一、最大子矩陣問題

在一個給定的矩形中有一些障礙點，找出內部不包含障礙點的、輪廓與整個矩形平行或重合的最大子矩形。

二、定義子矩形

有效子矩形：內部不包含障礙點的、輪廓與整個矩形平行或重合的子矩形。

極大子矩形：每條邊都不能向外擴展的有效子矩形。

最大子矩形：所有有效子矩形中最大的一個（或多個）。

三、極大化思想

在一個有障礙點的矩形中最大子矩形一定是極大子矩形。

設計算法的思路：枚舉所有的極大子矩形，找到最大子矩形。

設NM分別為整個矩形的長和寬，S為內部的障礙點數。
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四、基本思想

【算法1】

時間復雜度：O（S^2） 空間復雜度：O（S）

由于極大子矩形的每一條邊都不能向外擴展，那么極大子矩陣的每條邊要么覆蓋了障礙點，要么與整個矩形的邊界重合

基本算法：枚舉上下左右四個邊界，然后判斷組成的矩形是否是有效子矩形。

復雜度：O（S^5） ?可以改進的地方：產生了大量的無效子矩形。

初步改進的算法：枚舉左右邊界，然后對處在邊界內的點排序，每兩個相鄰的點和左右邊界組成一個矩形。

復雜度：O（S^3） 可以改進的地方：枚舉了部分不是極大子矩形的情況。

綜上，設計算法的方向：

1、保證每一個枚舉的矩形都是有效的。

2、保證每一個枚舉的矩形都是極大的。

算法的過程：

枚舉極大子矩形的左邊界——>根據確定的左邊界，找出相關的極大子矩形——>檢查和處理遺漏的情況

(1)按照橫坐標從小到大的順序將所有的點編號為1，2，3...

(2)首先選取1號點作為要枚舉的極大子矩形的左邊界，設定上下邊界為矩形的上下邊界

(3)從左到右掃描，第一次到2號點，確定一個極大子矩形，修改上下邊界；第二次找到3號點，以此類推。

(4)將左邊界移動到2號點，3號點，，，以同樣的方法枚舉

遺漏的情況：

1、矩形的左邊界與整個矩形的左邊界重合。解決方法：用類似的方法從左到右掃一遍

2、矩形的左邊界與整個矩形的左邊界重合，且矩形的右邊界與整個矩形的右邊界重合。解決方法：預處理時增加特殊判斷。

優點：利用的極大化思想，復雜度可以接受，編程實現簡單。

缺點：使用有一定的局限性，不適合障礙點較密集的情況。

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s為障礙點總數。

枚舉一個障礙點作為左邊界O（s），然后不斷向后掃得到極大子矩形O（s），總復雜度為O（s^2）。

當1障礙點數較小時，可以使用算法1。

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【算法2】

時間復雜度O(NM) 空間復雜度O(NM)

定義

有效豎線：除了兩個端點外，不覆蓋任何一個障礙點的豎直線段。

懸線：上端覆蓋了一個障礙點或者到達整個矩形上邊界的有效線段。

每個懸線都與它底部的點一一對應，矩形中的每一個點（矩形頂部的點除外）都對應了一個懸線。

懸線的個數=(N-1)*M；

如果把一個極大子矩形按照橫坐標的不同切割成多個與y軸平行的線段，那么其中至少有一個懸線。

如果把一個懸線向左右兩個方向盡可能的移動，那么就得到了一個矩形，我們稱它為懸線對應的矩形。

懸線對應的矩形不一定是極大子矩形，因為下邊界可能還可以向下擴展。

設計算法：

原理：所有懸線對應矩形的集合一定包含了極大子矩形的集合。通過枚舉所有的懸線，找出所有的極大子矩形。

算法規模：

懸線個數＝(N－1)×M

極大子矩形個數≤懸線個數

具體方法：

設 H[i,j]為點(i,j)對應的懸線的長度。

?L[i,j]為點(i,j)對應的懸線向左最多能夠移動到的位置。

R[i,j]為點(i,j)對應的懸線向右最多能夠移動到的位置。

！考慮點(i,j)對應的懸線與點(i-1,j)對應的懸線的關系（遞推思想）：

如果(i－1,j)為障礙點，那么，如圖所示，(i,j)對應的懸線長度1，左右能移動到的位置是整個矩形的左右邊界。
即 H[i,j]＝1,
???L[i,j]=0,R[i,j]=m

如果(i－1,j)不是障礙點，那么，如圖所示，(i,j)對應的懸線長度為(i-1,j)對應的懸線長度＋1。
即 H[i,j]＝H[i-1,j]+1

?如果(i－1,j)不是障礙點，那么，如圖所示，(i,j)對應的懸線左右能移動的位置要在(i-1,j)的基礎上變化。
????????????????????L[i-1,j]
L[i,j]=max
????????????????????(i-1,j)左邊第一個障礙點的位置????????
?同理，也可以得到R[i,j]的遞推式
????????????????????????R[i-1,j]
?????R[i,j]=min????
????????????????????????(i-1,j)右邊第一個障礙點的位置????????????????????????????

優點： 復雜度與障礙點個數沒有直接關系。

缺點：障礙點少時處理較復雜，不如算法1。

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當障礙點較多，n*m較小時，可以用懸線法。

時間復雜度為O（n*m）。

五、例題

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1169（題解：https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/88061944）

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參考文章

https://blog.csdn.net/Clove_unique/article/details/50512624

總結

以上是生活随笔為你收集整理的悬线法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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