據(jù)有誤?？磎atlab運(yùn)行圖，即可。

P值越大，越不拒絕原假設(shè)。

2. 有交互作用的雙因素方差分析模型

在數(shù)據(jù)分析種，不一定存在交互作用，但是可以通過(guò)數(shù)據(jù)處理來(lái)識(shí)別有沒有交互作用。

交叉水平下的重復(fù)數(shù) m。l：交叉水平下的重復(fù)數(shù)。

：第i行的算數(shù)平均（代表因素A的各個(gè)水平下的樣本平均值）；

：第j列的算數(shù)平均（代表因素B的各個(gè)水平下的樣本平均值，因素B的第j個(gè)水平下 數(shù)據(jù)的算數(shù)平均）；

：因素A、B交叉水平下的平均值。

存在交互作用的情況下，雙因素方差分析需要檢驗(yàn)如下假設(shè)

原假設(shè) H03：假設(shè)不存在交互作用。

有交互作用的雙因素方差分析

?重復(fù)觀測(cè)、交互作用影響

拒絕原假設(shè)（各個(gè)水平下的均值相等）：各個(gè)水平下的均值 有 顯著差異。P值越小（小于α）（α一般為0.05）

P值大，不拒絕 原假設(shè)。

% 例7.2.2 x = [26,19;24,20;27,23;25,22;25,21;20,18;17,17;22,13;21,16;17,12]; [p,table,stats] = anova2(x,5) % 5:每個(gè)交叉水平下的重復(fù)數(shù)

7.3 一元線性回歸分析

?在應(yīng)用問(wèn)題研究當(dāng)中，如果涉及到變量與變量之間的分析，可以借助回歸分析來(lái)進(jìn)行研究。

7.3.1 回歸分析的概念

研究變量間的關(guān)系常有兩種。

• 確定性關(guān)系（函數(shù)關(guān)系）

如圓面積與圓半徑的關(guān)系；價(jià)格一定時(shí)，商品銷售額與銷售量的關(guān)系等。

• 相關(guān)關(guān)系

如父親與子女身高的關(guān)系；收入水平與受教育程度間的關(guān)系等。

變量間的相關(guān)關(guān)系不能用完全確切的函數(shù)形式表示，但在平均意義下 有一定的定量關(guān)系表達(dá)式。研究總體（總體規(guī)律）

相關(guān)關(guān)系的類型

? ?不相關(guān)：無(wú)明顯相關(guān)關(guān)系

回歸分析（Regression Analysis）就是研究變量間的相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法，是英國(guó)生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓在研究父代與子代身高關(guān)系時(shí)得到的分析方法。

通過(guò)對(duì)客觀事物中變量的大量觀察或試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)，尋找隱藏在數(shù)據(jù)背后的相關(guān)關(guān)系，并給出它們的表達(dá)形式——回歸函數(shù)的估計(jì)。

回歸分析主要用于研究指標(biāo)的估計(jì)和預(yù)測(cè)。

通過(guò)數(shù)據(jù)分析，得到 回歸表達(dá)式（回歸函數(shù)），對(duì)變量進(jìn)行估計(jì)、預(yù)測(cè)。

設(shè)變量y與x（一維或多維）間有相關(guān)關(guān)系，稱x為自變量(解釋變量)，y為因變量(被解釋變量)。

若x為一般變量，在獲得x取值后，設(shè)y 的取值為一隨機(jī)變量，可表示為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? y = f(x) + ε

上式稱為一般回歸模型，其中ε稱為隨機(jī)誤差項(xiàng)，一般假設(shè) ε~N(0, )。正態(tài)分布

7.3.2 一元線性回歸模型

?：反映 x組數(shù)據(jù)與y組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度。

?越大，線性相關(guān)程度越強(qiáng)。? ? ? ? ? ? || ≤ 1? ? ? ? ? ? ??

一元線性回歸分析內(nèi)容

（1）回歸參數(shù)的估計(jì)

（2）回歸模型的顯著性檢驗(yàn)

（3）回歸參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

1.回歸參數(shù)的估計(jì)

yi：觀測(cè)值? ? ? ? ? 最小二乘法（參數(shù)估計(jì)、數(shù)據(jù)擬合）? ? ? ? ? ? ??：yi的回歸值

?(7.3.3) 求導(dǎo)式

?：x、y數(shù)據(jù)的樣本均值

2.回歸模型的顯著性檢驗(yàn)

在模型假定下，可以證明

對(duì)模型（7.3.2）的顯著性提出假設(shè)

? ? ? H0 : 回歸方程不顯著，H1 : 回歸方程顯著

如果回歸方程顯著，意味著SSE應(yīng)該比較小，F值應(yīng)該比較大，所以在顯著水平α下，當(dāng) (1,n-2)時(shí)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為回歸方程顯著。

3.回歸參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

?t^2 = F

MATLAB進(jìn)行回歸分析的命令為 regress，其調(diào)用方式為?[b,bint,r,rint,stats] = regress(y, x) ，其輸出結(jié)果為

• b ：回歸方程的系數(shù)
• bint：回歸方程系數(shù)的95%置信區(qū)間
• r: 回歸方程的殘差
• rint：殘差的95%置信區(qū)間
• stats: 可決系數(shù)、模型檢驗(yàn)F值、模型檢驗(yàn)P值

7.3.3 一元線性回歸分析應(yīng)用

例7.3.1 為研究銷售收入與廣告費(fèi)用支出之間的關(guān)系，某醫(yī)藥管理部門隨機(jī)抽取20家藥品生產(chǎn)企業(yè)，得到它們的年銷售收入和廣告費(fèi)用支出(萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下表。分析銷售收入與廣告費(fèi)用之間的關(guān)系。

分析 由表（1）可得模型檢驗(yàn)F值為116.3958，P值非常小，即模型是顯著的；由表（2）可得模型的決定系數(shù)?= 0.866067，接近于1，說(shuō)明模型擬合效果較好；由表（3）可得回歸方程的系數(shù) = 274.5502， = 5.1308，且參數(shù)檢驗(yàn)的P值較小，顯著非零，則回歸方程為

根據(jù)得到的回歸方程可進(jìn)行因變量y的估計(jì)和預(yù)測(cè)。

7.4 多元線性回歸分析

研究多個(gè)變量之間相關(guān)性的常用統(tǒng)計(jì)方法：多元線性回歸分析。

7.4.1 多元線性回歸模型

實(shí)際應(yīng)用中影響因變量變化的因素往往有多個(gè)，例如產(chǎn)出受各種投入要素（資本、勞動(dòng)力、技術(shù)等）的影響；銷售額受價(jià)格和廣告費(fèi)投入等的影響。? ? ??研究 多個(gè)變量 影響 因變量的情況。

回歸模型中自變量（解釋變量）個(gè)數(shù)為兩個(gè)及兩個(gè)以上時(shí)，即為多元回歸模型。

多元線性回歸模型的一般形式為

?（p=1：一元線性回歸模型）

• ，，...，?稱為 偏回歸系數(shù)? ? ? ? ? ? ???：輔助作用，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題分析，選擇是否保留。
• ?表示假定其他變量不變，當(dāng) xi 每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，y 的平均變動(dòng)值。?

多元線性回歸分析內(nèi)容

回歸參數(shù)的估計(jì)

回歸方程的擬合優(yōu)度

顯著性檢驗(yàn)

共線性診斷

7.4.2 回歸參數(shù)的估計(jì)

?：第p個(gè)自變量的觀測(cè)值。

yi的值 由 自變量xi的線性回歸值、隨機(jī)誤差??的值 所構(gòu)成。

Y：因變量構(gòu)成的列向量；：回歸參數(shù)向量；：隨機(jī)誤差項(xiàng)構(gòu)成的向量。

?偏導(dǎo)數(shù) = 0

7.4.3 回歸方程的擬合優(yōu)度

7.4.4 顯著性檢驗(yàn)

多元線性回歸分析的顯著性檢驗(yàn)包括模型的顯著性檢驗(yàn)和各偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。

1.模型的顯著性檢驗(yàn)

2. 偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

關(guān)于模型的顯著性檢驗(yàn) 不拒絕 原假設(shè) 時(shí)，模型是不顯著的，此時(shí) 不必做?偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。

7.4.5 共線性診斷

多元線性回歸分析中，要求回歸模型（7.4.1）中自變量之間線性無(wú)關(guān)。若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量彼此相關(guān)，稱模型存在多重共線性。

多重共線性產(chǎn)生的問(wèn)題

（1）可能會(huì)使回歸的結(jié)果造成混亂，甚至?xí)逊治鲆肫缤?#xff1b;

（2）可能對(duì)參數(shù)估計(jì)值的正負(fù)號(hào)產(chǎn)生影響，特別是各回歸系數(shù)的正負(fù)號(hào)有可能同預(yù)期的正負(fù)號(hào)相反 。

檢測(cè)多重共線性的最簡(jiǎn)單的一種辦法是計(jì)算模型中各對(duì)自變量之間的相關(guān)系數(shù)，并對(duì)各相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。若有一個(gè)或多個(gè)相關(guān)系數(shù)顯著，就表示模型中所用的自變量之間相關(guān)，存在著多重共線性。

如果出現(xiàn)下列情況，暗示存在多重共線性。（存在多重共線性，需要對(duì)模型進(jìn)行修正）

• 模型中各對(duì)自變量之間顯著相關(guān)；
• 當(dāng)模型的線性關(guān)系檢驗(yàn)(F檢驗(yàn))顯著時(shí)，幾乎所有回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)卻不顯著；
• 回歸系數(shù)的正負(fù)號(hào)與預(yù)期的相反。

7.5 牙膏價(jià)格問(wèn)題

7.5.1 問(wèn)題描述

某大型牙膏制造企業(yè)為了更好地拓展產(chǎn)品市場(chǎng)，有效地管理庫(kù)存，公司董事會(huì)要求銷售部門根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，找出公司生產(chǎn)的牙膏銷 售量與銷售價(jià)格、廣告投入等因素之間的關(guān)系，從而預(yù)測(cè)出在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的銷售量。表7.5.1是30個(gè)銷售周期(4周為1銷售周期)中收集到的資料。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，分析牙膏的銷售量與其它因素的關(guān)系，為制定價(jià)格策略和廣告投入提供決策依據(jù)。

7.5.2 問(wèn)題分析

1.牙膏價(jià)格與銷售量

由于牙膏是小件生活必需品，對(duì)大多數(shù)顧客來(lái)說(shuō)，在購(gòu)買同類產(chǎn)品的牙膏時(shí)更多地會(huì)在意不同品牌中間的價(jià)格差異，而不是他們的 價(jià)格本身。因此在研究各個(gè)因素對(duì)銷售量的影響時(shí)，用價(jià)格差代替公司銷售價(jià)格更為合適。

通過(guò)分析其他廠家牙膏價(jià)格與本公司牙膏價(jià)格差對(duì)銷售量的影響關(guān)系，建立價(jià)格差與銷售量的相關(guān)模型。

2.廣告費(fèi)用與銷售量

通過(guò)分析廣告費(fèi)用對(duì)銷售量的影響關(guān)系，建立廣告費(fèi)用與銷售 量的相關(guān)模型。

7.5.3 模型假設(shè)與符號(hào)

實(shí)際中，由于影響牙膏銷售量的因素有很多，根據(jù)問(wèn)題分析和相關(guān)數(shù)據(jù)，提出假設(shè)：

(1)假設(shè)牙膏銷售量主要受價(jià)格差和廣告費(fèi)用影響，即其它因素對(duì)銷售量的影響歸入隨機(jī)誤差。

(2)令 y~本公司牙膏銷售量；~其它廠家牙膏價(jià)格與本公司牙膏價(jià)格差；~本公司廣告費(fèi)用。、對(duì)y的影響、建立模型。

7.5.4 模型建立與求解

1.牙膏價(jià)格差對(duì)銷售量影響模型

?正相關(guān)的線性關(guān)系

2.廣告費(fèi)用對(duì)銷售量影響模型

? ?勉強(qiáng)接受：線性關(guān)系

建立模型：多嘗試，以合理性為前提，越簡(jiǎn)單越好。

3.牙膏價(jià)格差與廣告費(fèi)用對(duì)銷售量影響模型

由(7.5.1)和(7.5.2)，將常數(shù)項(xiàng)合并，隨機(jī)誤差項(xiàng)合并，且不考慮牙膏價(jià)格差與廣告費(fèi)用對(duì)銷售量的交叉影響。可得牙膏價(jià)格差與廣告 費(fèi)用對(duì)銷售量影響模型

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

由數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，見表7.5.2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

4.模型改進(jìn)

?只考慮 線性關(guān)系

由表7.5.3回歸結(jié)果可得，修正可決系數(shù)為0.874，模型顯著性檢驗(yàn)的p值為0，模型是顯著的。并且各回歸參數(shù)均顯著非0，說(shuō)明模型 有效，得到牙膏價(jià)格差與廣告費(fèi)用對(duì)銷售量影響模型為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

7.5.5 結(jié)果分析

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

由模型(7.5.5)可知，提高本公司牙膏價(jià)格，將會(huì)減少本公司牙膏銷售量，例如，廣告費(fèi)不變時(shí)，本公司牙膏價(jià)格比其它廠家平均價(jià)格 提高1元，估計(jì)銷售量將會(huì)減少約1.468百萬(wàn)支。

另一方面，一定程度上，增加廣告費(fèi)用將會(huì)提高銷售量，但過(guò) 度增加廣告費(fèi)用就會(huì)增加成本。

根據(jù)模型(7.5.5)，只要給定了，，代入就可以對(duì)銷售量進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)，還可以進(jìn)行一定的置信度下的區(qū)間預(yù)測(cè)。如當(dāng)=0.2，=6.5時(shí)，可以計(jì)算得到銷售量的預(yù)測(cè)值約為8.379（百萬(wàn)支），其95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為[7.874, 8.863]。

在公司管理中，這個(gè)預(yù)測(cè)上限可以用來(lái)作為公司的生產(chǎn)和庫(kù)存數(shù)量；而這個(gè)預(yù)測(cè)下限可以用來(lái)較好地把握公司的現(xiàn)金流，因?yàn)榈綍r(shí)至少有7.874百萬(wàn)支牙膏可以有把握的賣出去，可以回來(lái)相應(yīng)的銷售款。

若考慮牙膏價(jià)格差與廣告費(fèi)用兩個(gè)因素間可能會(huì)有交互作用，可以將二者的乘積來(lái)表示這個(gè)作用對(duì)銷售量的影響，對(duì)原來(lái)的模型進(jìn)行改進(jìn)，

? ?

同理，可對(duì)模型7.5.6進(jìn)行回歸分析，研究模型的有效性和顯著性（略）。

7.6 方差分析與回歸分析的SPSS實(shí)現(xiàn)

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析：Matlab、R、SPSS

7.6.1 SPSS軟件概述

1 SPSS版本與安裝

SPSS的版本每年更新，當(dāng)前最新為SPSS26.0，較新版本都有中文版，這里以2013年的SPSS22.0中文版為例介紹其安裝及應(yīng)用。

?數(shù)學(xué)建?！維PSS 下載、安裝】

2 SPSS界面

SPSS的主要界面 有 數(shù)據(jù)編輯窗口 和 結(jié)果輸出窗口。

SPSS軟件在其基本界面上集成了數(shù)據(jù)錄入、轉(zhuǎn)換、檢索、統(tǒng)計(jì)分析、作圖、制表及編輯等功能；采用類似EXCEL表格的方式輸入與管理數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)接口較為通用，能方便的從其他數(shù)據(jù)庫(kù)中讀入數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)編輯窗口：標(biāo)題欄、菜單欄、工具欄、狀態(tài)欄、數(shù)據(jù)視圖、變量視圖

控制菜單圖標(biāo)、窗口名稱、窗口控制圖標(biāo)、窗口控制按鈕

變量視圖

3 SPSS特點(diǎn)

• （1）囊括了各種成熟的統(tǒng)計(jì)方法與模型，為統(tǒng)計(jì)分析用戶提供了全方位的統(tǒng)計(jì)學(xué)算法，為各種研究提供了相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。
• （2）提供了各種數(shù)據(jù)準(zhǔn)備與數(shù)據(jù)整理技術(shù)。
• （3）自由靈活的表格功能。
• （4）各種常用的統(tǒng)計(jì)學(xué)圖形。

SPSS最突出的特點(diǎn)就是操作界面極為友好，輸出結(jié)果美觀漂亮。SPSS是第一個(gè)采用人機(jī)交互界面的統(tǒng)計(jì)軟件，非常容易學(xué)習(xí)和使用。

SPSS軟件基本操作可通過(guò)點(diǎn)擊鼠標(biāo)來(lái)完成，有一定統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)且熟悉Windows一般操作的應(yīng)用者參考它的幫助系統(tǒng) 基本上 可以自學(xué)使用；除了數(shù)據(jù)錄入及部分命令程序等少數(shù)輸入工作需要使用鍵盤鍵入外，對(duì)于常見的統(tǒng)計(jì)分析方法完全可以通過(guò)對(duì)“菜單”、“對(duì)話框”的操作完成，無(wú)需編程。

4 SPSS數(shù)據(jù)

SPSS能夠與常用的數(shù)據(jù)文件格式互交。? ? ? ? ? ? ? ? ??Excel文件

SPSS數(shù)據(jù)文件中，變量有三種的基本類型：數(shù)值型、字符型和日期型。

SPSS的文件類型：

（1）數(shù)據(jù)文件：拓展名為.sav

（2）結(jié)果文件：拓展名為.spv

（3）圖形文件：拓展名為.cht

（4）語(yǔ)法文件：拓展名為.sps

7.6.2 SPSS與方差分析

【例7.1.1、例7.2.2 Excel文件：鏈接：https://pan.baidu.com/s/1PLXyYCelCfOGgMPbl7T2AA? ?提取碼：zjxs】

1 單因素方差分析

生成數(shù)據(jù)：1、導(dǎo)入數(shù)據(jù)；2、手工錄入

54條數(shù)據(jù)：因變量（血糖下降值）記為A，分組變量（3個(gè)組別）記為g。Excel表中，第一行為變量名。

???

數(shù)據(jù)視圖變量視圖

單因素方差分析

??

???

多重比較：將 各個(gè)水平下的均值 進(jìn)行比較。Tukey：針對(duì)重復(fù)次數(shù)一樣的多重比較。顯著性水平 默認(rèn) 0.05。

左邊：輸出列表；右邊：輸出結(jié)果（概括性描述）。

表2：方差極性檢驗(yàn)（顯著性-P值：0.871）? ?表3：方差分析表（因子平方和、誤差平方和；總平方和）

?只要P值小于0.05，就認(rèn)為 是有 顯著差異的。

根據(jù)多重比較的結(jié)果，進(jìn)行分類得到的分類表。

??

均值圖? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、2之間，有顯著差異；2、3無(wú)顯著差異。

2 雙因素方差分析

【例7.1.1、例7.2.2 Excel文件：鏈接：https://pan.baidu.com/s/1PLXyYCelCfOGgMPbl7T2AA? ?提取碼：zjxs】?

雙因素并且考慮交互作用的方差分析：將分析數(shù)據(jù)作為因變量指標(biāo)；將時(shí)段、路段兩個(gè)因素 建立 兩個(gè)分組變量。

將Excel表中的數(shù)據(jù)，導(dǎo)入SPSS。

? ?

選擇 “模型”：

? ??

? ?

繪圖

? ->?點(diǎn)擊“添加”? ->? ?

事后多重比較

選項(xiàng)

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??

? ??

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7.6.3 SPSS與回歸分析?

SPSS回歸分析過(guò)程

牙膏價(jià)格問(wèn)題的回歸分析

???

? ?

? ?? ?

? ?

表1：自變量、因變量、標(biāo)準(zhǔn)差...描述結(jié)果；表2：相關(guān)系數(shù)矩陣表---研究共線性；

模型匯總統(tǒng)計(jì)量計(jì)算 Model Summary；ANOVA：回歸分析的方差分析表；

coefficients：回歸系數(shù)估計(jì)

不考慮x2（將x2從模型中去除！）

??

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模【统计模型及应用(单-双因素方差分析、一-多元线性回归分析、牙膏价格问题、方差分析与回归分析的SPSS实现)】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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