简单题*10000
Description
?已知一排硬幣中有n個硬幣正面朝上，輸入正面朝上的硬幣的位置ai（可能重復）。兩人輪流操作，每次操作可以翻轉1,2,或則3枚硬幣（不一定連續），其中翻轉的最右的硬幣必須是正面朝上的，最后不能翻轉的為負
?
Input
?第一行輸入一個組數t（t ≤?100）。
對于每組數據第一行有一個正整數N(0?≤ N ≤?5000)。
第二行N個非負整數c1,c2,...,cN(0 ≤ ai ≤ 1e9)。
Output
如果先手必勝輸出Yes，否則輸出No。
?
Sample Input
2 1 0 4 0 1 2 3Sample Output
Yes NoHINT
題解
定義硬幣全反時的sg為0，現在單個游戲就是只有一枚硬幣朝上，其余都是反，其他情況都可以由單一游戲組合而成。如果位置i有一個正面朝上的硬幣，其余都是反，那么這枚硬幣翻過來的時候，它可以到達的局面是1、sg = 0 ? 2、sg(j)j位置的硬幣朝上，其余都是反（j<i） 3、出現兩個正面朝上的硬幣，變成組合游戲sg(j)和sg(k)。我們把sg函數打表出來就可以找到規律。（hdu3537）
初始編號從0開始。
當N==1時，硬幣為：正，先手必勝，所以sg[0]=1.
當N==2時，硬幣為：反正，先手必贏，先手操作后可能為：反反或正反，方案數為2，所以sg[1]=2。
當N==3時，硬幣為：反反正，先手必贏，先手操作后可能為：反反反、反正反、正反正、正正反，方案數為4，所以sg[2]=4。
位置x：0??1??2??3??4???5????6???7????8?????9??10??11??12??13??14...
sg[x]：??1??2??4??7??8??11 13 14??16??19??21??22??25??26??28…
看上去sg值為2x或者2x+1。我們稱一個非負整數為odious，當且僅當該數的二進制形式的1出現的次數是奇數，否則稱作evil。所以1，2，4，7是odious因為它們的二進制形式是1,10,100,111.而0,3,5,6是evil，因為它們的二進制形式是0,11,101,110。而上面那個表中，貌似sg值都是odious數。所以當2x為odious時，sg值是2x，當2x是evil時，sg值是2x+1.
這樣怎么證明呢？我們會發現發現，
?????????????????????????????????????????????????????evil^evil=odious^odious=evil
?????????????????????????????????????????????????????evil^odious=odious^evil=odious
假設剛才的假說是成立的，我們想證明下一個sg值為下一個odious數。注意到我們總能夠在第x位置翻轉硬幣到達sg為0的情況；通過翻轉第x位置的硬幣和兩個其它硬幣，我們可以移動到所有較小的evil數，因為每個非零的evil數都可以由兩個odious數異或得到；但是我們不能移動到下一個odious數，因為任何兩個odious數的異或都是evil數。
?
假設在一個Mock?Turtles游戲中的首正硬幣位置x1,x2,…,xn是個P局面，即sg[x1]^…^sg[xn]=0.那么無可置疑的是n必定是偶數，因為奇數個odious數的異或是odious數，不可能等于0。而由上面可知sg[x]是2x或者2x+1，sg[x]又是偶數個，那么x1^x2^…^xn=0。相反，如果x1^x2^…^xn=0且n是偶數，那么sg[x1]^…^sg[xn]=0。這個如果不太理解的話，我們可以先這么看下。2x在二進制當中相當于把x全部左移一位，然后補零，比如說2的二進制是10，那么4的二進制就是100。而2x+1在二進制當中相當于把x全部左移一位，然后補1，比如說2的二進制是10，5的二進制是101。現在看下sg[x1]^…^sg[xn]=0，因為sg[x]是2x或者2x+1，所以式子中的2x+1必須是偶數個（因為2x的最后一位都是0,2x+1的最后一位都是1，要最后異或為0,2x+1必須出現偶數次）
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <bitset> #include <cmath> #include <cctype> #include <iostream> #include <algorithm> #include <string> #include <vector> #include <queue> #include <map> #include <set> #include <sstream> #include <iomanip> using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; const ll inff = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; #define FOR(i,a,b) for(int i(a);i<=(b);++i) #define FOL(i,a,b) for(int i(a);i>=(b);--i) #define REW(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define inf int(0x3f3f3f3f) #define si(a) scanf("%d",&a) #define sl(a) scanf("%lld",&a) #define sd(a) scanf("%lf",&a) #define ss(a) scanf("%s",a) #define mod ll(6666666) #define pb push_back #define eps 1e-6 #define lc d<<1 #define rc d<<1|1 #define Pll pair<ll,ll> #define P pair<int,int> #define pi acos(-1) int n,a[100008]; int as(int x) {int k=0;while (x){if (x&1) k++;x>>=1;}return !(k&1); } int main() {cin.tie(0);cout.tie(0);//freopen("game001.in","r",stdin);//freopen("game001.out","w",stdout);int tt;cin>>tt;while(tt--){si(n);FOR(i,1,n) si(a[i]);sort(a+1,a+n+1);int k=unique(a+1,a+n+1)-a-1,s=0;FOR(i,1,k){a[i]*=2ll;if(as(a[i])) a[i]++;s^=a[i];}if(s) puts("Yes");else puts("No");}return 0; }?
總結
